当前位置:首页 >> 高三数学 >>

谈数学变式教学在高中数学教学中的应用


谈数学变式教学在高中数学教学中的应用
陇东中学 贾恒旺
随着高中新课改在全国范围内的全面实施,几乎所有数学教师 都有这样的感受,就是“时间紧,教学内容多” 。然而,部分教师为 了争取时间便满堂灌,致使学生的掌握情况非常不好。面对这样的情 形,变式教学在数学课堂中的应用就显得尤为重要。 一、什么是数学变式教学 变式教学是运用不同的知识和方法,对有关数学概念、公式、定 理、习题等进行不同角度、不同层次、不同背景的变化,有意识的引 导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质,从“不变”中探求规 律。变式教学最终是为了通过变化让学生掌握变化中的不变,能从不 同方面、不同角度和不同情况来说明某一事物,从而概括出事物的一 般属性,使学生能真正理解知识和方法的本质原理的教学。变式教学 泛指知识形成过程中的问题设计变式、基本概念辨析型变式、定理和 公式的深化变式、例题和习题的一题多解、一法多用、一题多变、多 题归一等。 二、高中数学教学中应用变式教学的主要意义: (一)、利用变式教学创设教学情境,激发学生学习积极性。 高中数学的大部分概念比较抽象, 教师在教学中如果直接抛出概 念,学生很难接受。而如果根据概念类型,设计一系列变式,将概念 还原到客观实际(如实例、模型或已有经验、题组等)提出问题,为

学生创设生动形象的教学情境, 就可以大大激发学生学习数学的热情 和积极性。例如:在进行指数函数概念教学时,可以这样进行变式教 学: (1)提出问题: 我有一张白纸,把它撕成两半,将它们重叠后再撕一次,重叠后再撕 一次??那么撕扯 3 次后把所有的纸重叠放置有多少层?5 次呢?15 次 呢? (2)若一张纸厚 0.1 毫米,那么撕纸 15 次后把所有的纸重叠放置有 多高?有一人高吗?若撕掉 20 次呢? (3)你能建立起 “纸的张数 y 与撕纸的次数 x” 之间的函数关系式吗? 生活中就存在这样一类函数,从而给出指数函数的概念。 通过这样一组由特殊到一般的变式题, 可以帮助学生建立感性经验和 抽象概念之间的联系,激发学生的思维,引导学生积极探索。 (二) 、利用变式教学预设“陷阱” ,培养学生思维的严谨性。 在概念、 定理及公式的教学过程中, 通过对有关数学概念、 定理、 公式等进行不同角度、不同层次、不同背景的变化,有意识的引导学 生发现变化中的不变,明确并凸显出概念、定理及公式的条件、结论 和适用范围、注意事项等关键之处,让学生深入理解概念、定理及公 式的本质,从而培养学生严密的逻辑推理能力。 例如:在引入奇偶函数定义之后,为了让学生透彻理解该定义,掌 握定义的内涵和外延,特别是搞清楚“定义域关于原点对称”等有关 问题,可利用辨析型变式设计下列变式题组织学生讨论。

判断下列函数的奇偶性,并说明理由: (1) y ?
3 x
y ? 3 1? x (1 ? x ? 3) (2) y ? lg x 1? x
y ? lg 1 ? x (0<x<1)事实 1? x

上,判断函数的奇偶性要先考虑函数的定义域是否关于原点对称,根 据函数的定义域将函数进行化简后再判断 f(-x)与 f(x)的关系。 这 组变式题,通过引发学生头脑中固有思维模式的冲突,使学生加深了 对“定义域关于原点对称”的必要性的理解。教学中,设置反例、错 例辨析的变式训练,通过对问题正面、侧面、反面的分析,使学生发 现问题的症结所在,达到去伪存真、由此及彼的目的。 (三) 、利用变式教学深化基础知识,拓展学生的数学思维。 著名的数学教育家波利亚曾形象地指出: “好问题同某种蘑菇有 些相像,它们都成堆地生长,找到一个以后,你应当在周围找找,很 可能附近就有好几个。 ”数学教学中,通过对一个基本问题的变式, 引导学生运用类比、联想、特殊化和一般化的思维方法,探索问题的 发展变化,使其在更深入、更透彻地理解问题的本质的同时拓展了数 学思维。 例如:在进行增、减函数的概念教学时,为了让学生熟练掌握增、 减函数的定义,需要进行概念深化变式。也就是探求概念的等价形式 或变式含义, 并探讨等价形式及变式含义的应用, 达到透彻理解概念、 灵活应用概念的目的。因此要学生注意增、减函数定义的如下两种等 价形式: (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 或
x1 ? x 2 ? 0 的解释.在形成概念后, f ( x1 ) ? f ( x 2 )

