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刘鸿文版材料力学课件全套4


7-8 广义胡克定律
?2

1 ?1 ? ?? 1 ? ? ?? 2 ? ? 3 ?? E
? 1 ? ? 1 ?? ? ? ?? ? ? ?? 2 2 3 1 E

?3

1 ? 3 ? ?? 3 ? ? ?? 1 ? ? 2 ?? E
目录

7-8 广义胡克定律
3、广义胡克定律的一般形式
1 ? x ? [? x ? ? (? y ? ? z )] E 1 ? y ? [? y ? ? (? z ? ? x )] E 1 ? z ? [? z ? ? (? x ? ? y )] E

?z

? zx
?x

? xz

? zy ? yz

? xy? yx

?y

? xy ?

? xy
G

? yz ?

? yz
G

? zx ?

? zx
G

目录

7-11 四种常用强度理论
杆件基本变形下的强度条件

(拉压)

? max

FN ,max ? ? [? ] A
M max ? ? [? ] W

(弯曲) ? max

(正应力强度条件) ? max ? [? ]

(弯曲)
(扭转)

? max
? max

Fs S ? ? [? ] bI z T ? ? [? ] Wp

* z

(切应力强度条件) ? max ? [? ]

目录

7-11 四种常用强度理论

? max

? max ? [? ] 满足 ? max ? [? ]
是否强度就没有问题了?

? max

目录

7-11 四种常用强度理论
强度理论: 人们根据大量的破坏现象,通过判断推理、概

括,提出了种种关于破坏原因的假说,找出引起破
坏的主要因素,经过实践检验,不断完善,在一定

范围与实际相符合,上升为理论。
为了建立复杂应力状态下的强度条件,而提出

的关于材料破坏原因的假设及计算方法。

目录

7-11 四种常用强度理论
构件由于强度不足将引发两种失效形式 (1) 脆性断裂:材料无明显的塑性变形即发生断裂, 断面较粗糙,且多发生在垂直于最大正应力的截面上, 如铸铁受拉、扭,低温脆断等。

关于断裂的强度理论: 最大拉应力理论和最大伸长线应变理论
(2) 塑性屈服(流动):材料破坏前发生显著的塑性 变形,破坏断面粒子较光滑,且多发生在最大剪应力面 上,例如低碳钢拉、扭,铸铁压。 关于屈服的强度理论: 最大切应力理论和形状改变比能理论
目录

7-11 四种常用强度理论
1. 最大拉应力理论(第一强度理论)
无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂, 都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸时的破 坏拉应力数值。

?1 ? ?

0

? 1 -构件危险点的最大拉应力

?

0-极限拉应力,由单拉实验测得

? ??b
0

目录

7-11 四种常用强度理论
最大拉应力理论(第一强度理论) 断裂条件 强度条件

?b ?1 ? ? ?? ? n

?1 ? ?b

铸铁拉伸

铸铁扭转
目录

7-11 四种常用强度理论
2. 最大伸长拉应变理论(第二强度理论) 无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,

都是由于微元内的最大拉应变(线变形)达到简单
拉伸时的破坏伸长应变数值。

? 1 -构件危险点的最大伸长线应变

?1 ? ?

0

?

? 1 ? [? 1 ? ? (? 2 ? ? 3 )] / E
? ??b / E
0
目录

0 -极限伸长线应变,由单向拉伸实验测得

7-11 四种常用强度理论
最大伸长拉应变理论(第二强度理论) 断裂条件

?b 1 [? 1 ? ? (? 2 ? ? 3 )] ? E E
? 1 ? ? (? 2 ? ? 3 ) ? ? b


强度条件

?b ? 1 ? ? (? 2 ? ? 3 ) ? ? [? ] n

实验表明:此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆
性材料的断裂较符合,如铸铁受拉压比第一强度理论

更接近实际情况。
目录

7-11 四种常用强度理论
3. 最大切应力理论(第三强度理论) 无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都 是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。

? max

? max ? ?

0

-构件危险点的最大切应力

? max ? (? 1 ? ? 3 ) / 2
? ??s /2
0
目录

?

