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2014-2015学年郑州外国语学校高三(上)月考数学试卷(文科)


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2014-2015 学年河南省郑州外国语学校 高三(上)月考数学试卷(文科) (一)
一.选择题: 1. (3 分) (2013?山东)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x﹣y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( A.1 B.3 C.5 D.9 2. (3 分) (2014?包头一模)已知函数 y=x ﹣3

x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c=( A.﹣2 或 2 B.﹣9 或 3 C.﹣1 或 1 D.﹣3 或 1
3





3. (3 分)集合 A={x| A.﹣2≤b<0

<0},B={x||x﹣b|<a},若“a=1”是“A∩ B≠?”的充分条件,则 b 的取值范围是( B.0<b≤2 C.﹣3<b<﹣1 ,k∈Z}与 N={ x|x= C.M=N D.﹣1≤b<2 ,k∈Z}之间的关系是( N=φ D.M∩ )



4. (3 分)集合时 M={x|x= A.M?N B.N?M
3

5. (3 分)函数 f(x)=x ﹣3x﹣1,若对于区间[﹣3,2]上的任意 x1,x2 都有|f(x1)﹣f(x2)|≤t,则实数 t 的最小 值是( ) A.20 B.18 C.3 D.0

6. (3 分) (2014?成都一模)设 a=log32,b=ln2,c= A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b

,则(



D.c<b<a )

7. (3 分) (2011?安徽模拟)在△ ABC 中,角 A,B 均为锐角,且 cosA>sinB,则△ ABC 的形状是( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 8. (3 分) (2000?天津)已知 sinα>sinβ,那么下列命题成立的是( A.若 α、β 是第一 B.若 α、β 是第二 象限角, 则 cosα 象限角,则 tanα >cosβ >tanβ C.若 α、β 是第三 D.若 α、β 是第四 象限角, 则 cosα 象限角,则 tanα >cosβ >tanβ
x 2



9. (3 分) (2011?湖南)已知函数 f(x)=e ﹣1,g(x)=﹣x +4x﹣3,若有 f(a)=g(b) ,则 b 的取值范围为( A. B.(2﹣ , C.[1,3] D.(1,3) 2+ ) 10. (3 分) (2014?淮南一模)函数 y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,φ>0,|φ|< 函数的表达式为( )
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,x∈R)的部分图象如图所示,则

A.

B.

C.

D.

11. (3 分) (2012?蓝山县模拟)已知 a>0 且 a≠1,若函数 f (x)=loga(ax ﹣x)在[3,4]是增函数,则 a 的取值 范围是( ) A.(1,+∞) B. C. D. ( , )∪ (1, [ , ) ∪ (1, +∞) [ , ) + ∞) 12. (3 分)已知 f(x)=m(x﹣2m) (x+m+3) ,g(x)=2 ﹣2.若同时满足条件: (1)?x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0; (2)?x∈(﹣∞,﹣4) ,f(x)g(x)<0. 则 m 的取值范围是( ) A.(﹣4,0) B.(﹣∞,﹣2) C.(﹣4,﹣2) D.? 二.填空题: 13. (3 分)已知函数 f(x)= ,若 f(a)+f(1)=0,则实数 a= _________ .
x

2

14. (3 分) (2013?广东)若曲线 y=ax ﹣lnx 在点(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 a= _________ . 15. (3 分) (2011?辽宁)已知函数 f(x)=e ﹣2x+a 有零点,则 a 的取值范围是
x

2

_________ .

16. (3 分) (2011?潍坊一模)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:① 函数 y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称; ② 对?x∈R, _________ . 三.解答题: 17.已知 m∈R,对 p:x1 和 x2 是方程 x ﹣ax﹣2=0 的两个根,不等式|m﹣5|≤|x1﹣x2|对任意实数 a∈[1,2]恒成立;q: 函数 f(x)=3x +2mx+m+ 有两个不同的零点.求使“p 且 q”为真命题的实数 m 的取值范围.
2 2

成立;③ 当

时,f(x)=log2(﹣3x+1) ,则 f(2011)=

18.已知 a∈(

,π) ,且 sin +cos =



(Ⅰ )求 cosa 的值; (Ⅱ )若 sin(α+β)=﹣ ,β∈(0, ) ,求 sinβ 的值.

