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高中数学必修四总复习练习题及答案


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数学必修 4
一.选择题: ? 1. 的正弦值等于 3 (A)
3 2


1 2



(B)

(C) ?

3 2

(D) ?

1 2

r />
2.215°是 (A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第三象限角 (D)第四象限角 3.角 ? 的终边过点 P(4,-3) ,则 cos? 的值为 4 3 (A)4 (B)-3 (C) (D) ? 5 5 4.若 sin ? <0,则角 ? 的终边在 (A)第一、二象限 (B)第二、三象限 (C)第二、四象限 (D)第三、四象限 5.函数 y=cos2x 的最小正周期是 ? ? (A) ? (B) (C) (D) 2? 2 4

















6.给出下面四个命题:① AB ? BA ?   ;② 0  AB ? BC ? AC ;③ AB AC ? BC ; - ④ 0 ? AB ? 0 。其中正确的个数为 (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 ( ) ( )

7.向量 a ? (1,?2) , b ? (2,1) ,则 (A) a ∥ b (C) a 与 b 的夹角为 60° 8. 化简 1 ? sin2160? 的结果是 (A) cos160? (B) ? cos160? (C) ? cos160? (B) a ⊥ b (D) a 与 b 的夹角为 30°

( (D) ? cos160? (

)

9. 函数 y ? 2 sin(2x ? ? )cos[2( x ? ? )] 是



? ? 的奇函数 (B) 周期为 的偶函数 4 4 ? ? (C) 周期为 的奇函数 (D) 周期为 的偶函数 2 2
(A) 周期为 10 . 函 数 y ? A s i ?x ( ? ) 在 一 个 周 期 内 的 图 象 如 下 , 此 函 数 的 解 析 式 为 n ? ( )

1

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(A) y ? 2 sin( 2 x ?

x ? (C) y ? 2 sin( ? ) 2 3

2? ) 3

(B) y ? 2 sin( 2 x ? (D) y ? 2 sin( 2 x ?

?

?

3

) )

3

二.填空题 11.已知点 A(2,-4) ,B(-6,2) ,则 AB 的中点 M 的坐标 为 ; 12.若 a ? (2,3) 与 b ? (?4, y) 共线,则 y = 13.若 tan ? ?
1 sin ? ? cos ? ,则 = 2 2 sin ? ? 3 cos ?

; ;

14.已知 a ? 1, b ? 2 , a 与 b 的夹角为

? ,那么 a ? b ? a ? b = 3




15.函数 y ? sin 2 x ? 2 sin x 的值域是 y ? 三.解答题 16.(1)已知 cos a = -

4 ,且 a 为第三象限角,求 sin a 的值 5 4 sin ? ? 2 cos ? (2)已知 tan ? ? 3 ,计算 的值. 5 cos ? ? 3 sin ?

? ? ? ? 17.已知向量 a , b 的夹角为 60? , 且 | a |? 2 , | b |? 1 ,

? ? (1) 求 a ?b ;

? ? (2) 求 | a ? b | .

? 18. 已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时, ? ? ? ? (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直? ? ? ? ? (2) ka ? b 与 a ? 3b 平行?平行时它们是同向还是反向?

19.设 OA ? (3,1) , OB ? (?1,2) , OC ? OB , BC ∥ OA ,试求满足 。 OD ? OA ? OC 的 OD 的坐标(O 为坐标原点)

2

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20.某港口的水深 y (米)是时间 t ( 0 ? t ? 24 ,单位:小时)的函数,下面是每天时间与水深的关系 表: t y 0 10 3 13 6 9.9 9 7 12 10 15 13 18 10.1 21 7 24 10

经过长期观测, y ? f (t ) 可近似的看成是函数 y ? A sin ?t ? b (1)根据以上数据,求出 y ? f (t ) 的解析式 (2)若船舶航行时,水深至少要 11.5 米才是安全的,那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进 出该港?

21.

? ? ? ? 已知 a ? ( 3sin x, m ? cos x) , b ? (cos x, ?m ? cos x) , 且 f ( x) ? a? b
(1) 求函数 f ( x) 的解析式;
? ? ?? (2) 当 x ? ? ? , ? 时, f ( x) 的最小值是-4 , 求此时函数 f ( x) 的最大值, 并求出相应的 x 的 ? 6 3?