0 -极限切应力,由单向拉伸实验测得

7-11 四种常用强度理论
最大切应力理论(第三强度理论) 屈服条件

强度条件

?1 ? ? 3 ?

?s
ns

? ?? ?

低碳钢拉伸

低碳钢扭转
目录

7-11 四种常用强度理论
最大切应力理论(第三强度理论) 实验表明:此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到 较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生 塑性变形或断裂的事实。(?? max ? 0) 局限性:

1、未考虑

? 2 的影响,试验证实最大影响达15%。

2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。
目录

7-11 四种常用强度理论
4. 形状改变比能理论(第四强度理论) 无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是

由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。

? sf -构件危险点的形状改变比能
?
0 -形状改变比能的极限值,由单拉实验测得 sf

v sf ? v

0 sf

目录

7-11 四种常用强度理论
形状改变比能理论(第四强度理论) 屈服条件 强度条件

实验表明:对塑性材料,此理论比第三强度理
论更符合试验结果,在工程中得到了广泛应用。
目录

7-11 四种常用强度理论
强度理论的统一表达式: ? r ? [? ] 相当应力

? r ,1 ? ? 1 ? [? ]
? r , 2 ? ? 1 ? ? (? 2 ? ? 3 ) ? [? ]

? r ,3 ? ? 1 ? ? 3 ? [? ]

目录

7-11 四种常用强度理论
例题
已知:? 和?。试写出最大切应力 准则和形状改变比能准则的表达式。

解:首先确定主应力

? r 3 ? ? 1 ? ? 3 ? ? 2 ? 4? 2 ? ?
? r4 ?

{ ? ?

1 ?1 ? ? ? 2 ? 4? 2 2 2 ?2 ? 0 ? 1 ? 3 ? ? ? 2 ? 4? 2 2 2

?

1 [(? 1 ? ? 2 ) 2 ? (? 2 ? ? 3 ) 2 ? (? 3 ? ? 1 ) 2 ] 2

? ? 2 ? 3? 2 ? ?? ?

第八章

组合变形

目录

第八章
§8-1
§8-2

组合变形

组合变形和叠加原理
拉伸或压缩与弯曲的组合

§8-3
§8-4

斜弯曲
扭转与弯曲的组合

目录

目录

§8-1 组合变形和叠加原理
组合变形工程实例

压弯组合变形

10-1

目录

§8-1 组合变形和叠加原理
组合变形工程实例

拉弯组合变形
目录

§8-1 组合变形和叠加原理
组合变形工程实例

弯扭组合变形
目录

§8-1 组合变形和叠加原理
叠加原理 构件在小变形和服从胡克定理的条件下, 力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用 下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作 用下的值的叠加 解决组合变形的基本方法是将其分解为 几种基本变形;分别考虑各个基本变形时构 件的内力、应力、应变等;最后进行叠加。

目录

§8-1 组合变形和叠加原理
研究内容
斜弯曲 拉(压)弯组合变形 弯扭组合变形

l

S

F

a

外力分析

内力分析

应力分析
目录

§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合

=

+

10-3

目录

§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
? t ,max
Fl ? W Fl ?? W

=
? c ,max
? t ,max
F ?c ? ? A

+
? t ,max

? c,max
? c ,max

? t ,max

=

+

? c ,max

Fl F ? [? ] ? ? t W A Fl F ? ? ? ? [? c ] W A

目录

§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
例题8-1
铸铁压力机框架,立柱横截面尺寸如图所示,材料的许用拉应力[?t]= 30MPa,许用压应力[?c]=120MPa。试按立柱的强度计算许可载荷F。 解:(1)计算横截面的形心、 面积、惯性矩

F F

350

F

350

M
y1

y
z0

z1

FN

A ? 15000 mm 2 z0 ? 75mm z1 ? 125 mm
I y ? 5.31 ?10 7 mm 4
50 (2)立柱横截面的内力

150 50 150

FN ? F M ? F ? 350 ? 75 ? ? 10 ?3
? 425 F ? 10 ?3 ? N ? m ?
目录

§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
A ? 15000 mm 2

z0 ? 75mm

I y ? 5.31 ?10 7 mm 4 z1 ? 125 mm
F

FN ? F M ? 425 ?10 ?3 F ?N.m ?
Mz0 FN ? Iy A

(3)立柱横截面的最大应力

350

? t . max ?