19. (2006?重庆)已知定义域为 R 的函数

是奇函数.

(Ⅰ )求 a,b 的值; 2 2 (Ⅱ )若对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 20.已知 sinα+cosα=﹣ ,且|sinα|>|cosα|,求 cos α﹣sin α 的值.
3 3

21.已知函数 f(x)=kx﹣ ﹣2lnx. (Ⅰ )若函数 f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切线方程为 2x+5y﹣2=0,求 f(x)的单调区间; (Ⅱ )若函数 f(x)在(0,+∞)为增函数,求实数 k 的取值范围. 22. (2012?辽宁模拟)已知函数 f(x)=ax﹣1﹣lnx(a∈R) . (Ⅰ )讨论函数 f(x)在定义域内的极值点的个数; (Ⅱ )已知函数 f(x)在 x=1 处取得极值,且对?x∈(0,+∞) ,f(x)≥bx﹣2 恒成立,求实数 b 的取值范围.

2014-2015 学年河南省郑州外国语学校高三(上) 月考数学试卷(文科) (一)
参考答案与试题解析
一.选择题: 1. (3 分) (2013?山东)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x﹣y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( A.1 B.3 C.5 D.9 考点: 专题: 分析: 集合中元素个 数的最值. 计算题. 依题意,可求得 集合 B={﹣2, ﹣1,0,1,2}, 从而可得答案. 解:∵ A={0,1, 2},B={x﹣ y|x∈A,y∈A}, ∴ 当 x=0, y 分别 取 0,1,2 时, x﹣y 的值分别 为 0,﹣1,﹣2; 当 x=1,y 分别 取 0,1,2 时, x﹣y 的值分别 为 1,0,﹣1; 当 x=2,y 分别 取 0,1,2 时, x﹣y 的值分别 为 2,1,0; ∴ B={﹣2,﹣1, 0,1,2}, ∴ 集合 B={x﹣ y|x∈A,y∈A}中 元素的个数是 5 个. 故选 C. 本题考查集合 中元素个数的 最值,理解题意 是关键,考查分 析运算能力,属 于中档题.
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解答:

点评:

2. (3 分) (2014?包头一模)已知函数 y=x ﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c=(

3



A.﹣2 或 2 考点:

B.﹣9 或 3 利用导数研究 函数的极值;函 数的零点与方 程根的关系. 计算题. 求导函数,确定 函数的单调性, 确定函数的极 值点,利用函数
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C.﹣1 或 1

D.﹣3 或 1

专题: 分析:

解答:

点评:

y=x ﹣3x+c 的 图象与 x 轴恰有 两个公共点,可 得极大值等于 0 或极小值等于 0,由此可求 c 的值. 解:求导函数可 得 y′ =3(x+1) (x﹣1) 令 y′ >0,可得 x>1 或 x<﹣1; 令 y′ <0,可得 ﹣1<x<1; ∴ 函数在(﹣∞, ﹣1) , (1,+∞) 上单调增, (﹣ 1,1)上单调减 ∴ 函数在 x=﹣1 处取得极大值, 在 x=1 处取得极 小值 3 ∵ 函数 y=x ﹣ 3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公 共点 ∴ 极大值等于 0 或极小值等于 0 ∴ 1﹣3+c=0 或﹣ 1+3+c=0 ∴ c=﹣2 或 2 故选 A. 本题考查导数 知识的运用,考 查函数的单调 性与极值,解题 的关键是利用 极大值等于 0 或

3

极小值等于 0. <0},B={x||x﹣b|<a},若“a=1”是“A∩ B≠?”的充分条件,则 b 的取值范围是( B.0<b≤2 必要条件、充分 条件与充要条 件的判断. 简易逻辑. 根据不等式的 性质求出集合 A,B 的等价条 件,利用充分条 件和必要条件 的定义即可得 到结论. 解:
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3. (3 分)集合 A={x| A.﹣2≤b<0 考点:



C.﹣3<b<﹣1

D.﹣1≤b<2

专题: 分析:

解答:

A={x| }={x|﹣1<x< 1},因为 A∩ B≠?,所以 a >0, 则由 B={x||x﹣ b|<a},得 B={x|b﹣a<x< b+a}, 当 a=1 时, B={x|b﹣1<x <b+1},要使 A∩ B≠?, 则





