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2013-2014版高中数学 第1部分 第四章 4.3 空间直角坐标系课件 新人教A版必修2


知识点一

理解教材新知

知识点二

第 四 章

考点一

4.3

把握热点考向

考点二 考点三

应用创新演练

(1)如图数轴上A点、B点

(2)如图在平面直角坐标系中,P、Q点的位置

(3)下图是一个房间的示意图,我们如何表示板凳

和气球的位置?

问题1:上述(1)中如何确定A、B两点的位置? 提示:利用A、B两点的坐标2和-2. 问题2:上述(2)中如何确定P、Q两点的位置? 提示:利用P、Q两点的坐标(a,b)和(m,n).

问题3:对于上述(3)中,空间中如何表示板凳和 气球的位置? 提示:可借助于平面坐标系的思想建立空间直角 坐标系,如图示.

1.空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系:从空间某一定点引三条两两垂 直,且有相同单位长度的数轴: x轴、y轴、z轴 ,这样 就建立了 空间直角坐标系 Oxyz. (2)相关概念: 点O 叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴 叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面, yOz 分别称为 xOy 平面、 平面、 zOx 平面.

2.右手直角坐标系

在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 x轴 的正
方向,食指指向 y轴 的正方向,如果中指指向 z轴 的

正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.

3.空间一点的坐标 空间一点M的坐标可以用 有序实数组(x,y,z) 来 表示, 有序实数组(x,y,z) 叫做点M在此空间直角坐 标系中的坐标,记作 M(x,y,z) .其中 x 叫点M的 横坐标, y 叫点M的纵坐标, z 叫点M的竖坐标.

(1)已知数轴上A点的坐标2,B点的坐标-2. (2)已知平面直角坐标系中P(a,b),Q(m,n).

问题1:如何求数轴上两点间的距离?

提示:|AB|=|x1-x2|=|x2-x1|.
问题2:如何求平面直角坐标系中,P、Q两点间距离?
提示:d=|PQ|= ?a-m?2+?b-n?2.

问题3:若在空间中已知P1(x1,y1,z1)P2(x2,y2,z2) 如何求|P1P2|.

提示:与平面直角坐标系中两点的距离求法类似.

1.点P(x,y,z)到坐标原点O(0,0,0)的距离 |OP|= x2+y2+z2 . 2.任意两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)间的距离

?x1-x2?2+?y1-y2?2+?z1-z2?2 |P1P2|=

.

1.空间直角坐标系的建立 建立空间直角坐标系时,要考虑如何建系才能 使点的坐标简单、便于计算,一般是要使尽量多的 点落在坐标轴上,对于长方体或正方体,一般取相

邻的三条棱所在的直线为x,y,z轴建立空间直角
坐标系.

2.空间直角坐标系的画法 (1)x轴与y轴成135° (或45° ),x轴与z轴成135° (或45° ). (2)y轴垂直于z轴、y轴和z轴的单位长相等,x轴上的单 1 位长则等于y轴单位长的2.

[例1]

如图,在长方体ABCD-

A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,CC1 上的点,|CF|=|AB|=2|CE|,|AB|∶ |AD|∶|AA1|=1∶2∶4.试建立适当的 坐标系,写出E,F点的坐标. [思路点拨] 可选取A为坐标原点,射线AB,AD,

AA1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系.

[精解详析]

以A为坐标原点,射线AB,AD,

AA1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系,如 图所示.

分别设|AB|=1,|AD|=2,|AA1|=4, 1 1 则|CF|=|AB|=1,|CE|=2|AB|=2, 1 3 所以|BE|=|BC|-|CE|=2-2=2. 3 所以点E的坐标为(1,2,0),点F的坐标为(1,2,1).

[一点通]

空间中点P坐标的确定方法

(1)由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面,依次 交x轴、y轴、z轴于点Px,Py,Pz,

这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x、y、z,那么
点P的坐标就是(x,y,z). (2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面,或点P 在坐标轴或坐标平面上,则要充分利用这一性质解题.

1.已知三棱锥S-ABC,SA⊥面 ABC,SA=2,△ABC为正三角形 且边长为2,如图建立空间直角坐 标系后,试写出各顶点坐标.

解:∵SA⊥面ABC,且SA=2, ∴S(0,0,2). A为原点,∴A(0,0,0). C点在y轴上,且AC=2,∴ C(0,2,0). B点位于平面xAy内,由B向AC作垂 线交AC于D,则AD=1,BD= 3 , ∴B( 3,1,0).

[例2]

点P(-3,2,-1)关于平面xOz的对称点是

________,关于z轴的对称点是________,关于 M(1,2,1)的对称点是________. [思路点拨] 结合图形,利用图象对称的思想找

准对称点.

[精解详析]

从图形上看, P 关于平面 xOz 对称后, 点

它的纵坐标变为相反数,其他不变,因此第一个应填 (-3,-2,-1);P 关于 z 轴对称后,它的竖坐标没变, 横、纵坐标变为相反数,因此第二个应填(3,-2, -1);设 P 关于 M(1,2,1)对称后的点为(x,y,z),则由中 -3+x 2+y -1+z 点坐标公式得 2 =1, 2 =2, 2 =1,解得,x =5,y=2,z=3.因此第三个应填(5,2,3).

答案:(-3,-2,-1)

(3,-2,-1)

(5,2,3)

[一点通]

平面直角坐标系中的对称性可以推广到空

间直角坐标系中.在空间直角坐标系中,任一点P(x,y,z) 的几种特殊的对称点的坐标如下: ①关于原点对称的点的坐标是P1(-x,-y,-z); ②关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x,-y,-z);

③关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(-x,y,-z);

④关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(-x,-y,z); ⑤关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x,y,-z); ⑥关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(-x,y,z); ⑦关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x,-y,z).

2.点M(3,-3,1)关于xOz平面的对称点是 A.(-3,3,-1) C.(3,-3,-1) B.(-3,-3,1) D.(3,3,1)

(

)

解析:∵点(a,b,c)关于xOz平面的对称点 为(a,-b,c), ∴(3,-3,1)关于xOz平面的对称点为(3,3,1). 答案:D

3.点M(3,-3,1)关于z轴的对称点是 A.(-3,3,1) C.(3,-3,-1) B.(-3,-3,-1) D.(-3,-3,1)

(

)

解析:∵点(a,b,c)关于z轴的对称点为(-a,-b,c), ∴(3,-3,1)关于z轴的对称点为(-3,3,1). 答案:A

[例3]

如图所示,在长方体ABCD

-A1B1C1D1中,|AB|=|AD|=3,|AA1|
=2,点M在A1C1上,|MC1|=2|A1M|, N在D1C上且为D1C中点,求M、N两 点间的距离. [思路点拨] 建立空间直角坐标系,求出M,N的坐标,

用空间两点间距离公式求解.

[精解详析]

如图所示,分别以

AB,AD,AA1所在的直线为x轴、y轴、 z轴建立空间直角坐标系. 由题意可知C(3,3,0),D(0,3,0), ∵|DD1|=|CC1|=|AA1|=2, ∴C1(3,3,2),D1(0,3,2), ∵N为CD1的中点,

3 ∴N(2,3,1). M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点,∴M(1,1,2). 由两点间距离公式,得 |MN|= 3 21 2 2 2 ?2-1? +?3-1? +?1-2? = 2 .

[一点通]

求空间两点间的距离时,一般使用

空间两点间的距离公式,应用公式的关键在于建立 适当的坐标系,确定两点的坐标.确定点的坐标的 方法视具体题目而定,一般说来,要转化到平面中 求解,有时也利用几何图形的特征,结合平面直角

坐标系的知识确定.

4.如图,在空间直角坐标系中,有 一棱长为a的正方体ABCD- A1B1C1D1,A1C的中点E到AB的中 点F的距离为 A. 2a C.a 2 B. 2 a 1 D.2a ( )

解析:由题意可知A1(a,0,a),C(0,a,0),A(a,0,0), B(a,a,0),则由中点坐标公式可得: a a a a E(2,2,2),F(a,2,0), 故由空间两点间的距离公式可得 |EF|= a a a2 a 2 2 2 ?2-a? +?2-2? +?2-0? = 2 a.

答案:B

5.已知A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且|PA|

=|PB|,则点P的坐标为________.
解析:设P(0,0,z),由已知可得 1+?-2?2+?z-1?2= 22+22+?z-2?2, 解得z=3,∴P(0,0,3).

答案:(0,0,3)

6.已知点A(1,-2,1)关于坐标平面xOy的对称点为A1,
求A,A1两点间的距离.

解:∵点(x,y,z)关于xOy平面的对称点为 (x,y,-z), ∴点A(1,-2,1)关于xOy平面的对称点为 A1(1,-2,-1). 由空间两点间的距离公式可得|AA1| = ?1-1?2+?-2+2?2+?1+1?2=2. 即A,A1两点间的距离为2.

1.求空间直角坐标系中的点的坐标时,可以由点向 各坐标轴作垂线,垂足的坐标即为在该轴上的坐标. 2.空间直角坐标系的建立要选取好原点,以各点的 坐标比较好求为原则,另外要建立右手直角坐标系.

3.利用空间中两点间距离公式求空间直角坐 标系中点的坐标时,要把握好公式的形式.设出 点的坐标,同时要注意方程思想的运用.


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