M
FN

425 ? 10 ?3 F ? 0.075 F ? ? 5.31 ? 10 ?5 15 ? 10 ?3 ? 667 F ?Pa ?

? c. max ?

Mz1 FN ? Iy A

? t .max

? c.max

425 ? 10 ?3 F ? 0.125 F ? ? 5.31 ? 10 ?5 15 ? 10 ?3 ? 934 F ?Pa ?
目录

§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
F

350

? t . max ? 667 F ? c. max ? 934 F
M
FN
(4)求压力F

? t . max ? 667 F ? ?? t ?

?? t ? ? 30 ?10 6 F?
667 667

? 45000 N

? c.max ? 934 F ? ?? c ?

? t .max

? c.max

?? c ? ? 120 ?10 6 F?
934 934
目录

? 128500 N

许可压力为 ? 45000 N ? 45kN F

§8-3

斜 弯 曲

平面弯曲

斜弯曲

目录

§8-3

斜 弯 曲
Fy ? F cos ? Fz ? F sin ?
(1) 内力分析
坐标为x的任意截面上
M z ? Fy (l ? x) ? F (l ? x) cos ? M y ? Fz (l ? x ) ? F (l ? x ) sin ?

固定端截面

M z max ? Fl cos ?
x

M y max ? Fl sin ?
目录

§8-3

斜 弯 曲
(2) 应力分析
x 截面上任意一点(y,z) 正应力

y cos ? z sin ? ? F (l ? x)( ? ) Iz Iy

Mz y M yz ?? ? Iz Iy

§8-3
中性轴上

斜 弯 曲
y0 cos ? z0 sin ? ? ?0 Iz Iy y0 Iz tan ? ? ? ? tan ? z0 Iy

中性轴方程

y0 cos ? z0 sin ? ? ? F (l ? x)( ? )?0 Iz Iy

目录

§8-3
? t max

斜 弯 曲
固定端截面

? t max ?

My

max

Wy My Wy

?

Mz

max

Wz Mz
max

? c max ? ?
? c max

max

?

Wz

强度条件:
D1点: D2点:

? t ,max ? [? t ]

? c,max ? [? c ]
目录

§8-3

斜 弯 曲
挠度:

f ?

f y2 ? f z2

fz

fy ?

Fy l 3 3 EI z

Fz l 3 fz ? 3 EI y

fz Iz tan ? ? ? tan? fy Iy

f

fy

矩形

I y ? Iz ? ??
斜弯曲

正方形

Iy ? Iz
? ??
平面弯曲

目录

§8-4 扭转与弯曲的组合
l
S平面
T y
1 4

S

F a
1

z
2 3

x Mz

Fa

T M
Fl

?? ? ???

τ ?

T Wp

σ ?

Mz Wz
τ ?
目录

3
T Wp

σ ??

Mz Wz

§8-4 扭转与弯曲的组合
1
T τ? Wp
Mz σ? Wz
T τ? Wp

3
σ?? Mz Wz

? max
M ?? W T ?? Wp

? min

? x ?? y 1 2 2 ? ? ?? x ? ? y ? ? 4? xy 2 2 ? 1 2 ? ? ? ? 4? 2 ? 0 2 2 ? x ?? y 1 2 2 ? ? ?? x ? ? y ? ? 4? xy 2 2 ? 1 2 ? ? ? ? 4? 2 ? 0 2 2
目录

§8-4 扭转与弯曲的组合
M ?? W

T ?? WP

? 1 2 ? 1 ? ? ? ? 4? 2 2 2 ?2 ? 0 ? 1 2 ? 3 ? ? ? ? 4? 2 2 2

第三强度理论:

圆截面
目录

§8-4 扭转与弯曲的组合
? 1 2 ? 1 ? ? ? ? 4? 2 2 2 M ?? ?2 ? 0 W T ? 1 2 ?? ? 3 ? ? ? ? 4? 2 Wp 2 2 第四强度理论:

目录

§8-4 扭转与弯曲的组合
塑性材料的圆截面轴弯扭组合变形

1 ? r3 ? M 2 ? T 2 ? [? ] 第三强度理论: W 1 ? r4 ? M 2 ? 0.75T 2 ? [? ] 第四强度理论: W
式中W 为抗弯截面系数,M、T 为轴危险截面

的弯矩和扭矩

W?

