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第二章 一维随机变量及其分布


第二章
一、 内容精要

一维随机变量及其分布
随机变量及其分布函数

第一节

(一) 随机变量 1. 随机变量的引入的背景

2. 随机变量的严格定义

(二) 分布函数 1. 分布函数的定义

2. 分布函数的性质

>3. 分布函数表示的概率计算公式

二、 常考题型分析
(一) 与分布函数有关的性质 1. 判定给定函数是否为分布函数 例 1 下列函数中,可以做随机变量的分布函数的是?

?

? A? F ? x ? ?

1 . 1 ? x2

? B? F ? x? ? ? D? F ? x? ?

3 1 ? arctan x. 4 2? 2 arctan x ? 1.

? 0, x ? 0, ?C ? F ? x ? ? ? ? x , x ? 0. ? ?1 ? x

?

2. 含参数的分布函数形式已知,求未知参数 例 2 设F X 2的分布函数.为使 1 ? x ? 与F 2 ? x ? 分别为随机变量X1和

F ? x ? =aF1 ? x ? ? bF2 ? x ? 是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组值中应取?

?

? A? a ?

3 2 ,b ? ? . 5 5 1 3 ?C ? a ? ? , b ? . 2 2

? B? a ?

2 2 ,b ? . 3 3 1 3 ? D? a ? ,b ? ? . 2 2

x ? ?1, ? 0, ? 1 ? x ? ?1, 1 ? 例 3 设随机变量X 的分布函数F ? x ? ? ? 8 且P ? X ? 1? ? , 4 ?ax ? b, ?1 ? x ? 1, ? x ? 1, ? ? 1,

求未知参数a, b.

3. 分布函数的连续性 例 4 设随机变量X 对于任意实数x0有P ? X ? x0 ? ? 0的充要条件为

? A? X 为离散随机变量. ? B? X 不是离散随机变量. ?C ? X的分布函数F ? x? 为连续函数.

? D? X的概率密度f ? x? 为连续函数.

例 5 设F ? x ? 为随机变量X的分布函数,则P ? x1 ? X ? x2 ? ? F ? x2 ? ? F ? x1 ?

成立的充要条件是F ? x ? 在?

? ? B? x2处连续. ? D? x1和x2都不连续.

? A? x1处连续. ?C ? x1和x2至少一处连续.

例 6 设F ? x ? 为某个随机变量的分布函数,讨论函数 1? F ? ?x ? 是否为分布

函数.

(二) 已知分布函数求区间或某点的概率

x ? 0, ? 0, ? 1 ? 例 7 设随机变量的分布函数F ? x ? = ? , 0 ? x ? 1, 则P ? X ? 1? 为 ? ? 2 x x ? 1, ? ?1 ? e ,

?

? A? 0.

? B?

1 . 2

?C ?

1 ?1 ?e . 2

? D?1 ? e?1.

的正立方体容器盛有 的液体,假设一个小孔出现在容器6 例 8 一个边长为1
个表面的任何一个部位是等可能的,现在表面出现了一个小孔,液体经此小孔流出,试求

3 4

(1)容器中剩余液体液面的高度X的分布函数F ( x);(2)P( X ?

3 ). 4

例 9 设X 为随机变量,对于任意x ? R,定义函数F ( x)=P( X ? x),且

x ? 0, ? 0, ? 1 ? F ( x)= ? , 0 ? x ? 1, ? 2 ?x x ? 1, ? ?1 ? e ,

则P( X ? 1) ? _____________.

第二节
一、 内容精要

一维随机变量及其分布

(一) 一维离散型随机变量及其分布 1. 分布律和性质

2. 分布函数

3. 常见分布

(二) 一维连续型随机变量及其分布 1. 概率密度及其性质

2. 分布函数的性质

3. 常见分布

二、 常考题型分析
(一) 与概率分布的性质相关的问题 1. 判断函数是否为概率密度 例 1 设F 1 ( x),F 2 ( x)为分别两个随机变量的分布函数,其相应的概率密度

分别为f1 ( x),f2 ( x),这两个函数均是连续函数,则必为概率密度的是?

?

? A? f1(x) f2 (x) ?C ? f1 (x)F2 (x)

? B? f2 (x)F1(x) ? D? f1 (x)F2 (x) ? f2 (x)F1(x)

2. 概率分布已知,求分布中的位置参数 例 2 设随机变量X的概率分布为
k k P ( X ? k ) ? A ? Cn p ?1 ? p ? n?k

? k ? 1, 2,? , n ? ,

其中n ? Z ? ,0 ? p ? 1为已知,则A ? ___________.

例 3 设P( X ? k ) ? ? ?

k ? k ? 1, 2, ?? 为随机变量X 的分布律的充要条件 2k ?1

为__________.

例 4 设f1 ( x)为标准正态分布的概率密度,f2 ( x)为??1,3?上均匀分布的

? af ( x), x ? 0, 概率密度,若f ( x) ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 为概率密度,则a, b应满足 ? ?bf 2 ( x), x ? 0,

?

例 5 设随机变量X 的概率密度函数为f ( x) ? ?

?ax 2e ? x , x ? 0, ? 0, x ? 0,

则a ? ______ .

例 6 设随机变量X的概率密度函数为f ( x) ? ae? x

2

?2 x

, 则a ? ______.

(二) 已知随机试验中的随机变量,求分布律和分布函数

1个黑球;第二个盒子装有3个红 例 7 设有三个盒子,第一盒子有4个红球,
球, 2个黑球;第三盒子装有2个红球, 3个黑球,现在从三个盒子中任取一盒,然后从

中任取3个球,试求所取到的红球个数的分布律与分布函数.

例 8 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中概率为p ? 0 ? p ? 1? ,

记随机变量X 为第2次射中目标所进行的射击的次数.求X得分布律.

(三) 已知分布函数求分布律或已知概率密度函数求分布函数 1. 已知分布函数求分布律 例 9 设随机变量X的分布函数为

x ? ?1, ? 0, ?0.4, ?1 ? x ? 1, ? F ? x? ? ? ?0.8, 1 ? x ? 3, ? x ? 3, ? 1,
试求X的分布律.

例 10 已知随机变量X的概率分布律为

X

1

2 2? ?1 ? ? ?

3

P ?2

?1 ? ? ?

2

3 且P ? X ? 2 ? ? ,求未知参数? 及X 的分布函数F ? x ? . 4

2. 已知概率密度函数求分布函数 例 11 设连续型随机变量X的密度函数为

1 ? 0? x? , ? 2 x, 2 ? 1 ? ? x ? 1, ? 1, f ? x? ? ? 2 ? 3 ?3 ? 2 x, 1 ? x ? , 2 ? ? 其它, ? 0,

试求X的分布函数F ? x ? .

(四) 与常见分布有关的概率问题 1. 离散型常见分布 例 12 设X ~ P ? ? ? , p1, p2分别为随机变量X 取偶数和奇数的概率,则?

?

? A? p1 ? p2 .

? B? p1 ? p2 .

?C ? p1 ? p2

? D? p1, p2大小关系不定.

例 13 设随机变量X的概率密度函数为

?? k +1? x k , 0 ? x ? 1, f ? x? ? ? 其它, ? 0,
1? 37 ? 以Y 表示对X的三次独立的重复观察中,事件A ? ? X ? ? 至少发生一次的概率为 , 2? 64 ?

试求常数n, 使得事件A至少发生的一次的概率超过95%,对X 至少要做多少次独立重
复的观察.

例 14 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中概率为p ? 0 ? p ? 1? ,

直至射中目标为止,记随机变量X 为射击的次数.求X 为偶数的概率.

例 15 设随机变量X 服从二项分布B ? n, p ? ,当k取何值时,P ? X ? k ? 最大.

2. 连续型常见分布 例 16 设X ~ E ? ? ? , 则对于任意s ? 0, t ? 0, 则P X ? s ? t X ? s

?

?? ?

? A? 与t无关,随s的增大而增大. ?C ? 与s无关,随t的增大而增大.

s . ? B? 与 t无关,随 的增大而减少 无关,随 的增大而减少 t . ? D? 与 s

2 例 17 设X ~ N ? , ? ,则P ? X ? 1 ? ? ??

?

?

?

? A?随?的增大而增大. ?C ?随?的增大而不变.

? B?随?的增大而减少. ? D?随?的增大而减少.

2 例 18 设随机变量X 服从正态分布N ?1 , ? 1 ,随机变量Y 服从正态分布

?

?

? A??1 ? ? 2 .

? B ? ?1 ? ? 2 .

?C ? ?1 ? ?2 .

? D? ?1 ? ?2 .

2 例 19 设随机变量X , Y 均服从N 0, ? ,若概率P ? X ? 0, Y ? 0 ? = ,

?

?

1 3

则P ? X ? 0, Y ? 0? = ______.

10个二等品,随机地取两个,安装在 例 20 有100个零件,其中90个一等品,

一台设备上,若2个零件中有i个?i ? 0,1,2? 二等品,则该设备的使用寿命服从参数
为? =i ? 1 的指数分布,试求

?1? 设备寿命超过1的概率; ? 2? 若已知该设备寿命超过1,则安装在该设备上的2个零件均为一等品的概率.

第三节
一、 内容精要

一维随机变量函数的分布

(一) 一维离散型随机变量函数的分布律

(二) 一维连续型随机变量函数分布求解

二、 常考题型分析
(一) 求可列无穷多取值的离散型随机变量函数的分布律 例 1 设X的分布律为P ? X ? n ? ?

1 ?? ? , n ? 1, 2, ?, 求Y ? sin ? X ?的分布律. n 2 ?2 ?

(二) 已知连续型随机变量的概率密度,求非单调函数的概率密度 例 2 设随机变量X的概率密度为

?1 ? 2 , ?1 ? x ? 0, ? ?1 f X ? x ? ? ? , 0 ? x ? 2, ?4 其它. ? 0, ? ?

令Y ? X 2,求Y的概率密度函数.

例 3 设X 服从区间? 0,4? 上的均匀分布,随机变量Y ? X ? 2 X ? 3,试求Y的
2

密度函数.

例 4 设随机变量X服从参数为?指数分布,求Z = max ? X ,

? ?

1 X

? ?的分布函数. ?

(三) 抽象的随机变量函数的分布 例 5 设连续型随机变量X的分布函数为F ? x ? , 令Y ? F ? x ? , 求随机变量函数

Y的概率分布.

例 6 随机变量X的分布函数为F ? x ? , 则Y ? 1 ? X的分布函数为 __________.


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