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【金版学案】2013-2014学年度高中数学 4.2.3 直线与圆的方程的应用同步辅导与检测课件 新人教A版必修2


圆与方程

4.2 直线、圆的位置关系
4.2.3 直线与圆的方程的应用

正确理解直线与圆的概念,能由直线与圆的位置关系 解决简单的实际问题.

基础梳理 1.用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”:

练习1.(x-a)2+(y-b)2=r2表示圆心在______.半径 为________上的圆. 练习2.y=

1-x 表示圆心在__________,半径
r2-?x-a?2 表示圆心在________,

2

为________的半圆. 练习3.y=b-

半径为________的下半圆. 练习1. (a,b) r 练习2. (0,0) 1 练习3. (a,b) r

思考应用 用坐标方法解决平面几何问题的工具是什么? 解析:用坐标方法解决平面几何问题的基本思想就是 用代数的方法解决几何问题,而建立它们联系的主要工具 就是平面直角坐标系.

自测自评 1.方程x2+y2+2ax-2ay=0(a≠0)表示的圆( A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于直线x-y=0对称 D.关于直线x+y=0对称 解析:该圆的圆心(-a,a),在直线x+y=0上,故 )

关于直线x+y=0对称.
答案:D

2.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m为 ( ) A.0或2 C. B.2 D.无解

2

解析:圆心(0,0)到直线x+y+m=0的距离d= = |m| = m ,m=2.

2

答案:B

3.一直线经过点P -3,- 2 被圆x2+y2=25截得的弦 长为8,求此弦所在的直线方程.

3

?

直线与圆方程的实际应用

某市气象台测得今年第三号台风中心在某市正 东300 km处,以40 km/h的速度向西偏北30°方向移动,据测 定,距台风中心250 km的圆形区域内部都将受到台风影响, 请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间(精确到分 钟).
分析:注意到受台风影响的范围是一个圆,受台风影响 的时间由风向所在直线与圆形区域相交所得弦长确定,故只 要建立适当的坐标系,求出风向及圆形区域圆方程,然后利 用弦长公式即可解决. 解析:以该市所在位置A为原点,正东方向为x轴的正方 向建立直角坐标系,开始时台风中心在B(300,0)处,台风中心 沿倾斜角为150°方向直线移动,其轨迹方程为
3 y=- 3 (x-300)(x≤300).

该市受台风影响时,台风中心 在圆x2+y2=2502内,设射线与圆交

于C、D,则|CA|=|AD|=250,所以
台风中心到达C点时,开始影响该市,中心移至D点时, 影响结束,作AH⊥CD于H,则|AH|=|AB|· sin 30°=150, |HB|=150 3 ,|CH|=|HD|= |AC|2-|AH|2 =200, ∴|BC|=150 3 -200,则该市受台风影响的起始时 间t1= 150 3-200 =1.5 (h),即约90分钟后台风影响该市,
40

台风影响的持续时间t2= 的影响持续时间为10小时.

200+ 200 = 10(h),即台风对该市 40

点评:(1)要建立适当的坐标系,建系决定了运算的

繁简程度.因此,如何将实际问题转化为数学问题,如何
建立适当的数学模型是解题的关键. (2)本题亦可直接求出弦长|CD|=400,则t= 400 =10,
40

即为台风对该市的持续影响时间.

跟踪训练 1.台风中心从A地的每小时20千米的速度向东北方向 移动,离台风中心30千米内的地区为危险地区,城市B在A

的正东40千米处,B城市处于危险区内的时间为(
A.0.5小时 C.1.5小时 B.1小时 D.2小时

)

解析:建系后写出直线和圆的方程,求得弦长为20
千米,故处于危险区内的时间为 20 =1(小时).

20

答案:B

直线与圆的方程在平面几何中的应用 如图所示,在圆O上任取 C点为圆心,作一圆C与圆O的直径AB

相切于D,圆C与圆O交于E、F,且EF
与CD相交于H.求证:EF平分CD.
解析:以 AB 所在直线为 x 轴,O 为坐标原点建立平面直 角坐标系.如图,设|AB|=2r,D(a,0),则|CD|= r2-a2, ∴C(a, r2-a2), ∴圆 O:x2+y2=r2, 圆 C:(x-a)2+(y- r2-a2)2=r2-a2. 两方程作差得直线 EF 的方程为

2ax+2 r2-a2y=r2+a2. 1 2 令 x=a,得 y= r -a2, 2 1 2 2? ? ∴H a,2 r -a ,即 H 为 CD 中点, ? ? ∴EF 平分 CD.
点评:利用坐标方法解决平面几何问题时,要充分利用
直线方程、圆的方程,直线与圆、圆与圆的位置关系等有关 性质.建立适当的平面直角坐标系,正确使用坐标法,使几 何问题转化为代数问题,用代数运算求得结果以后,再解释 代数结果的实际含义,也就是将代数问题再转化到几何问题 中,对几何问题作出合理解释.

跟踪训练 2.如图,直角△ABC的斜边长为定值
2 m,以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆,

BC的延长线交圆于P、Q两点,求证:|AP|2
+|AQ|2+|PQ|2为定值. 解析:如图,以O为坐标原点,以直线BC为x 轴,建立平面直角坐标系,于是有B(-m,0), C(m,0),P(-n,0),Q(n,0). 设A(x,y),由已知,点A在圆x2+y2=m2上.

|AP|2+|AQ|2+|PQ|2
=(x+n)2+y2+(x-n)2+y2+4n2 =2x2+2y2+6n2=2m2+6n2(定值).

涉及圆的最值问题 (多解题)在直线2x+y+3=0上求一点P,使P向

圆x2+y2-4x=0所引得的切线长为最短.
解析:解法一:(代数法)圆化简为(x-2)2+y2=4,切 线长最短,即点P到圆心的距离最短,设圆心为O,P(x0, y0 ) , 则|PO|2=(x0-2)2+y20=(x0-2)2+(2x0+3)2 =5x20+8x0+13,

4 ∴当x0=- 时,|PO|2最小. 5 7
此时切线最短,y0=- , 5 4 7 ∴P点的坐标为 ? - ,- ? . 5? ? 5

解法二:(几何法)由题意知过圆心作直线的垂线l,从垂 足所引的圆的切线最短. 垂线l所在直线的斜率为 1 ,又过圆心(2,0),
2 1 ∴垂线l的方程为y= 2 (x-2),即x-2y-2=0.
? ?2x+y+3=0, 由? 解得 ? ?x-2y-2=0,

? ? 7 ?y=-5.

4 x=- , 5

4 7? ? ∴P -5,-5 . ? ?
点评:充分利用式子的几何意义,可以减少运算量.

跟踪训练 3.已知x,y是实数,且x2+y2-4x-6y+12=0,求

-y的最值.

y (1) 的最值;(2)x2+y2的最值;(3)x+y的最值;(4)x x
解析:圆的方程可化为(x-2)2+(y-3)2=1表示以点

C(2,3)为圆心,1为半径的圆.

的斜率k.

y (1) 表示圆C上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连线 x
故当y=kx为圆C的切线时,k可取得最值.

2 ∵ 3. 2=1,∴k=2± 3 1+k y 2 2 ∴ 的最大值为 2+ 3,最小值为 2- 3. x 3 3
(2)设x2+y2表示圆C上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)
连接的线段长的平方,故由平面几何知识,知P为直线OC 与圆C的两交点P1,P2时,OP12与OP22分别为OP2的最大值、 最小值.

|2k-3|

∴x2+y2 的最大值为( 22+32+1)2=14+2 13, 最小值为( 22+32-1)2=14-2 13.

(3)令 x+y=m, 当直线 l:x+y=m 与圆 C 相切时,l 在 y 轴上截距 m 取得最值. |2+3-m| ∵ =1,∴m=5± 2, 2 ∴x+y 的最大值为 5+ 2,最小值为 5- 2. (4)令 x-y=n, 当直线 l′:x-y=n 与圆 C 相切时, l′在 y 轴上截距的相反数 n 取得最值. |2-3-n| ∵ =1,∴n=-1± 2, 2 ∴x-y 的最大值为-1+ 2,最小值为-1- 2.

1.若直线3x+4y+k=0与圆x2+y2-6x+5=0相切, 则k的值等于( )

A.1或-19
C.-1或-19

B.10或-10
D.-1或19

解析:圆方程为(x-3)2+y2=22,∵圆与直线相
切,∴圆心到切线距离等于半径 ∴ |9+k| =2,∴k=1或-19.

5

答案:A

2.如果实数x,y满足等式(x-1)2+y2= 的最大值是( )

3 ,那么 y x 4

1 A. 2 3 C. 2

3 B. 3 D. 3

解析:的几何意义是圆上的点P(x,y)与原点连线
的斜率,结合图形得,斜率的最大值为 3 ,

y ∴( )max= 3 . x
答案:D

1.用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”: (1)建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问

题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;
(2)通过代数运算,解决代数问题;

(3)把代数运算结果“翻译”成几何问题.
2.直线和圆在现实生活中的应用,主要包括两大块, 一块是直线和圆的直接应用,它涉及质量、重心、气象预报、 购物选址等问题;二是直线和圆的方程形式,可以使我们更

好地了解近代数学的发展.


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