?d

3

W?

?D

3

32

32

?1 ? ? ?
4
目录

§8-4 扭转与弯曲的组合
例题8-2 传动轴左端的轮子由电机带动,传入的扭转力偶矩Me=300Nm。两轴承 中间的齿轮半径R=200mm,径向啮合力F1=1400N,轴的材料许用应力〔σ 〕=100MPa。试按第三强度理论设计轴的直径d。

150

200

解:(1)受力分析,作计算简图

目录

§8-4
300 N.m

扭转与弯曲的组合
F2 R ? M e
M e 300 F2 ? ? ? 1500 N R 0.2
(2)作内力图

1400 N

1500 N 150

200

300 N.m

128.6N.m

危险截面:E 左处

T ? 300 N.m
2 M ? M y ? M z2 ? 176 N.m

120 N.m

目录

§8-4 扭转与弯曲的组合
(3)应力分析,由强度条件设计d

??
??
T Wp

M W

M 2 ?T 2 ? r3 ? ? ?? ? W

? r4

M 2 ? 0.75T 2 ? ? ?? ? W
目录

§8-4 扭转与弯曲的组合
? r3 ?
M ?T ? ?? ? W
2 2

W?

?d

3

32

d ?3

32 M ? T
2

2

? ?? ?

?3
?3

32 176 2 ? 300 2 6 ? ? 100 ? 10

? 32.8 ?10 m ? 32.8mm
目录

小结
1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法 2、掌握斜弯曲和拉(压)弯组合变形杆件

的应力和强度计算
3、了解平面应力状态应力分析的主要结论 4、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度

条件和强度计算
目录

第九章
压杆稳定

第九章
§9.1 §9.2 §9.3
§9.4 §9.5 §9.6

压杆稳定

压杆稳定的概念 两端铰支细长压杆的临界压力 其他支座条件下细长压杆的 临界压力
欧拉公式的适用范围 经验公式 压杆的稳定校核 提高压杆稳定性的措施

目录

§9.1 压杆稳定的概念
在材料力学中,衡量构件是否具有足够的承载能力,要从三个方面来 考虑:强度、刚度、稳定性。

稳定性 — 构件在外力作用下,保持其原有 平衡状态的能力。

目录

§9.1 压杆稳定的概念
工程实际中有许多稳定性问题,但本章主要讨论压杆稳定问题,这类问 题表现出与强度问题截然不同的性质。

F

目录

§9.1 压杆稳定的概念

不稳定平衡 微小扰动就使小球远离原来的 平衡位置

稳定平衡 微小扰动使小球离开原来的平衡 位置,但扰动撤销后小球回复到平衡 位置

目录

§9.1 压杆稳定的概念

压力小于临界力

压力大于临界力

压力等于临界力

目录

§9.1 压杆稳定的概念
压力等于临界力 压杆的稳定性试验

压杆丧失直线 状态的平衡,过渡 到曲线状态的平衡。 称为丧失稳定,简 称失稳,也称为屈 曲

目录

§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
临界压力 — 能够保持压杆在微小弯曲状态下平衡的 最小轴向压力。

弯矩

M ? ?Fw



挠曲线近似微分方程 则 通解

目录

§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力

边界条件: 若 则 (与假设矛盾)

所以

目录

§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力

w



时,

临界压力 欧拉公式

挠曲线方程 得

w
目录

§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
----欧拉公式
1、适用条件: ?理想压杆(轴线为直线,压力与轴线 重合,材料均匀) 2、

1 Fcr ? 2 l
杆长,Fcr小,易失稳

?线弹性,小变形
?两端为铰支座 3、在 Fcr作用下,

Fcr ? EI
刚度小,Fcr小,易失稳

k?

, w ? A sin l l l x ? ,w ? A 2

?

?x

挠曲线为一条半波正弦曲线 即 A 为跨度中点的挠度
目录

§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
例题
解:

截面惯性矩

临界压力

? 269 ?103 N ? 269kN
目录

§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
对于其他支座条件下细长压杆,求临界压力有两种方法: 1、从挠曲线微分方程入手 2、比较变形曲线

B

l
A

l

C

一端固定一端自由

Fcr ?

? 2 EI
( 2l ) 2
目录

§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力

Fcr
B D
l 4

Fcr
B

0.7l
l 2

l
C A
2

C A
l 4

两端固定 Fcr ?

? EI
(0.5l ) 2

一端固定 F ? 一端铰支 cr (0.7l ) 2
目录

? 2 EI

§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
y

F

O

?
x
l

两端铰支

F

x

? 2 EI Fcr ? (l ) 2

π 2 EI 欧拉公式的普遍形式: Fcr ? 2 ( ?l )

?

长度系数(无量纲)

?l 相当长度(相当于两端铰支杆)
目录

§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力

目录

§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式 1、临界应力

? E ? cr ? 2 ?
2
目录

§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
?

{i

l ?

杆长 约束条件 截面形状尺寸

形状尺寸对

?集中反映了杆长、约束条件、截面
的影响。

? cr

2、欧拉公式适用范围 2 ? E 当 ? ?? p cr ? 2

?



??

? 2E ?p



?1 ?

? ? ?1 ? 2E ? p 欧拉公式只适用于大柔度压杆
目录

§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式 3、中小柔度杆临界应力计算


? s ? ? cr ? ? p



?2 ? ? ? ?1 (中柔度杆)
a、b — 材料常数

经验公式
(直线公式)

? cr ? a ? b?
a ?? s ?? b

? cr ? ? s



a ?? s ?2 ? b

? ? ?2 (小柔度杆)

? cr ? ? s
目录

§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
?压杆柔度

??

?l
i

μ四种取值情况, i ?
? P — 比例极限
? s — 屈服极限

I A

? 2E ? ? ?1 欧拉公式 (大柔度杆) ? cr ? 2 ? ?1 ? ? ? ?2 (中柔度杆) ? cr ? a ? b? 直线公式

? 2E ?临界柔度 ?1 ? ?P a ?? s ?2 ? b ?临界应力

? ? ?2

(小柔度杆 )

? cr ? ? s

强度问题
目录

§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
临界应力总图

?2

?1
目录

§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式

?l i
Fcr ? ? cr ? A

?l

?

目录

§9.5

压杆的稳定校核

Fcr F ? [F ] ? nst
工作安全系数 或

nst— 稳定安全系数
? cr ? nst n? ?
Fcr ? nst n? F

压杆稳定性条件

Fcr ? nst n? F

Fcr — 压杆临界压力 F— 压杆实际压力
目录

§9.5

压杆的稳定校核
例题 已知拖架D处承受载荷 F=10kN。AB杆外径D=50mm, 内径d=40mm,材料为Q235钢, E=200GPa, ?1 =100,[nst]=3。 校核AB杆的稳定性。
解: CD梁

?M

C

?0

F ? 2000 ? FN ? sin 30? ?1500

得 FN ? 26.6kN
AB杆

??
l? 1.5

?l
i
?

? ?1
? 1.732m
目录

cos30

§9.5

压杆的稳定校核
AB杆

??

?l
i

1?1.732 ?10 3 得 ?? ? 108 ? ?1 16

? ?1
l?
i? ?

AB为大柔度杆

1.5 cos30
I ? A
?

? 1.732m

? 2 EI Fcr ? ? 118kN 2 ??l ?

? D ?d 4 64 D 2 ? d 2 ?
4 4

? ?

? ?

FN ? 26.6kN
Fcr 118 n? ? ? 4.42 ? nst ? 3 FN 26.6
AB杆满足稳定性要求
目录

D2 ? d 2 ? 16mm 4

§9.5

压杆的稳定校核

例题 千斤顶如图所示,丝杠长度l=37.5cm, 内径d=4cm,材料为45钢。最大起重量 F=80kN,规定的稳定安全系数nst=4。试校 核丝杠的稳定性。

(1)计算柔度 d

l

i?

I ? A

?d 4 ? 4 d 4 ? ? ? 1cm 2 64 ? ?d 4 4

2 ? 37.5 ?? ? ? 75 i 1
查得45钢的?2=60,?1=100,?2<?<?1,属于中柔度杆。

?l

目录

§9.5

压杆的稳定校核

(2)计算临界力,校核稳定 查表得a=589MPa,b=3.82MPa,得丝杠临界应力为

? cr ? ?a ? b? ? ? ?589 ? 3.82 ? 75? ? 302 .5MPa
Fcr ? ? cr A ? 302 .5 ?
此丝杠的工作稳定安全系数为

? ? 0.04 2
4

? 381000 N ? 381kN

Fcr 381 n? ? ? 4.76 ? 4 ? nst F 80
校核结果可知,此千斤顶丝杠是稳定的。

目录

§9.5
例题

压杆的稳定校核

F

截面为12?20cm2,l = 7m, E = 10GPa, 试求木柱的临界压力和临界 应力。

F

?1 ? 110
y z 12cm 20cm

解: (1)计算xoz平面的临界力

7m

和临界应力 如图(a),截面的惯性矩应为

7m

z 12cm

y 20cm

12 ? 20 3 Iy ? ? 8000 cm 4 12 Iy 8000 惯性半径为 i y ? ? ? 5.77 cm A 12 ? 20
两端铰支时,长度系数

? ?1
目录

§9.5
其柔度为

压杆的稳定校核
?l 1? 700 ?? ? ? 121 ? ?1 ? 110 iy 5.77

因 ? >?1 故可用欧拉公式计算。

F

Fcr ?

? 2 EI y

F

??l ?2

20cm

? cr ?

? E ?2
2

7m

z 12cm

12cm

7m

3.14 2 ? 10 ? 10 9 ? 8 ? 10 ?5 ? ? 161kN 2 ?1? 7 ?

y

z

y 20cm

3.14 2 ? 10 ? 10 9 ? ? 6.73MPa 2 121
目录

§9.5

压杆的稳定校核
F F

(2)计算xoy平面内的临界力 及临界应力。 如图(b),截面的惯性矩为

20 ?12 Iz ? ? 2880 cm4 12 相应的惯性半径为
3

y

z
12cm

20cm

7m

7m

z 12cm

y 20cm

iz ?

Iz 2880 ? ? 3.46 cm A 12 ? 20

两端固定时长度系数 柔度为

? ? 0.5
?l

0.5 ? 700 ?? ? ? 101 ? ?1 ? 110 iz 3.46
目录

§9.5


压杆的稳定校核

应用经验公式计算其临界应力,查表

F

F

a ? 29.3MPa, b ? 0.194

y 20cm 12cm



7m

? 29.3 ? 0.194 ?101 ? 9.7MPa
临界压力为

7m

? cr ? a ? b?

z

z 12cm

y 20cm

? 9.7 ?10 6 ? ?0.12 ? 0.2? ? 232 .8kN
木柱的临界压力 临界应力

Fcr ? ? cr A

Fcr ? 161kN
? cr ? 6.73MPa
目录

§9.6

提高压杆稳定性的措施

? 2 EI Fcr ? 2 ( ?l )
Fcr 越大越稳定
?减小压杆长度 l

欧拉公式

?减小长度系数μ(增强约束) ?增大截面惯性矩 I(合理选择截面形状) ?增大弹性模量 E(合理选择材料)

目录

§9.6

提高压杆稳定性的措施
?减小压杆长度 l

目录

§9.6

提高压杆稳定性的措施

?减小长度系数μ(增强约束)

目录

§9.6

提高压杆稳定性的措施

?增大截面惯性矩 I(合理选择截面形状)

