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第1部分 第二章 2.1 第二课时 数列的通项公式与递推公式


2.1

理解教 材新知

知识点

第二 课时 第 二 章
数列 的通 项公 式与 递推 公式

突破常 考题型

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第二课时

数列的通项公式与递推公式

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数列的递推关系
[提出问题]
某剧场有 30 排座位,第一排有 20 个座位,从 第二排起,后一排都比前一排多 2 个座位(如图). 问题 1:写出前五排座位数.

提示:20,22,24,26,28.

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问题 2:第 n 排与第 n+1 排座位数有何关系?

提示:第 n+1 排比第 n 排多 2 个座位.
问题 3:第 n 排座位数 an 与第 n+1 排座位数 an+1 能 用等式表示吗?
提示:能.an+1=an+2.

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[导入新知]
如果已知数列{an}的 第一项 (或前几项),且任一项 an 前一项an-1 与它的 (或前几项)间的关系可以用一个公 式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

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[化解疑难]
1.数列的递推公式是给出数列的另一重要形式,由递推 公式可以依次求出数列的各项. 2.有些数列的通项公式与递推公式可以相互转化,如数 列 1,3,5, ?, 2n-1, ?的一个通项公式为 an=2n-1(n∈N*). 用 递推公式表示为 a1=1,an=an-1+2(n≥2,n∈N*).

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数列的表示方法
[例 1] 根据数列{an}的通项公式,把下

列数列用图象表示出来(n≤5,且 n∈N*). (1)an=(-1)n+2; n+ 1 (2)an= n .
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[解] ①所示.

(1)数列{an}的前 5 项依次是 1,3,1,3,1, 图象如下图

3 4 5 6 (2)数列{an}的前 5 项依次是 2, , , , ,图象如下 2 3 4 5 图②所示.

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[类题通法] 通项公式法、列表法与图象法表示数列优点 (1)用通项公式表示数列,简洁明了,便于计算.公 式法是常用的数学方法. (2)列表法的优点是不经过计算,就可以直接看出项 数与项的对应关系. (3)图象能直观形象地表示出随着序号的变化,相应 项变化的趋势.
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[活学活用] 1.一辆邮车每天从 A 地往 B 地运送邮件,沿途(包括 A,B) 共有 8 站,从 A 地出发时,装上发往后面 7 站的邮件各一个,到 达各站后卸下前面各站发往该站的邮件,同时装上该站发往后面 各站的邮件各一个.试用列表法表示邮车在各站装卸完毕后剩余 邮件个数所成的数列.

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解:将 A,B 之间所有站按序号 1,2,3,4,5,6,7,8 编号.通过计 算,各站装卸完毕后剩余邮件个数依次构成数列 7,12,15,16,15,12,7,0,如下表: 站号(n) 1 2 3 4 5 6 7 8

剩余邮件数(an) 7 12 15 16 15 12 7 0

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由递推公式求数列中的项
[例 2] 已知数列{an}的第一项 a1=1,以后的各项由公式

2an an+1= 给出,试写出这个数列的前 5 项. an+2
[解]

2an 2a1 2 ∵a1=1,an+1= ,∴a2= = , an+2 a1+2 3

2 1 2× 2× 3 1 2 2 2a2 2a3 a3= = = ,a4= = = , 2 5 a2+2 2 a3+2 1 +2 +2 3 2 2 2× 5 1 2a4 2 1 2 1 a5= = = .故该数列的前 5 项为 1, , , , . 3 3 2 5 3 a4+2 2 +2 5
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[类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项, 要弄清楚公式中各部 分的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需 注意: 若知道的是首项, 通常将所给公式整理成用前面的项 表示后面的项的形式; 若知道的是末项, 通常将所给公式整 理成用后面的项表示前面的项的形式.

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[活学活用] 2.已知数列 {an}中,a1=1,a2=2,以后各项由 an=an-1 +an-2(n≥3)给出. (1)写出此数列的前 5 项; an (2)通过公式 bn= 构造一个新的数列{bn},写出数列{bn} an+1 的前 4 项.
解:(1)∵an=an-1+an-2(n≥3),且 a1=1,a2=2, ∴a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5, a5=a4+a3=5+3=8.
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故数列{an}的前 5 项依次为 a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8. an (2)∵bn= ,且 a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8, an+1 a1 1 a2 2 a3 3 ∴b1= = ,b2= = ,b3= = , a2 2 a3 3 a4 5 a4 5 b4= = . a5 8 1 2 3 5 故 b1= ,b2= ,b3= ,b4= . 2 3 5 8
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由递推公式归纳数列的通项公式
[例 3] 已知数列{an}的第 1 项是 2,以后的各项由公式

an-1 an= (n=2,3,4,?)给出,写出这个数列的前 5 项,并 1-an-1 归纳出数列{an}的通项公式.

[解]

可依次代入项数进行求值.

