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青阳中学2016届高三数学(文科)限时训练 2016—11—1


2016 届高三数学(文科)限时训练
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.设集合 M ? ?2,0, x? ,集合 N ? ?0,1 ? ,若 N ? M ,则 x ? 答案:1 2.若复数 z ? 答案:-1

2016—11—1





a?i (其中 i 为虚数单位)的实部与虚部相等,则实数 a ? i





3.在一次射箭 比赛中 , 某运动员 5 次射箭的环 数 依次是 9,10,9, 7,10 ,则该组数据 的 方差 是 ▲ .

答案:

6 5

4.甲、乙两位同学下棋,若甲获胜的概率为 0.2 ,甲、乙下和棋的概率为 0.5 ,则乙获胜的概率为 ▲ . 答案: 0.3 解读:为了体现新的《考试说明》 ,此题选择了互斥事件,选材于课本中的习题。 5.运行如图所示的程序后,输出的结果为 答案:42 ▲ . i←1 S←0 While i<8 i←i + 3 S←2? i + S End While Print S END
第 6 题图

6 . 若 直 线 y ? x ? b 是 曲 线 y ? x ln x 的 一 条 切 线 , 则 实 数

b ? ___________.
7.设 ? , ? 为两个不重合的平面, m, n 为两条不重合的直线, 给出下列的四个命题: (1)若 m ? n, m ? ? ,则 n // ? ; (2)若 n ? ? , m ? ? , ? 与 ? 相交且不垂直,则 n 与 m 不垂直; (3)若 ? ? ? ,? ? ? ? m, n ? ? , n ? m, 则 n ? ? ;

(4)若 m // n, n ? ? , ? // ? , 则 m ? ? .其中,所有真命题的序号是 8.如图,△ABC 中, AC ? 3 , BC ? 4 , ?C ? 90? ,D 是 BC 的中点, 则 BA ? AD 的值为___________.



B

??? ? ????

D
C

9 .若一个圆锥的底面半径为 1 ,侧面积是底面积的 2 倍,则该圆锥的体积为 ▲ . 答案:

(第 8 题图)

A

3? 3

10. 若函数 f ( x) ? sin(? x ?

?
6

)(? ? 0) 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为

于点 ( x0 ,0) 成中心对称, x0 ? [0,

?
2

? , 且该函数图象关 2

] ,则 x0 ?





答案:

5? 12
1 ”成立的 2
▲ 条件 (选

11.设向量 a ? (sin 2? , cos ? ) , b ? (cos ? ,1) ,则“ a//b ”是“ tan ? ? 填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) . 答案:必要不充分

12.已知 R 上的可导函数 f ( x) 的导函数 f ?( x) 满足: f ( x) ? f ?( x) ? 0 ,且 f (1) ? 1 ,则不等式

f ( x) ?

1 e x ?1

的解集是

.

13.实数 a, b, c, 当 c ? 0 时满足: b ? 2a ? 3c ,且 bc ? a 2 ,则

b 的范围是_________ a ? 2c

14.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? ?1 , a2 ? a1 , | an?1 ? an |? 2n (n ? N * ) ,若数列 ?a2n?1? 单调递减, 数列 ?a2 n ? 单调递增,则数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ▲ .

? ?2n ? 1 , n为奇数 ? ( ?2) n ? 1 ? 3 答案: ( 说明:本答案也可以写成 ? ) n 3 2 ? 1 ? , n为偶数 ? ? 3
二、解答题: 15.(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设锐角 ? 的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边与 单 位 圆 交 于 点 P( x1 , y1 ) , 将 射 线 OP 绕 坐 标 原 点 O 按 逆 时 针 方 向 旋 转

Q( x2 , y2 ) . 记 f (? ) ? y1 ? y2 . (1)求函数 f (? ) 的值域;
(2)设 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 f (C) ? 2 ,且 a ? 解: (1)由题意,得 y1 ? sin ? , y2 ? sin(? ?

? 后与单位圆交于点 2
y

,求 b . 2 , c ? 1Q
α O P x

?
2

) ? cos ? ,

………4 分

所以 f (? ) ? sin ? ? cos ? ?