不应急于应用概念去解决问题,而应对概念作进一步的探讨,通过辨 析型变式和等价深化变式,使学生对概念有更加深刻的理解,让学生

既知其然,又知其所以然。数学变式教学以一胜多、举一反三的变式 训练,给数学教学注入了生机和活力,提高了学生的兴趣,调动了学 生的积极性,使其学得轻松,并且避免“题海” ,从而提高了课堂教 学效率和教学质量,对学生掌握知识、促进思维和培养能力等方面起 着非常重要的作用。然而,变式教学不能变成教师整节课的精彩演绎 和拓展, 决不能一时兴起就刹不住车, 教师讲得神采飞扬, 酣畅淋漓, 学生听得头昏脑胀,应对不暇。教师必需注意学生的感觉,控制变式 的节奏、变式的维度及变式的深度。 “变”与“不变” ,都要让学生去 体验。教师的作用应该主要是引导和点拨,使学生去思考和比较,发 现变式问题中的“变”与“不变” 。 三、数学变式教学在高中数学教学中的应用举例 例 1:如在新授定理“a+b≥2 ,其中 ab ” a,b∈R+, (当且仅当

a=b 时取“=”号)的定理时,强调定理使用的条件是: “一正二定 三相等” 。通过如下课本习题进行变式教学: 原题:已知 x>0,求 y ? 变式 1:x∈R,函数 y ?
x ? 1 x

的最小值。

x ?

1 x

有最小值吗?为什么?
1 x

变式 2:已知 x>0,求 y ? 变式 3:x>3,函数 y ?

x2 ? 1 x

的最小值;

x ?

的最小值为 2 吗?

均值不等式是高中阶段的一个重点,但学生在使用时,很容易忘 记定理使用的条件“一正二定三相等” 。因此在教学中由课后习题出 发,利用条件特殊化即将原题中一般条件,改为具有特定性的条件, 使题目具有特殊性。设计三个变式练习的解答,使学生加深了对定理

成立条件的理解与掌握,为定理的正确使用打下了较坚实的基础。
2 2 例 2:原题:在椭圆 x ? 2 y ? 8 上求一点 P,使它与两个焦点的连

线互相垂直。
2 2 变式 1:椭圆 x ? 2 y ? 8 的两个焦点是 F1、F2,点 P 为它上面一动

点,当∠F1PF2 为钝角时,点 P 的横坐标的取值范围是___________。 分析: 受原题的启发, 无论是钝角还是锐角, 都是以直角为参照, 该题解法很多,但以几何法最为简洁。如图,以坐标原点 O 为圆心, 以|F1F2|为直径画圆与椭圆交于 A、B、C、D 四点,由直径所对的圆周 角是直角可知:当点 P 位于 A、B、C、D 四点时,∠F1PF2 为直角,当 点 P 位于椭圆上弧 AB 或弧 CD 上时, ∠F1PF2 为钝角; 锐角的情况不言 而喻,易求点 P 横坐标的取值范围。
2 2 变式 2:F1、F2 是椭圆 C:4 x ? y ? 16 的两焦点,在 C 上满足 PF1⊥PF2

的点 P 的个数为__________。 分析: 该题只将求点的坐标改为判断点的个数, 但解法是相同的, 只是求以|F1F2|为直径的圆与椭圆的交点个数。
2 2 变式 3:设椭圆 mx ? (m ? 3) y ? 16 的两个焦点是 F1(-C,0) ,F2(C,

0) ,C>0,且椭圆上存在点 P,使得 PF1 与 PF2 垂直,求实数 m 的取值 范围。 分析:显然该题在椭圆中引入参数,将求点的坐标改为“求参数的取 值范围”的热点问题,解法是相同的, 要使椭圆上存在点使 PF1⊥PF2, 只需以 F1F2 为直径的圆与椭圆有交点, 也就是椭圆的焦距大于或等于 椭圆的短轴长即得。