-2 2 2 a1=2,a2= =-2,a3= =- , 3 1-2 1-?-2? 2 a4= ? 2?=-5, 1-?-3? ? ? 2 - 3

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2 a5= ? 2?=-7. 1-?-5? ? ? 2 2 2 即数列{an}的前 5 项为 2,-2,- ,- ,- . 3 5 7 -2 -2 -2 -2 2 也可写为 , , , ,- . 1 3 5 7 -1 即分子都是-2,分母依次加 2,且都是奇数, 2 所以 an=- (n∈N*). 2n-3

2 - 5

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[类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项, 然后由前几项分析其 特点、规律,归纳总结出数列的一个通项公式.

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[活学活用] 1 3.已知数列{an}满足 a1=1,an=an-1+ (n≥2), n?n-1? 写出该数列前 5 项,并归纳出它的一个通项公式.

解:a1=1, 1 1 3 a2=a1+ =1+ = , 2 2 2×1 1 3 1 5 a3=a2+ = + = , 3×2 2 6 3 1 5 1 7 a4=a3+ = + = , 4×3 3 12 4
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1 7 1 9 a5=a4+ = + = . 5×4 4 20 5 3 5 7 9 故数列的前 5 项分别为 1, , , , . 2 3 4 5 2×1-1 3 2×2-1 5 2×3-1 7 2×4-1 由于 1= ,= ,= ,= , 1 2 2 3 3 4 4 9 2×5-1 = , 5 5 2n-1 1 故数列{an}的一个通项公式为 an= n =2-n.

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2.巧析递推数列求通项公式两种常用方法

递推公式和通项公式是数列的两种表示方法,它们都可以确定 数列中的任意一项,只是由递推公式确定数列中的项时,不如 通项公式直接,下面介绍由递推数列求通项公式的两种方法.

【角度一】

累加法

对于数列{an}若满足 an+1-an=f(n)时,需用累加法,即 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 来求 an.
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[例 1] 项公式.

已知 a1=1,an+1-an=2,求数列{an}的一个通

[解]

∵a1=1,an+1-an=2,∴a2-a1=2,a3-a2=2,

a4-a3=2,?,an-an-1=2(n≥2),将这些式子的两边分别 相加,(a2-a1)+ (a3-a2)+(a4- a3)+?+(an-an-1)= 2(n- 1),即 an-a1=2(n-1),又 a1=1,∴an=2n-1(n≥2),当 n=1 时,a1=1 也满足上式,故数列{an}的一个通项公式为 an=2n-1.
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【角度二】

累乘法

an 对于数列{an}若满足 =f(n)时,需用累乘法,即 an-1 an an-1 a3 a2 an= · · ?· · · a 来求 an. an-1 an-2 a2 a1 1
[例 2] 已知数列{an}中,a1=2,an+1=3an(n∈N*),

求数列{an}的通项公式.

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an+1 [解] 由 an+1=3an 得 a =3. n a2 a3 a4 an 因此可得 =3, =3, =3,?, =3. a1 a2 a3 an-1 将上面的 n-1 个式子相乘可得 a2 a3 a4 an - ··· ?· =3n 1. a1 a2 a3 an-1 an n-1 即 =3 , a1 所以 an=a1· 3n-1, 又 a1=2,故 an=2· 3n-1.
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[随堂即时演练]
1.符合递推关系式 an= 2an-1 的数列是( A.1,2,3,4,? C. 2,2, 2,2,? )

B.1, 2,2,2 2,? D.0, 2,2,2 2,?

解析:B 中从第二项起,后一项是前一项的 2倍,符合递 推公式 an= 2an-1.

答案:B
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1 1 1 1 2.数列 , , , ,?的递推公式可以是( 2 4 8 16 A.an= n+1(n∈N ) 2 1 C.an+1= an(n∈N*) 2 1
*

)

1 B.an= (n∈N*) 2n D.an+1=2an(n∈N*)

1 解析:数列从第二项起,后一项是前一项的 ,故递推公式为 2 1 an+1= an(n∈N*). 2

答案:C

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3.已知 a1=1,an=1+ (n≥2),则 a5=________. an-1

1

3 5 解析:由 a1=1,an=1+ 得 a2=2,a3= ,a4= , 2 3 an-1 8 a5= . 5
8 答案: 5

1

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an+1 1 4.已知数列{an}满足 a1>0, a = (n∈N*),则数列{an}是 3 n ________数列(填“递增”或“递减”).

1 解析:由已知 a1>0,an+1= an(n∈N*), 3 得 an>0(n∈N*). 1 2 又 an+1-an= an-an=- an<0, 3 3 所以{an}是递减数列.
答案:递减
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n 5.已知数列{an}的通项公式为 an= 2 ,写出它的前 5 项, n +1 并判断该数列的单调性. n 解:对于公式 an= 2 ,依次取 n=1,2,3,4,5,得到数列的前 n +1
1 2 3 4 5 5 项为 a1= ,a2= ,a3= ,a4= ,a5= . 2 5 10 17 26 n+ 1 1-n2-n n 而 an+1-an= - = . ?n+1?2+1 n2+1 [?n+1?2+1]?n2+1? 因为 n∈N*,所以 1-n2-n<0,所以 an+1-an<0,即 an+1< an.故该数列为递减数列.
“课时达标检测”见 “课时跟踪检测(六)”

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