解得 0≤b<2 或 ﹣2<b≤0.即﹣ 2<b<2. 若 A∩ B≠?, 则 b﹣a≤1,且 b+a≥﹣1, 即 a≥b﹣1 且 a≥ ﹣b﹣1, ∵ B 不是空集, ∴ a >0, 即﹣b﹣1≤0,即

点评:

b≥﹣1, 综上﹣1≤b<2 故选:D. 本题主要考查 充分条件和必 要条件的判断, 根据不等式的 性质求出集合 A,B 的等价条 件是解决本题 的关键. ,k∈Z}与 N={ x|x= C.M=N ,k∈Z}之间的关系是( N=φ D.M∩

4. (3 分)集合时 M={x|x= A.M?N 考点: B.N?M 集合的包含关 系判断及应用.
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专题: 分析:

解答:

常规题型. 先将集合 M 进 行化简,然后根 据 2k±1(k∈Z) 表示所有的奇 数,而 k∈Z,即 可判定集合 M 与集合 N 的关 系. 解: M={x|x= , k∈Z}={x|x= , k∈Z} N={ x|x= ,

点评:

k∈Z} ∵ 2k±1(k∈Z)表 示所有的奇数, k∈Z ∴ M?N 故选 A 本题主要考查 集合的包含关 系判断及应用, 属于基础题.要 正确判断两个

集合间的关系, 必须对集合的 相关概念有深 刻的理解,善于 抓住代表元素, 认清集合的特 征. 5. (3 分)函数 f(x)=x ﹣3x﹣1,若对于区间[﹣3,2]上的任意 x1,x2 都有|f(x1)﹣f(x2)|≤t,则实数 t 的最小 值是( ) A.20 B.18 C.3 D.0 考点: 导数在最大值、 最小值问题中 的应用. 高考数学专题; 导数的综合应 用. 对于区间[﹣3, 2]上的任意 x1, x2 都有|f(x1) ﹣f(x2)|≤t,等 价于对于区间 [﹣3,2]上的任 意 x, 都有 f (x)
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3

专题:

分析:

f x) max﹣( min≤t, 利用导数确定 函数的单调性, 求最值,即可得 出结论. 解: 对于区间[﹣ 3,2]上的任意 x1, x2 都有|f (x1) ﹣f(x2)|≤t,等 价于对于区间 [﹣3,2]上的任 意 x, 都有 f (x) f x) max﹣( min≤t, 3 ∵ f(x)=x ﹣3x ﹣1,∴ f′ (x) 2 =3x ﹣3=3(x﹣ 1) (x+1) , ∵ x∈[﹣3,2], ∴ 函数在[﹣3, ﹣ 1]、[1,2]上单 调递增, 在[﹣1, 1]上单调递减 ∴ f (x) (2) max=f =f(﹣1)=1,f

解答:

(x) (﹣3) min=f =﹣19 ∴ ( f x) f x) max﹣( min=20, ∴ t≥20 ∴ 实数 t 的最小 值是 20, 故选 A. 本题考查导数 知识的运用,考 查恒成立问题, 正确求导,确定 函数的最值是 关键.

点评:

6. (3 分) (2014?成都一模)设 a=log32,b=ln2,c= A.a<b<c 考点: B.b<c<a 对数值大小的 比较;换底公式 的应用. 计算题;转化思 想. 根据 a 的真数与 b 的真数相等可 取倒数,使底化 相同,找中间量 1 与之比较大 小,便值 a、b、 c 的大小关系. 解:
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,则(



C.c<a<b

D.c<b<a

专题: 分析:

解答:

a=log32= ,

b=ln2=



而 log23>log2e >1, 所以 a<b, c= 而 = ,

, 所以 c<a, 综上

点评:

c<a<b, 故选 C. 本小题以指数、 对数为载体,主 要考查指数函 数与对数函数 的性质、实数大 小的比较、换底 公式、不等式中 的倒数法则的 应用. )

7. (3 分) (2011?安徽模拟)在△ ABC 中,角 A,B 均为锐角,且 cosA>sinB,则△ ABC 的形状是( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 考点: 分析: 诱导公式的作 用.
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利用 cos(



解答:

α) =sinα 及正弦 函数的单调性 解之. 解:因为 cosA >sinB, 所以 sin ( ﹣A)>

sinB, 又角 A,B 均为 锐角,则 0<B < ﹣A< ,

所以 0<A+B< , 且△ ABC 中, A+B+C=π, 所以 <C<π. 故选 C. 本题考查诱导 公式及正弦函 数的单调性. )

点评:

8. (3 分) (2000?天津)已知 sinα>sinβ,那么下列命题成立的是( A.若 α、β 是第一 B.若 α、β 是第二 象限角, 则 cosα 象限角,则 tanα >cosβ >tanβ C.若 α、β 是第三 D.若 α、β 是第四 象限角, 则 cosα 象限角,则 tanα

>cosβ 考点: 专题: 分析:

>tanβ 象限角、轴线 角. 计算题. 由于题中条件 没有给出角度 的范围,不妨均 假定 0≤α, β≤2π, 结合三角函数 的单调性加以 解决. 解:若 α、β 同 属于第一象限, 则
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解答:

,cosα<cosβ; 故 A 错. 第二象限,则

,tanα<tanβ; 故 B 错. 第三象限,则

,cosα<cosβ; 故 C 错. 第四象限,则

点评:

, tanα>tanβ. (均 假定 0≤α, β≤2π. )故 D 正 确. 答选为 D. 本题考查三角 函数的性质,三 角函数的性质 是三角部分的 核心,主要指: 函数的定义域、 值域,函数的单 调性、对称性、 奇偶性和周期 性.

9. (3 分) (2011?湖南)已知函数 f(x)=e ﹣1,g(x)=﹣x +4x﹣3,若有 f(a)=g(b) ,则 b 的取值范围为( A. B.(2﹣ , C.[1,3] D.(1,3) 2+ ) 考点: 函数的零点与 方程根的关系.
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x

2



专题: 分析:

解答:

点评:

计算题;压轴 题. 利用 f(a)=g (b) ,整理等 式,利用指数函 数的性质建立 不等式求解即 可. 解:∵ f(a)=g (b) , a 2 ∴ e ﹣1=﹣b +4b ﹣3 2 a ∴ ﹣b +4b﹣2=e >0 2 即 b ﹣4b+2< 0,求得 2﹣ <b<2+ 故选 B 本题主要考查 了函数的零点 与方程根的关 系. ,x∈R)的部分图象如图所示,则

10. (3 分) (2014?淮南一模)函数 y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,φ>0,|φ|< 函数的表达式为( )

A.

B.

C.

D.

考点:

专题: 分析:

由 y=Asin (ωx+φ)的部 分图象确定其 解析式. 计算题. 通过函数的表
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解答:

达式的形式结 合图象, 求出 B, A,求出函数的 周期,得到 ω, 函数经过 (2 , 3) 以及 φ 的范围 求出 φ 的值, 得 到选项. 解:由题意可知 A=2,B=1, T= = 6,ω= = ,

因为函数经过 (2,3)所以 3=2sin ( |φ|< , 所以函数的表 达式为 ×2+φ) +1, ,φ=﹣

; 故选 A.

点评:

本题考查三角 函数的解析式 的求法,函数图 象的应用,注意 周期的求法以 及 φ 的求法是 本题的关键,考 查计算能力.
2

11. (3 分) (2012?蓝山县模拟)已知 a>0 且 a≠1,若函数 f (x)=loga(ax ﹣x)在[3,4]是增函数,则 a 的取值 范围是( )

A.(1,+∞)

B. C. D. ( , )∪ (1, [ , ) ∪ (1, +∞) [ , ) + ∞)

考点:

对数函数的单 调性与特殊点.
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专题: 分析:

计算题. 当 a>1 时,由 2 于函数 t=ax ﹣x 在[3,4]是增函 数,且函数 t 大 于 0,故函数 f 2 (x)=loga(ax ﹣x)在[3,4] 是增函数. 当 1>a>0 时,由 题意可得 函数 2 t=ax ﹣x 在[3, 4]应是减函数, 且函数 t 大于 0, 故 ≥4,且 16a﹣4>0,此 时,a 无解. 解:当 a>1 时, 由于函数 t=ax ﹣x 在[3,4]是 增函数,且函数 t 大于 0, 故函数 f (x) 2 =loga(ax ﹣x) 在[3,4]是增函 数,满足条件. 当 1>a>0 时, 由题意可得 函 2 数 t=ax ﹣x 在 [3,4]应是减函 数,且函数 t 大 于 0, 故 ≥4, 且 16a ﹣4>0. 即
2