2 sin(? ? ) , 4

?

………………6 分

第 15 题图

因为 ? ? (0,

?
2

) ,所以 ? ?

?

? 3? ? ( , ) ,故 f (? ) ? (1, 2] . 4 4 4
?

……………8 分

(2)因为 f (C ) ?

2 sin( ? C ) ? 2 ,又 C ? (0, ) ,所以 C ? , 4 2 4
2 2 2

?

?

………10 分

2 在 ?ABC 中,由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos C ,即 1 ? 2 ? b ? 2 2 ?

2 b, 2

解得 b ? 1 .

……………14 分

16 (.本小题满分 14 分) 如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, O, E 分别为 B 1 D, AB 的中点. (1)求证: OE // 平面 BCC1B1 ; (2)求证:平面 B1DC ? 平面 B1DE . 证明(1) :连接 BC1 ,设 BC1 ? B1C ? F ,连接 OF , ………2 分
A1

D1

C1 B1 O

D

C E B

1 因为 O,F 分别是 B1D 与 B1C 的中点,所以 OF // DC ,且 OF ? DC , A 2 1 又 E 为 AB 中点,所以 EB // DC ,且 EB ? DC , 2 从而 OF // EB, OF ? EB ,即四边形 OEBF 是平行四边形, A1 所以 OE // BF , ……………6 分 又 OE ? 面 BCC1B1 , BF ? 面 BCC1B1 , 所以 OE // 面 BCC1B1 . ……………8 分
(2)因为 DC ? 面 BCC1B1 , BC1 ? 面 BCC1B1 , 所以 BC1 ? DC , 所以 BC1 ? 面 B1DC ,…………12 分 而 BC1 // OE ,所以 OE ? 面 B1DC ,又 OE ? 面 B1DE , 所以面 B1DC ? 面 B1DE . ………14 分 ………… 10 分 又 BC1 ? B1C ,且 DC, B1C ? 面 B1DC , DC ? B1C ? C , A

第 16 题图

D1 B1 O D E B F

C1

C

17. 如图①, 一条宽为 1km 的两平行河岸有村庄 A 和供电站 C, 村庄 B 与 A、 C 的直线距离都是 2km, BC 与河岸垂直,垂足为 D.现要修建电缆,从供电站 C 向村庄 A、B 供电.修建地下电缆、水下电 缆的费用分别是 2 万元/km、4 万元/km. (1)已知村庄 A 与 B 原来铺设有旧电缆,但旧电缆需要改造,改造费用是 0.5 万元/km.现决定利 用此段旧电缆修建供电线路,并要求水下电缆长度最短,试求该方案总施工费用的最小值. π (2)如图②,点 E 在线段 AD 上,且铺设电缆的线路为 CE、EA、EB.若∠DCE=θ(0≤θ≤ ),试 3 用 θ 表示出总施工费用 y (万元)的解析式,并求 y 的最小值.

解: (1)由已知可得△ABC 为等边三角形,∵AD⊥CD,∴水下电缆的最短线路为 CD. 过 D 作 DE⊥AB 于 E,可知地下电缆的最短线路为 DE、AB. ………3 分 3 又 CD=1,DE= ,AB=2,故该方案的总费用为 2 3 1×4+ ×2+2×0.5=5+ 3 (万元) . …………6 分 2

π (2)∵∠DCE=θ (0≤θ≤ ) 3 1 ∴CE=EB= ,ED=tanθ,AE= 3-tanθ. cosθ 3-sinθ 1 1 则 y= ×4+ ×2+( 3-tanθ)×2=2× +2 3 ……9 分 cosθ cosθ cosθ 3-sinθ π 令 f (θ)= (0≤θ≤ ) cosθ 3 2 -cos θ-(3-sinθ)(-sinθ) 3sinθ-1 则 f ?(θ)= = ,……11 分 cos2θ cos2θ π 3 1 π ∵0≤θ≤ ,∴0≤sinθ≤ ,记 sinθ0= ,θ0∈(0, ) 3 2 3 3 1 当 0≤θ<θ0 时,0≤sinθ< ,∴f ?(θ)<0 3 π 1 3 当 θ0<θ≤ 时, <sinθ≤ ,∴f ?(θ)>0 3 3 2 π ∴f (θ)在[0,θ0)上单调递减,在(θ0, ]上单调递增.……13 分 3 1 3- 3 2 ∴f (θ)min=f (θ0)= =2 2,从而 ymin=4 2+2 3,此时 ED=tanθ0= , 4 2 2 3 2 答:施工总费用的最小值为(4 2+2 3)万元,其中 ED= . ……15 分 4 18.(本小题满分 16 分)设数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a1a5 ? 64 , (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)对于正整数 k , m, l ( k ? m ? l ) ,求证:“ m ? k ? 1 且 l ? k ? 3 ”是“ 5ak , am , al 这三项经适当 (3)设 数 列 ?bn ? 满 足 : 对 任 意 的 正 整 数 n , 都 有 a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ? ? ? anb1 排序后能构成等差数列”成立的充要条件;

S5 ? S3 ? 48 .

? b ? ? 3 ? 2n?1 ? 4n ? 6 ,且集合 M ? ?n | n ? ? , n ? N * ? 中有且仅有 3 个元素,试求 ? 的取值范围. ? an ? 2 解: (1)? 数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,? a1a5 ? a3 ? 64 ,? a3 ? 8 ,
2 n?3 n 又? S5 ? S3 ? 48 ,?a4 ? a5 ? 8q ? 8q ? 48 ,? q ? 2 ,? an ? 8 ? 2 ? 2 ;… 4 分

(2) (ⅰ)必要性:设 5ak , am , al 这三项经适当排序后能构成等差数列, ①若 2 ? 5ak ? am ? al ,则 10 ? 2k ? 2m ? 2l ,?10 ? 2m?k ? 2l ?k ,?5 ? 2m?k ?1 ? 2l ?k ?1 ,
m ? k ?1 ? ?1 ?m ? k ? 1 ?2 ? ? l ? k ?1 , ?? . ………… 6 分 ?4 ? ?l ? k ? 3 ?2 k ②若 2am ? 5ak ? al , 则 2? 左边为偶数, 等式不成立, ③ 2 m?52 ? ? 2 l , ? 2m?1?k ? 2l ?k ? 5 , 若 2al ? 5ak ? am ,同理也不成立, …………8 分 综合①②③,得 m ? k ? 1, l ? k ? 3 ,所以必要性成立. (ⅱ)充分性:设 m ? k ? 1 , l ? k ? 3 , 则 5ak , am , al 这三项为 5ak , ak ?1, ak ?3 ,即 5ak,2 ak,8 ak ,调整顺序后易知 2ak ,5ak ,8ak 成等差数

列,所以充分性也成立.

综合(ⅰ) (ⅱ) ,原命题成立.
1 2 3 n

…………10 分
n?1

n?1 (3)因为 a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ? ?? anb1 ? 3 ? 2 ? 4n ? 6 ,

即 2 bn ? 2 bn?1 ? 2 bn?2 ? ?? 2 b1 ? 3 ? 2
1 2 3

? 4n ? 6 , (*)

? 当 n ? 2 时, 2 bn?1 ? 2 bn?2 ? 2 bn?3 ? ?? 2n?1b1 ? 3 ? 2n ? 4n ? 2 , (**)
2 3 4 n n?1 则(**)式两边同乘以 2,得 2 bn?1 ? 2 bn?2 ? 2 bn?3 ? ?? 2 b1 ? 3 ? 2 ? 8n ? 4 , (***)

? (*)-(***) ,得 2bn ? 4n ? 2 ,即 bn ? 2n ? 1(n ? 2) ,
2 ?bn ? 2n ? 1 .………14 又当 n ? 1 时,2b1 ? 3 ? 2 ?10 ? 2 , 即 b1 ? 1 , 适合 bn ? 2n ? 1(n ? 2) ,



?

bn 2n ? 1 b b 2n ? 1 2 n ? 3 5 ? 2 n ? n ,? n ? n?1 ? n ? n?1 ? , an an?1 2 2 2n an 2 bn bn?1 b b ? 0 ,即 2 ? 1 ; ? n ? 2 时, ? a2 a1 an an?1
? n ? 3 时,


bn bn?1 ?b ? ? ? 0 ,此时 ? n ? 单调递减, an an?1 ? an ?
……………16 分

b1 1 b2 3 b3 5 b4 7 7 1 ? , ? , ? , ? ,? ? ? ? . a1 2 a2 4 a3 8 a4 16 16 2
x

19.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? e , g ( x) ? mx ? n . (1)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) . ① 若函数 h( x) 在 x ? 0 处的切线过点 (1, 0) ,求 m ? n 的值; ② 当 n ? 0 时,若函数 h( x) 在 (?1, ??) 上没有零点,求 m 的取值范围;

1 nx ? ,且 n ? 4m(m ? 0) ,求证:当 x ? 0 时, r ( x) ? 1 . f ( x) g ( x) x x 解: (1)由题意,得 h?( x) ? ( f ( x) ? g ( x))? ? (e ? mx ? n)? ? e ? m , 所以函数 h( x) 在 x ? 0 处的切线斜率 k ? 1 ? m , ……………2 分 又 h(0) ? 1 ? n ,所以函数 h( x) 在 x ? 0 处的切线方程 y ? (1 ? n) ? (1 ? m) x , 将点 (1, 0) 代入,得 m ? n ? 2 . ……………4 分 1 x x x (2)方法一:当 n ? 0 ,可得 h?( x) ? (e ? mx)? ? e ? m ,因为 x ? ?1 ,所以 e ? , e 1 ①当 m ? 时, h?( x) ? e x ? m ? 0 ,函数 h( x) 在 (?1, ??) 上单调递增,而 h(0) ? 1 , e 1 1 1 1 所以只需 h( ?1) ? ? m ? 0 ,解得 m ? ? ,从而 ? ? m ? . …………6 分 e e e e 1 x ②当 m ? 时,由 h?( x) ? e ? m ? 0 ,解得 x ? ln m ? (?1, ??) , e 当 x ? (?1,ln m) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递减;当 x ? (ln m, ??) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调 递增. 所以函数 h( x) 在 (?1, ??) 上有最小值为 h(ln m) ? m ? m ln m , 1 令 m ? m ln m ? 0 ,解得 m ? e ,所以 ? m ? e . e 1 综上所述, m ? [? , e) . ……………10 分 e x 方法二:当 n ? 0 , e ? mx ①当 x ? 0 时,显然不成立;
(2)设函数 r ( x) ?

x ex ex e x x ? e x e ? x ? 1? ②当 x ? ?1 且 x ? 0 时, m ? ,令 y ? ,则 y? ? ,当 ?1 ? x ? 0 时, ? x x x2 x2 ex ex y? ? 0 ,函数 y ? 单调递减, 0 ? x ? 1 时, y? ? 0 ,函数 y ? 单调递减,当 x ? 1 时, y? ? 0 , x x x 1 1 e 函数 y ? 单调递增,又 y x ??1 ? ? , y x?1 ? e ,由题意知 m ? [? , e) . e e x n x 1 nx 1 1 4x m (3)由题意, r ( x) ? , ? ? x? ? x? n f ( x) g ( x) e e x ? 4 x? m 1 4x ? 1 等价于 ex (3x ? 4) ? x ? 4 ? 0 ,令 F ( x) ? ex (3x ? 4) ? x ? 4 ,…12 分 而 r ( x) ? x ? e x?4 则 F (0) ? 0 ,且 F ?(x) ?e x(3x ? 1) ? 1 , F ?(0) ? 0 ,令 G(x) ? F ?(x) ,则 G?(x) ?e x(3x ?2) , 因 x ? 0 , 所以 G?( x) ? 0 , ……………14 分 所以导数 F ?( x) 在 [0, ??) 上单调递增,于是 F ?( x) ? F ?(0) ? 0 , 从而函数 F ( x) 在 [0, ??) 上单调递增,即 F ( x) ? F (0) ? 0 . ……………16 分


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