目录

小结
1、了解压杆稳定平衡、不稳定平衡和临界
载荷的概念 2、掌握压杆柔度的计算方法,以及判断大 柔度、中柔度、小柔度压杆的原则

3、熟知压杆临界应力总图,能根据压杆的
类别选用合适的公式计算临界应力 4、掌握简单压杆的稳定计算方法 5、了解提高压杆稳定性的主要措施
目录

第十章 动载荷

第十章 动载荷
§10-1 概述

§10-2 动静法的应用
§10-4 杆件受冲击时的应力和变形

§10-1 概



静载荷: 载荷由零缓慢增加至最终值,然后保持不变。
动载荷: 载荷随时间变化而变化。

在动载荷作用下,构件内部各点均有加速度。

构件中因动载荷而引起的应力称为动应力。

实验证明,在动载荷作用下,如构件的应力不超过比例极限,

胡克定律仍然适用于动载荷下应力、应变的计算,弹性模量与
静载下的数值相同。
目录

§10-2 动静法的应用
一、构件做等加速直线运动
图示梁上有一个吊车,现在问3个问题

1.物体离开地面,静止地由绳索吊挂

l

2.物体匀速地向上提升
3.物体以加速度a向上提升

求这3种情况下的绳索应力?

目录

1. 物体离开地面,静止地由绳索吊挂
P
Q

绳子:

? st

Q ? A

Q Q
2. 物体匀速地向上提升

? 与第一个问题等价
目录

3. 物体以加速度a向上提升

FNd

? 按牛顿第二定律
或者说,按达郎伯原理(动静法):质点上所有外力同惯 性力形成平衡力系。 惯性力大小为ma,方向与加速度a相反

a
Q

FNd ? Q ?

Q a?0 g

a FNd ? Q(1 ? ) ? kd Q g
——动荷系数

其中
动应力

a kd ? (1 ? ) g

FNd Q ? kd ? kd? st ? 绳子动载应力(动载荷下应力)为:? d ? A A
目录

例10-1:吊笼重量为Q;钢索横截面面积为A,单 ? 位体积的重量为 ,求吊索任意截面上的应力。
解:

Fst ? ? Ax ? Q

a
a?Q?

FNd ? ? Ax ?

Q a g g a ? ?Q ? ? Ax ? ? ?Q ? ? Ax ? g ? a? ? ? Q ? ? Ax ?? 1 ? ? g? ? ? a? ? Fst ?1 ? ? ? g? ? ?
a —动荷系数 g

? Ax

F Nd
F st

x

?Ax

x

?Ax ? ? A x a
g

Kd ? 1 ?

FNd ? K d ? Fst

? d ? K d ? ? st

Q

Q Q? ga

二、构件作等速转动时的应力计算
薄壁圆环,平均直径为D,横截面面积为A,材料单位体积的重量为γ,以匀角速 度ω转动。

?

目录

A? D? 2 A? D? 2 qd ? ? g 2 2g

FNd

FNd

FNd

qd D A? D2 ? 2 ? ? 4g 2

FNd ? D2 ? 2 ? v2 ? ?d ? ? g 4g A

强度条件:? d ?

? v2
g

? [? ]

从上式可以看出,环内应力仅与γ和v有关,而与A无关。所以, 要保证圆环的强度,应限制圆环的速度。增加截面面积A,并 不能改善圆环的强度。

目录

§10-4

杆件受冲击时的应力和变形

目录

冲击时,冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化,其加

速度a很难测出,无法计算惯性力,故无法使用动静法。在实用
计算中,一般采用能量法。
在计算时作如下假设: 1.冲击物视为刚体,不考虑其变形; 2.被冲击物的质量可忽略不计; 3.冲击后冲击物与被冲击物附着在 一起运动; 4.不考虑冲击时热能的损失,即认为只有系统动能与势能 的转化。

?d

?a ?
目录

?b ?

设冲击物体与弹簧开始接触的瞬时动能为

T

动能T

根据机械能守恒定律,冲击物的动能T和势能V的变化应等于 弹簧的变形能 ,即

?d

V? d

T ? V ? V? d
1 V? d ? Fd ? d 2

?a ?