评注:圆锥曲线是高中教学很重要的一部分内容,也是学生较难 掌握的。教师在复习的过程中将习题进行变式,不仅加深了学生对椭 圆概念的理解,而且通过分析以 F1F2 为直径的圆与椭圆有交点情况, 培养了学生数形结合的思维能力,符合学生的认识规律。 例 3:已知 x、y≥0 且 x+y=1,求 x2+y2 的取值范围。 分析:由 x+y=1 得 y=1-x,则 x2+y2=2x2-2x+1, 因为 x∈[0,1],根据二次函数的图象与性质知:当 x=0.5 时, x2+y2 取最小值 0.5;当 x=0 或 1 时,x2+y2 取最大值 1。 变式:已知 a、b 为非负数,M=a3-a2+ab,a+b=1,求 M 的最值。 评注:函数思想是中学阶段基本的数学思想之一,揭示了一 种变量之间的联系,往往用函数观点来探求变量的最值。对于二元或 多元函数的最值问题,往往是通过变量替换转化为一元函数来解决。 同时解决函数的最值问题,我们已经有比较深的函数理论,如单调性 的运用、导数的运用等都可以求函数的最值。原题中利用函数知识, 代入法来解决,变式中利用导数可以求函数的最值,不但复习了运用 函数思想求变量的最值的常见方法, 同时也有助于在教学中引导学生 对函数思想的形成,加强学生对函数概念及其性质的理解。 四、高中数学变式教学中应注意的问题 在教学实践中也发现, 有些教师对变式教学的 “度” 把握不准确, 不能因材施教,在教学中单纯地为了练习而练习,给学生造成了过重 的学习和心理负担,使学生产生了逆反心理, “高投入、低产出” ,事 倍而功半。同时,有的教师要注意教学要有梯度,循序渐进,切不可

搞“一步到位” ,否则会使学生产生畏难情绪,影响问题的解决,降 低学习的效率。 总之,数学变式教学要源于课本又要高于课本,要明确目的,遵 循课标,要突出重点,以点带面,在教学的过程中要针对实际,因人 而异。著名的数学教育家波利亚曾形象的指出: “好问题同某种蘑菇 有些相像, 它们都成堆地生长, 找到一个以后, 你应当在周围找一找, 很可能附近就有好几个。 ”数学课堂教学中,变式教学就是数学教育 家波利亚所说的“蘑菇” ,它能够充分调动学生的主观能动性,使多 向性、多层次的交互作用引进数学教学过程,教师通过变式教学,不 但使学生能举一反三,而且能使教学结构发生质的变化,使学生成为 创造的主人。


相关文章:
高中数学课堂中变式教学的案例解析
关键词:高中数学;数学课堂;变式教学;案例解析 中图分类号:G632 文献标识码:B 文章编号:1002-7661(2014)04-205-01 在本文中主要是针对数学教学中一些普遍的问题...
2014谈高中数学课堂教学的变式教学
2014谈高中数学课堂教学的变式教学_数学_高中教育_教育专区。变式教学不仅是指问题...然而,为了争取时间提高课堂教学的效益, 变式教学在数学课堂中的应用就显得尤为...
浅谈高中数学中的变式教学策略
关键词 高中数学 变式教学 应用策略 中图分类号:G633.6 文献标识码:A 很多的高中数学课堂教学都是在教学中就题论题,学生学到的都是僵化的思路,呆滞的思 维,...
浅谈高中数学的概念变式教学
浅谈高中数学的概念变式教学_数学_高中教育_教育专区。龙源期刊网 http://www....变式教学被教师在课堂教学中充分 应用,它对发展学生能力,拓展学生思维方面有重要...
高中数学中变式教学
高中数学中变式教学_数学_高中教育_教育专区。浅析高中数学中的变式教学 (习水县第一中学贵州习水 564600) 【摘要】作者针对高中数学中的变式教学做了一些理论和...
浅谈高中数学解题教学中变式训练的应用2100
浅谈高中数学解题教学中变式训练的应用2100_数学_高中教育_教育专区。浅谈高中...参考文献: [1]吕丛林.谈数学变式训练[J].中学课程辅导·教学研究,2010,15(...
变式教学策略在高三数学复习中的实施
2.高三数学教学课堂上有效变式教学的策略 2.1 加深对数学概念的理解 数学概念...揭示知识点的内涵,提高 学生的准确辨析能力,使其在相关试题的测验中灵活运用。...
重视高中数学解题教学中的变式训练
重视高中数学解题教学中的变式训练_数学_高中教育_教育专区。龙源期刊网 http:/...但这种学习方式在应用时不可过分 延伸,也不可太过形式化,教师在教学的时候需要...
高中数学解题教学中的变式训练分析
高中数学解题教学中的变式训练分析_教学案例/设计_...对数学的兴趣愈发的减弱,这也是数学老师较为头痛的...从而激发学生的求知欲和探索欲,合理的运用变式来...
重视高中数学解题教学中的变式训练
重视高中数学解题教学中的变式训练_数学_小学教育_教育专区。龙源期刊网 http:/...【摘要】在现代的高中数学的教育过程当中,变式训练已经成为一种新的教学办法,...
更多相关标签: