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第3章3.1.2


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3.1.2

概率的意义

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1.通过实例进一步理解概 率的意义.(重点) 2.能用概率的意义解释生 课标解读 活中的事例.(难点) 3.了解概率在其他领域中 的统计规律.

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对概率的正确理解

【问题导思】 有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5,那 么连续两次掷一枚质地均匀的硬币一定是一次正面朝上,一 次反面朝上.你认为这种想法正确吗?
【提示】 这种想法是错误的.概率是大量试验得出的 一种规律性结果,对具体的几次试验不一定体现出这种规 律.
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随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机性中 含有规律性 ,认识了这种随机性中的规律性 ,就能比较准确 地预测随机事件发生的可能性.

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正确理解概率的意义

某种病治愈的概率是0.3,那么前7个人没有治 愈,后3个人一定能治愈吗?如何理解治愈的概率是0.3?
【思路探究】 正确理解随机事件概率的意义,纠正日 常生活中出现的一些错误认识是解决本题的关键.

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【自主解答】 如果把治疗一个病人作为一次试验, “治愈的概率是0.3”指随着试验次数的增加,即治疗人数 的增加,大约有30%的人能够治愈,对于一次试验来说,其 结果是随机的,因此前7个病人没有治愈是可能的,对后3个 人来说,其结果仍然是随机的,有可能治愈,也可能没有治 愈. 治愈的概率是0.3,指如果患病的人有1 000人,那么我 们根据治愈的频率应在治愈的概率附近摆动这一前提,就可 以认为这1 000个人中大约有300人能治愈.
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随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含 有规律性,而概率恰是其规律性在数量上的反映,概率是客 观存在的,它与试验次数、哪一个具体的试验都没有关系.

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某射手击中靶心的概率是0.9,是不是说明他射击10次 就一定能击中9次靶心了? 【解】 概率是经过大量的重复试验得出的一个统计

值,但作为单独的一次或多次试验而言,很有可能该事件不 发生或发生的可能性与大量试验的值相差很大.从概率统计 的定义出发,击中靶心的概率是0.9,并不意味着射击10次 就一定能击中9次,只有进行大量射击试验时,击中靶心的 9 次数约为 n(其中n为射击次数)且n越大,击中的次数就越接 10 9 近 n. 10
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游戏的公平性

【问题导思】 甲、乙两人做游戏,从装有3个白球1个黑球的袋子中任 取1球,如果是白球,甲胜;否则乙胜.试问这个游戏对两 个人来说公平吗?

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【提示】 不公平.甲获胜机会大.
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1.裁判员用抽签器决定谁先发球,不管哪一名运动员 先猜,猜中并取得发球的概率均为 0.5 是 公平 的. 2.在设计某种游戏规则时,一定要考虑这种规则对每 个人都是 公平 的这一重要原则. ,所以这个规则

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游戏公平性的判断

如图3-1-1所示,有两个可以自由转动的均 匀转盘A、B.转盘A被平均分成3等份,分别标上1,2,3三个数 字;转盘B被平均分成4等份,分别标上3,4,5,6四个数字.有 人为甲、乙两人设计了一个游戏规则:自由转动转盘A与 B,转盘停止后,指针各指向一个数字,将指针所指的两个 数字相加,如果和是6,那么甲获胜;否则乙获胜.你认为 这样的游戏规则公平吗?如果公平,请说明理由;如果不公 平,怎样修改规则才能使游戏对双方公平?
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图3-1-1

【思路探究】 因为只有甲、乙二人参加游戏,所以要 判断规则是否公平,只需看两转盘数字和为6的概率是否为 1 ,若是,则公平;若不是,则不公平. 2
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【自主解答】 列表如下:
A B 1 2 3 3 4 5 6 4 5 6 7 5 6 7 8 6 7 8 9

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由表可知,等可能的结果有12种,和为6的结果只有3 种. 3 1 因为P(和为6)= = ,即甲、乙获胜的概率不相等, 12 4 所以这种游戏规则不公平. 如果将规则改为“和是6或7,则甲胜,否则乙胜”,那 么游戏规则就是公平的.

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1.由题意列出表格,各种结果在表中一目了然,使得 本题的解答更简易、方便. 2.利用概率的意义可以判定游戏规则,在各类游戏 中,如果每个人获胜的概率相等,那么游戏就是公平的.这 就是说,要保证所制定的游戏规则是公平的,需保证每人获 胜的概率相等.

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元旦就要到了,某校将举行庆祝活动,每班派1人主持 节目.高一(2)班的小明、小华和小利实力相当,又都争着要 去,班主任决定用抽签的方式决定,机灵的小强给小华出主 意,要小华先抽,说先抽的机会大,你是怎样认为的?说说 看.

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【解】 其实抽签不必分先后,先抽后抽,中签的机会 是一样的.我们取三张卡片,上面标上1,2,3,抽到1就表示 中签,设抽签的次序为甲、乙、丙,则可以把情况填入下 表:
情况 一 二 人名 1 1 甲 2 3 乙 3 2 丙 三 四 五 六 2 1 2 3 3 3 1 2

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3

1 2 1

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从上表可以看出:甲、乙、丙依次抽签,一共有六种情 况,第一、二两种情况,甲中签;第三、五两种情况,乙中 签;第四、六两种情况,丙中签.甲、乙、丙中签的可能性 都是相同的,即甲、乙、丙的机会是一样的,先抽后抽,机 会是均等的,不必争先后.

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天气预报的概率解释

【问题导思】 “昨天没有下雨,而天气预报说昨天降水的概率为90%. 这说明预报是错误的”这种说法科学吗?

【提示】 不科学.

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天气预报的“降水”是一个 随机事件 ,“概率为90%” 指明了“降水”这个随机事件发生的 概率 为90%.在一次试验 中,概率为90%的事件也 可能不出现 ,因此,“昨天没有下 雨”并不能说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错 误的.

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决策中的概率思想

如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决 策任务,那么“使得样本出现的可能性最大 ”可以作为决策 的准则,这种判断问题的方法称为极大似然法,极大似然法 是统计中重要的统计思想方法之一.

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概率的应用

为了估计水库中鱼的尾数,使用以下的方法: 先从水库中捕出2 000尾鱼,给每尾鱼做上记号,不影响其

存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中的其 他鱼充分混合,再从水库中捕出500尾,查看其中有记号的 鱼,有40尾,试根据上述数据,估计水库中鱼的尾数.
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【思路探究】 这实际上是概率问题,即2

000尾鱼在

水库中占所有鱼的百分比.捕出的500尾鱼中带记号的鱼有 40尾,就说明水库所有的鱼中,带记号的鱼的概率约为 40 ,问题可解. 500 【自主解答】 设水库中鱼的尾数是n(n∈N*),每尾鱼

被捕到的可能性相等,给2

000尾鱼做上记号后,从水库中
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2 000 任捕一尾鱼,带记号的概率为 .又从水库中捕500尾鱼, n 40 2 000 40 有40尾带记号,于是带记号的频率为 .则有 ≈ , 500 n 500 解得n≈25 000.所以估计水库中有25 000尾鱼.
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此类题主要考查概率与频率的关系及由样本数据估计总 体的能力,解题的关键是假定每个样本被抽取的可能性是相 等的,可用样本的频率近似估计总体的概率,或由此列出方 程,求出总体.

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某家具厂为某运动中心生产观众座椅.质检人员对该厂 所产2 500套座椅进行抽检,共抽检了100套,发现有5套次

品,试问该厂所产2 500座椅中大约有多少套次品?

【解】 设有n套次品,由概率的统计定义可知, n 5 = ,解得n=125. 2 500 100 故该厂所产2 500套座椅中大约有125套次品.
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不理解概率的意义致误 已知某厂的产品合格率为90%,现抽出10件产 品检查,则下列说法正确的是( A.合格产品少于9件 B.合格产品多于9件 C.合格产品正好是9件 D.合格产品可能是9件 )

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【错解】 产品的合格率是90%,是指产品中有90%的 产品是合格的,故抽出的10件产品中,合格产品正好为9 件,故应选C.

【答案】 C 【错因分析】 因不理解概率的意义而错选C. 【防范措施】 一个事件的概率是通过大量的重复试验
得到的,其反映了该随机事件发生的可能性大小,因此在本 题中“抽出10件产品”相当于做了10次试验,而每次试验结 果可能是正品,也可能是次品.故只有D正确.

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【正解】 合格产品可能为90%×10=9,故选D. 【答案】 D
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1.概率是描述随机事件发生的可能性大 小的一个数量,即使是大概率事件,也不能 肯定事件一定会发生,只能认为事件发生的 可能性大. 2.孟德尔通过试验、观察、猜想、论 证,从豌豆实验中发现遗传规律是一种统计 规律,这是一种科学的研究方法,我们应认 真体会和借鉴.
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3.利用概率思想正确处理和解释实际问 题,是一种科学的理性思维,在实践中要不 断巩固和应用,提升自己的数学素养.

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1 1.“某彩票的中奖概率为 ”意味着( 1 000 A.买1 000张彩票就一定能中奖 B.买1 000张彩票中一次奖 C.买1 000张彩票一次奖也不中 1 D.购买彩票中奖的可能性是 1 000

)

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【解析】 由概率的意义知D正确. 【答案】 D
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2.某次考试共有12道选择题,每道选择题有4个选项, 其中只有1个选项是正确的.某人说:“每个选项正确的概 1 率是 ,我每题都选择第一个选项,则一定有3题选择结果正 4 确”这句话( A.正确 C.不一定 ) B.错误 D.无法解释

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【解析】 解答一道选择题作为一次试验,每次试验选 择的正确与否都是随机的,经过大量的试验其结果呈随机 1 性,即选择正确的概率是 .做12道选择题,即进行了12次试 4 验,每个结果都是随机的,不能保证每题的结果选择正确, 但有3题选择结果正确的可能性比较大.同时也有可能都选 错,亦或2题,4题,甚至12个题都选择正确.

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【答案】 B

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3.2010年上海世博会前夕,质检部门对世博会所用某 种产品进行抽检,得知其合格率为99%.若世博会所需该产品 共有20 000件,则其中的不合格产品约有________件.
【解析】 由合格率为99%知不合格率为1%,故不合格 产品约有20 000×1%=200(件).

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【答案】 200
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4.如果掷一枚质地均匀的硬币,连续5次正面向上,有 1 人认为下次出现反面向上的概率大于 ,这种理解正确吗? 2

【解】 这种理解是不正确的.掷一枚质地均匀的硬 币,作为一次试验,其结果是随机的,但通过大量的试验, 其结果呈现出一定的规律,即“正面向上”、“反面向上” 1 的可能性都是 ,连续5次正面向上这种结果是可能的,但对 2 下一次试验来说,仍然是随机的,其出现正面向上和反面向 1 1 上的可能性还是 ,而不会大于 . 2 2
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