V ? Q? d

? b?

1 Q(h ? ? d ) ? Fd ? d 2
?d Q ? st

在线弹性范围内,载荷、变形和应力成正比,

即:

Fd ? d ? d ? ? Q ? st ? st

?a ?

?b ?

?Fd ?

1 ?2 d V? d ? Q 2 ? st

?c?
目录

V ? Q? d

? b?

T ? V ? V? d

?a ?

1 ?2 d V? d ? Q 2 ? st

?c?

将(b)式和(c)式代入(a)式,得:

2T ? st ? d ? 2? st ? d ? ?0 Q
2

?

? 2T ? d ? ? st ? 1 ? 1 ? ? Q? st ?

? ? ? ?

2T 2h Kd ? 1 ? 1 ? ? 1? 1? Q ? st ? st

?

Fd ? d ? d ? ? ? Kd Q ? st ? st

? Fd ? K d Q

? d ? K d ? st

? d ? K d ? st
目录

此时T=0 当载荷突然全部加到被冲击物上,

Kd ? 1 ? 1 ?

2T Q ? st

?2

Q

由此可知,突加载荷的动荷系数是2,这时所引 起的应力和变形都是静荷应力和变形的2倍。 1.若已知冲击物自高度 h 处无初速下落,冲击

物与被冲击物接触时的速度为v

Qv T? 2g

2

h

2T v Kd ? 1 ? 1 ? ? 1? 1? Q? st g ? st

2

Q

2.若已知冲击物自高度 h 处以初速度

v 0下落,则
h

v 2 ? v0 2 ? 2 gh
v2 v 0 ? 2 gh Kd ? 1 ? 1 ? ? 1? 1? g ? st g ? st
2

Q

3.当构件受水平方向冲击
1Q 2 v V ?0 2 g 1 ?d 1 Q ? Q? d ? ?d 2 U d ? Fd ? d 2 ? st 2 ? st 2 1Q 2 Q Fd ? d 2 ? v ? ?d Q ? st 2 g 2 ? st T?

v

?d

Q

?d ?

v2 ? ? st g ? st

Kd ?

v2 g ? st

例10-2:等截面刚架的抗弯刚度为 EI,抗弯截面系数为 W,重
物Q自由下落时,求刚架内的最大正应力(不计轴力)。

解:

? st

4Q a 3 ? 3E I

? st max

Qa ? W
a a

Q h

3EIh 2h ? 1? 1? Kd ? 1 ? 1 ? ? st 2Qa 3

? d max ? ? Kd ? st max

Q
Qa Qa

? ? d max ? Kd? s max
? 3EIh ? ?1 ? 1 ? ? 2Qa 3 ? ? Qa ? ?W ?

a a

目录

例10-3:重物Q自由落下冲击在AB梁的B点处,求B点的挠度。
解:

? st

Ql3 4Q l 3 ? ? 3 E I E bh 3
l

h b

E b h4 2h Kd ? 1 ? 1 ? ? 1? 1? ? st 2 Ql 3

? Ebh4 wB ? ? d ? Kd ? ? st ? ?1 ? 1 ? 3 ? 2Ql ?

? 4Ql 3 ? ? Ebh3 ?
目录

例10-4:图示钢杆的下端有一固定圆盘,盘

上放置弹簧。弹簧在 1kN的静载荷作用下缩
短0.625mm。钢杆直径d=40mm, l =4m,许用 应力[σ]=120MPa, E=200GPa。若有重为 15kN的重物自由落下,求其许可高度h。
l

解:? st ? 15 ? 0.625 ? 10 ?3 ? Q l ? 9.62 ? 10 ?3 m EA
Kd ? 1 ? 1 ? 2h ? st

? st

Q 15 ? 10 3 ? ? ? 12 MPa 2 A ?d 4

? 2h ? ? d ? K d ? ? st ? ? 1 ? 1 ? ? ? 12 ? [? ] ? 120 ? ? st ? ? ?

h ? 0.385m=385 mm


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