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高一数学教案:2.3.1对数(一).doc


2.3.1 【学习目标】

对数(一)

1、过程目标: (1)通过探究使学生感受化归的数学思想。 (2) 通过探究、思考、反思、完善,培养学生理性思维能力。 2、知识技能目标: (1)理解对数的概念。 (2)能够进行对数式与指数式的互化。 (3)会根据对数的概念求一些特殊的对数式的值。 3、情感目标: (1)通过学习使学生体会知识之间的有机联系,感受数学的整体性,激发学生 的学习兴趣 (2)通过阅读对数发展史,增强学生的数学素养。 教学重点难点:理解对数的概念,能够进行对数式与指数式的互化,
并求一些特殊的对数式的值;对数式与指数式的互化。

教学工具:多媒体

【学前准备】
已知 y=2
x

如果 y 取值为 5,如何来表示 x 值?

【探究活动】
(一)创设情境: 在前面,我们研究了一种放射性物质不断变化为其他物质的过程。设该物质最初的质 量是 1,则经过 x 年,该物质的剩留 y ? 0.84 。 (二)活动尝试: 由此,知道了经过的时间 x ,就能求出该物质的剩留量 y ;反过来,知道了该物质的 剩留量 y ,怎样求出所经过的时间 x 呢?
x

这是已知底数和幂的值,求指数的问题。即指数式 a b ? N 中,已知 a 和 N 求 b 的问题 (这里 a ? 0且a ? 1) 。 (三)师生探究: 1.对数定义:一般地,如果 a ( a ? 0且a ? 1)的 b 次幂等于 N , 即 a b ? N ,那么就称 b 是以 a 为底 N 的对数(logarithm) ,记作 loga N ? b ,其中,a 叫做对数的底数(base of logarithm), N 叫做真数(proper number)。 即 a ? N ? log a N ? b
b

表达形式 指数式 a b ? N 对数式 loga N ? b 根式 a ?
b





a
底数 对数的底数 方根

N
幂 真数 被开方数

b
指数 对数 根指数

对应的运算 由 a , b 求 N—乘方 由 a, N 求 b —求对数 有 b, N 求 a —开方

N

说明:1.? 在指数式中幂 N > 0,∴在对数式中,真数 N > 0. (负数与零没有对数) 2.? 对任意 a ? 0 且 a ? 1 ,
b

都有 a ? 1
0

∴ loga 1 ? 0 ,同样: loga a ? 1 .

3.如果把 a ? N 中的 b 写成 log a N , 则有 aloga N ? N . 如果把 loga N ? b 中的 N 换成 a ,则有 loga ab ? b 。 上述两式称对数恒等式:
aloga N ? N
b


loga ab ? b
2.对数的性质: (1) loga 1 ? 0 (2) loga a ? 1 (3)对数恒等式 3.介绍两种特殊的对数: ①常用对数:以 10 作底 (四)巩固应用:

log10 N 简记为 lg N ②自然对数:以 e 作底(为无理数) , e = 2.718 28…… , loge N 简记为 ln N .

例 1.将下列指数式写成对数式:
(1) 2 ? 16 ;
4

(2) 3

?3

1 ? ; 27

(3) 5 ? 20 ;

a

?1? (4) ? ? ? 0.45 . ?2?

b

例 2.将下列对数式写成指数式: (1)log5 125 ? 3 ; (2)log 1 3 ? ?2 ; (3)lg 0.01 ? ?2 ;
3

(4)ln10 ? 2.303 .

例 3.求下列各式的值: ⑴ log2 64 ;

1 ⑵ log 2 ; 16

(3) lg10000 ; (4) 3

log3

1 27



(5) log (2?

3)

(2 ? 3)

【随堂检测】

(1)计算: ① log9 27 ,② log 3 (2)求 x 的值:① log 3 x ? ?

54

625 .

3 ; 4

② log ?

?2x ?

2 ?1? ? ?

?3x

2

? 2 x ? 1? ? 1 .

(3)求底数:① log x 3 ? ?

3 , 5

② log x 2 ?

7 .③ log x 81 ? 4 8

【问题式小结】
亲爱的同学: 你在这节课上学到了新概念是 了解了 吗? 课后在请尝试用新的知识,去解决一些新问题。

结论,会用了

【思维拓展】 1.计算: (1) log 3 81 ;
4

(2) log 27

1 9

5 2.求 x 的值: log2 x ? ? ; 3

2 1 log x 3 ? . 3 4 2m?n 4.已知 loga 2 ? m,loga 3 ? n ,求 a 的值。

3.求底数: log x 4 ? ? ;
1 lg9

5.计算 31?log 2 ? 100 2
3


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