解答:

a≤ ,且 a> , ∴ a∈?. 综上,只有当 a >1 时,才能满 足条件,

点评:

故选 A. 本题考查对数 函数的单调性 和特殊点,二次 函数的性质,复 合函数的单调 性,注意利用函 数 t=ax ﹣x 在 [3,4]上 大于 0 这个条 件,这是解题的 易错点.
2

12. (3 分)已知 f(x)=m(x﹣2m) (x+m+3) ,g(x)=2 ﹣2.若同时满足条件: (1)?x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0; (2)?x∈(﹣∞,﹣4) ,f(x)g(x)<0. 则 m 的取值范围是( ) A.(﹣4,0) B.(﹣∞,﹣2) C.(﹣4,﹣2) D.? 考点: 专题: 分析: 复合命题的真 假. 计算题. 由(1)可推得 f (x)=m(x﹣ 2m) (x+m+3) <0 在 x≥1 时恒 成立,建立关于 m 的不等式组 可得 m 的范围, 然后由(2)可 得:?x∈(﹣∞, ﹣4) ,使(x﹣ 2m) (x+m+3) <0 成立,只要 使﹣4 比 2m, ﹣ m﹣3 中较小的 一个大即可,分 类讨论可得 m 的范围,综合可 得. x 解:∵ g(x)=2 ﹣2,当 x≥1 时, g(x)≥0, 又∵ ?x∈R, f ( x) <0 或 g(x)< 0 ∴ f(x)=m(x ﹣2m) (x+m+3) <0 在 x≥1 时恒
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x

解答:

成立 所以二次函数 图象开口只能 向下,且与 x 轴 交点都在 (1 , 0) 的左侧, 即



解得﹣4<m< 0; 又因为?x∈(﹣ ∞,﹣4) ,f(x) g(x)<0. 而此时有 g(x) x =2 ﹣2<0. ∴ ?x∈(﹣∞,﹣ 4) ,使 f(x) =m (x﹣2m) (x+m+3)>0 成立, 由于 m<0,所 以?x∈(﹣∞, ﹣4) ,使(x﹣ 2m) (x+m+3) <0 成立, 故只要使﹣4 比 2m,﹣m﹣3 中 较小的一个大 即可, 当 m∈(﹣1,0) 时, 2m>﹣m﹣ 3,只要﹣4>﹣ m﹣3,解得 m >1 与 m∈ (﹣1, 0)的交集为空 集; 当 m=﹣1 时, 两 根为﹣2;﹣2> ﹣4,不符合; 当 m∈(﹣4,﹣ 1)时,2m<﹣ m﹣3, ∴ 只要﹣4 >2m,解得 m <﹣2, 综上可得 m 的 取值范围是:

点评:

(﹣4,﹣2) 故选 C 本题为二次函 数和指数函数 的综合应用,涉 及数形结合的 思想,属中档 题.

二.填空题: 13. (3 分)已知函数 f(x)= ,若 f(a)+f(1)=0,则实数 a= ﹣3 .

考点: 专题: 分析:

解答:

点评:

函数的值. 计算题. 当 a>0 时, 由 f (a)+f(1)=0, 可得 a 无解,当 a<0 时,由 f (a)+f(1)=0, 可得 a=﹣3. 解:当 a>0 时, f(a)=2a,由 f (a)+f(1)=0, 可得 2a+2=0, 解得 a=﹣1(舍 去) . 当 a<0 时, ( f a) =a+1,由 f(a) +f(1)=0,可 得 a+1+2=0,解 得 a=﹣3, 故答案为﹣3. 本题主要考查 求函数的值,体 现了分类讨论 的数学思想,属 于基础题.
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14. (3 分) (2013?广东)若曲线 y=ax ﹣lnx 在点(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 a=

2



考点:

专题: 分析:

利用导数研究 曲线上某点切 线方程. 压轴题;导数的 综合应用. 先求出函数的
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解答:

导数,再由题意 知在 1 处的导数 值为 0,列出方 程求出 k 的值. 解:由题意得 , ∵ 在点(1,a) 处的切线平行 于 x 轴, ∴ 2a﹣1=0,得 a= , 故答案为: .

点评:

本题考查了函 数导数的几何 意义应用,难度 不大.
x

15. (3 分) (2011?辽宁)已知函数 f(x)=e ﹣2x+a 有零点,则 a 的取值范围是 考点: 专题: 分析: 函数零点的判 定定理. 计算题;压轴 题. 先讨论函数的 单调性,得出函 数的最值,由函 数的最大值大 于或等于零(或 函数的最小值 小于或等于零) 得出 a 的取值范 围. x 解:f′ (x)=e ﹣2, 可得 f′ (x) =0 的根为
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(﹣∞,2ln2﹣2] .

解答:

x0=ln2 当 x<ln2 时, f′ (x)<0,可 得函数在区间 (﹣∞,ln2)上 为减函数; 当 x>ln2 时, f′ (x)>0,可得 函数在区间 (ln2,+∞)上 为增函数,

点评:

∴ 函数 y=f(x) 在 x=ln2 处取得 极小值 f(ln2) =2﹣2ln2+a, 并且这个极小 值也是函数的 最小值, 由题设知函数 y=f(x)的最小 值要小于或等 于零,即 2﹣ 2ln2+a≤0,可得 a≤2ln2﹣2, 故答案为: (﹣ ∞,2ln2﹣2]. 利用导数工具 讨论函数的单 调性,是求函数 的值域和最值 的常用方法,本 题可以根据单 调性,结合函数 的图象与 x 轴交 点,来帮助对题 意的理解.

16. (3 分) (2011?潍坊一模)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:① 函数 y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称; ② 对?x∈R, 2 . 考点: 函数的值;函数 的周期性;对数 的运算性质. 计算题;压轴 题. 由于函数 y=f (x ﹣1)的图象关 于点(1,0)对 称,故可得 f (1+x﹣1) +f (1 ﹣x﹣1)=0,由 ② 得出
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成立;③ 当

时,f(x)=log2(﹣3x+1) ,则 f(2011)= ﹣

专题: 分析:

两者结合得出 函数的周期性, 再结合③ 即可求 出 f(2011) .

解答:

解:由于函数 y=f(x﹣1)的 图象关于点(1, 0)对称, 故可得 f(1+x ﹣1)+f(1﹣x ﹣1)=0, 即( f x) =﹣( f ﹣ x)对任何 x 都 成立, 由② 得出



点评:

∴ f (3+x) =f (x) , f(x)是周期为 3 的周期函数, 则 f(2011)=f (1) =﹣f (﹣1) =﹣log24=﹣2, 故答案为:﹣2 本题考查函数 的对称性与周 期性的性质,知 识性较强.解答 的关键是由函 数的对称性得 出函数的周期 性.

三.解答题: 2 17.已知 m∈R,对 p:x1 和 x2 是方程 x ﹣ax﹣2=0 的两个根,不等式|m﹣5|≤|x1﹣x2|对任意实数 a∈[1,2]恒成立;q: 函数 f(x)=3x +2mx+m+ 有两个不同的零点.求使“p 且 q”为真命题的实数 m 的取值范围.
2

考点: 专题: 分析:

命题的真假判 断与应用. 函数的性质及 应用. 利用二次方程 的韦达定理求 出|x1﹣x2|, 将不 等式恒成立转 化为求函数的 最值,求出命题 p 为真命题时 m 的范围;利用二
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解答:

次方程有两个 不等根判别式 大于 0,求出命 题 Q 为真命题 时 m 的范围;p 且 q 为真转化为 两个命题全真, 求出 m 的范围. 解:由题设 x1+x2=a,x1x2= ﹣2, ∴ |x1﹣ x2|=

=



当 a∈[1,2]时, 的最小 值为 3. 要使|m﹣5|≤|x1 ﹣x2|对任意实 数 a∈[1,2]恒成 立,只须|m﹣ 5|≤3, 即 2≤m≤8. 由已知, 得( f x) =3x +2mx+m+ =0 的判别式 △ =4m ﹣12 (m+ )=4m
2 2 2

﹣12m﹣16>0, 得 m<﹣1 或 m >4. 综上, 要使“p 且 q”为真命题,只 需 P 真 Q 真, 即

点评:

, 解得实数 m 的 取值范围是(4, 8]. 本题考查二次 方程的韦达定 理、二次方程有 根的判断、复合

命题的真假与 构成其简单命 题的真假的关 系能及恒成立 问题,属于中档 题. 18.已知 a∈(

,π) ,且 sin +cos =



(Ⅰ )求 cosa 的值; (Ⅱ )若 sin(α+β)=﹣ ,β∈(0, ) ,求 sinβ 的值.

考点:

分析:

解答:

两角和与差的 正弦函数;二倍 角的余弦. (1)把已知条 件两边平方,移 项整理,得到要 求的 α 的正弦 值. (2)角的变换 是本题的中心, 把 β 变换为 (α+β)﹣α,应 用两角差的正 弦公式,在应用 公式同时,注意 角的范围. 解: (Ⅰ ) ∵
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, ∴

, ∴ ∵



. (Ⅱ ) ∵

, ∴





∴ sinβ=sin[(α+ β)﹣α =sin (α+β) cosα ﹣cos (α+β) sinα = 点评: 角的变换是本 题的重点,见到 以整体形式出 现的角一般整 体处理,不会把 角展开,几种公 式在一个题目 中出现,使题目 的难度增大,解 类似题目时,注 意抓住条件和 结论的内在联 系.

19. (2006?重庆)已知定义域为 R 的函数 (Ⅰ )求 a,b 的值;

是奇函数.

(Ⅱ )若对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 考点: 指数函数单调 性的应用;奇函 数. 压轴题. (Ⅰ )利用奇函 数定义, 在( f ﹣ x)=﹣f(x)中 的运用特殊值 求 a,b 的值; (Ⅱ )首先确定
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2

2

专题: 分析:

函数 f(x)的单 调性,然后结合 奇函数的性质 把不等式 f(t 2 ﹣2t) +f (2t ﹣k) <0 转化为关于 t 的一元二次不 等式,最后由一 元二次不等式 知识求出 k 的取 值范围. 解: (Ⅰ )因为 f (x)是奇函数, 所以 f(0)=0, 即
2

解答:

又由 f(1)=﹣f (﹣1)知

. 所以 a=2,b=1. (Ⅱ )由(Ⅰ )知

, 易知 ( f x) 在 (﹣ ∞, +∞) 上为减 函数. 又因为 f(x)是 奇函数, 2 所以 f(t ﹣2t) 2 +f(2t ﹣k)<0 2 等价于 f(t ﹣ 2 2t)<﹣f(2t ﹣k)=f(k﹣ 2 2t ) , 因为 f(x)为减 函数,由上式可 2 得:t ﹣2t>k﹣ 2 2t . 即对一切 t∈R 2 有:3t ﹣2t﹣k >0, 从而判别式

. 所以 k 的取值范 围是 k<﹣ . 点评: 本题主要考查 函数奇偶性与 单调性的综合 应用;同时考查 一元二次不等 式恒成立问题 的解决策略.
3 3

20.已知 sinα+cosα=﹣

,且|sinα|>|cosα|,求 cos α﹣sin α 的值.

考点:

专题: 分析:

解答:

同角三角函数 基本关系的运 用. 三角函数的求 值. 将已知等式两 边平方,利用完 全平方公式及 同角三角函数 间的基本关系 化简求出 sinαcosα 的值, 再利用完全平 方公式及同角 三角函数间的 基本关系求出 cosα﹣sinα 的 值,原式利用立 方差公式变形 后,将各自的值 代入计算即可 求出值. 解: ∵ sinα+cosα=
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∴ 平方得: 1+2sinαcosα= ,即 sinαcosα= , ∴ (cosα﹣sinα)

2

=1﹣

2sinαcosα= , ∵ sinα+cosα<0, sinαcosα>0, ∴ sinα<0,cosα <0, 又∵ |sinα|> |cosα|, ∴ ﹣sinα>﹣ cosα, 即 cosα﹣ sinα>0, ∴ cosα﹣ sinα=
3



则 cos α﹣ 3 sin α=(cosα﹣ sinα) (1+sinαcosα) = = 点评: ×(1+ ) .

此题考查了同 角三角函数基 本关系的运用, 熟练掌握基本 关系是解本题 的关键.

21.已知函数 f(x)=kx﹣ ﹣2lnx. (Ⅰ )若函数 f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切线方程为 2x+5y﹣2=0,求 f(x)的单调区间; (Ⅱ )若函数 f(x)在(0,+∞)为增函数,求实数 k 的取值范围. 考点: 利用导数研究 曲线上某点切 线方程. 导数的综合应 用. (Ⅰ )求出函数 的导数,利用导 数的几何意义 确定 k 的取值, 即可求 f(x)的 单调区间; (Ⅱ )根据函数 单调性和导数 之间的关系,转
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专题: 分析:

解答:

化为导数恒成 立王廷江,即可 求实数 k 的取值 范围. 解: (Ⅰ )函数 f (x)的定义域 为(0,+∞) , ∵

, 可知

,得 ∴



, ∵ f (x) 的定义域 是(0,+∞) , 故由 f'(x)>0 得

,由 f'(x)<0 得 ,

∴ 函数 f(x)的 单调增区间是

,单调减区间是 . (Ⅱ )函数 y=f (x)的定义域 为函数(0, +∞) ,要使函数 函数 y=f(x)在 其定义域内为 单调增函数, 只需函数 f'(x) ≥0 在区间(0, +∞)恒成立. 2 即 kx ﹣2x+k≥0

在区间 (0, +∞) 恒成立.即 在区 间(0,+∞)恒 成立. 令

,x∈(0,+∞) ,

点评:

, 当且仅当 x=1 时 取等号, ∴ k≥1.实数 k 的 范围[1,+∞) . 本题主要考查 导数的应用,要 求熟练掌握导 数的几何意义 以及利用导数 研究函数的单 调性问题.

22. (2012?辽宁模拟)已知函数 f(x)=ax﹣1﹣lnx(a∈R) . (Ⅰ )讨论函数 f(x)在定义域内的极值点的个数; (Ⅱ )已知函数 f(x)在 x=1 处取得极值,且对?x∈(0,+∞) ,f(x)≥bx﹣2 恒成立,求实数 b 的取值范围. 考点: 利用导数研究 函数的极值;函 数恒成立问题; 函数在某点取 得极值的条件.
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专题: 分析:

计算题;综合 题. (Ⅰ )由 f(x) =ax﹣1﹣lnx 可 求得 f′ (x) = ,对 a

分 a≤0 与 a>0 讨论 f′ (x)的 符号,从而确定 f(x)在其定义 域(0,+∞)单 调性与极值,可

得答案; (Ⅱ )函数 f(x) 在 x=1 处取得极 值, 可求得 a=1, 于是有 ( f x) ≥bx ﹣2?1+ ﹣ ≥b,构造函 数g (x) =1+ ﹣ ,g(x)min 即为所求的 b 的 值. 解: (Ⅰ )∵ f(x) =ax﹣1﹣lnx, ∴ f′ (x)=a﹣ = , (1

解答:

分) 当 a≤0 时, f' (x) ≤0 在(0,+∞) 上恒成立,函数 ( f x) 在 (0, +∞) 单调递减, ∴ f(x)在(0, +∞)上没有极 值点; (3 分) 当 a>0 时,f' (x)≤0 得 0< x≤ ,f'(x)≥0 得 ,

∴ f (x) 在 (0, ] 上递减,在[ , +∞)上递增, 即 f(x)在 处有极小值. (5 分) ∴ 当 a≤0 时 f(x) 在(0,+∞)上 没有极值点,当 a>0 时,f(x) 在(0,+∞)上

有一个极值点. (Ⅱ ) ∵ 函数 ( f x) 在 x=1 处取得极 值, ∴ a=1, ∴ f(x)≥bx﹣ 2?1+ ﹣ ≥b, (8 分) 令g (x) =1+ ﹣ ,则 g′ (x) =﹣ ﹣

=﹣ (2﹣lnx) , 由 g′ (x) ≥0 得, 2 x≥e ,由 g′ (x) 2 ≤0 得, 0<x≤e , ∴ g(x)在(0, 2 e ]上递减,在 2 [e ,+∞)上递 增, (10 分) ∴

,即 b≤1﹣ . (12 分) 点评: 本题考查利用 导数研究函数 的极值,考查恒 成立问题,着重 考查分类讨论 思想与构造函 数思想的应用, 体现综合分析 问题与解决问 题能力,属于难 题.


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