值.

3

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数学必修 4 答案
一.选择题:1.A 2.C 3.C 4.D 5.A 6.B 7.B 8.B 9.C 10.A 二.填空题: 11. (-2,-1) 12. 三.解答题: 16.解: (1)∵ cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 , ? 为第三象限角 -6 13. -3 14.

21

15.

[-1,3]

4 3 ∴ sin ? ? ? 1 ? cos2 ? ? ? 1 ? (? )2 ? ? 5 5
(2)显然 cos ? ? 0

4sin ? ? 2cos ? 4sin ? ? 2cos ? 4 tan ? ? 2 4 ? 3 ? 2 5 cos ? ∴ ? ? ? ? 5cos ? ? 3sin ? 5cos ? ? 3sin ? 5 ? 3tan ? 5 ? 3 ? 3 7 cos ? ? ? ? ? 1 b 17.解: (1)17.解: (1) a? ?| a || b |cos 60? ? 2 ?1? ? 1 2 ? ?2 ? ?2 (2) | a ? b | ? (a ? b)

?2 ? ? ?2 ? a ? 2a ? ? b b ? 4 ? 2 ?1 ? 1 ?3

? ? 所以 | a ? b |? 3 ? ? 18. ka ? b ? k (1, 2) ? (?3, 2) ? (k ? 3, 2k ? 2) ? ? a ? 3b ? (1, 2) ? 3(?3, 2) ? (10, ?4) ? ? ? ? (1) (ka ? b ) ? (a ? 3b ) , ? ? ? ? 得 (ka ? b )? (a ? 3b ) ? 10(k ? 3) ? 4(2k ? 2) ? 2k ? 38 ? 0, k ? 19

? ? ? ? 1 (2) (ka ? b ) // (a ? 3b ) ,得 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2), k ? ? 3 ? ? 10 4 1 此时 k a ? b ? (? , ) ? ? (10, ?4) ,所以方向相反。 3 3 3
?OC ? OB ? 0 ?( x, y ) ? (?1.2) ? 0 ? 19. 解:设 OC ? ( x, y) ,由题意得: ? ?? ?BC ? ? OA ?( x, y ) ? (?1,2) ? ? (3,1) ?
?x ? 2 y ? x ? 14 ? ? ? x ? 1 ? 3? ? ? ? OC ? (14,7) ?y ? 7 ?y ? 2 ? ? ?

OD ? OC ? OA ? (11 6) ,
4

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20. 解: (1)由表中数据可以看到:水深最大值为 13,最小值为 7, h ? 且相隔 9 小时达到一次最大值说明周期为 9,因此 T ? 故 f (t ) ? 3sin
2? t ? 10 9 2?

?

? 9 ,? ?

2? , 9

13 ? 7 13 ? 7 ? 10 , A ? ?3 2 2

(0 ? t ? 24)
2? t ? 10 ? 11.5 9 3 15 解得: 9k ? ? t ? ? 9k k ? Z 4 4

(2)要想船舶安全,必须深度 f (t ) ? 11.5 ,即 3sin ∴ sin
2? 1 t? 9 2 又 0 ? t ? 24

2 k? ?

?
6

?

2? 5? t? ? 2 k? 9 6

当 k ? 0 时,

3 3 3 3 3 3 ? t ? 3 ;当 k ? 1 时, 9 ? t ? 12 ;当 k ? 2 时, 18 ? t ? 21 4 4 4 4 4 4

故船舶安全进港的时间段为 (0 : 45 ? 3: 45) , (9 : 45 ? 12 : 45) , (18: 45 ? 21: 45)

?? 21.解: (1) f ( x) ? a? ? ( 3sin x, m ? cos x)? b (cos x, ?m ? cos x)
即 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? m2 (2) f ( x) ?

3 sin 2 x 1 ? cos 2 x ? ? m2 2 2

? 1 ? sin(2 x ? ) ? ? m 2 6 2

? ? ? 5? ? ? ? 1 ? ? ? ?? 由 x ? ? ? , ? , ? 2 x ? ? ?? , ? , ? sin(2 x ? ) ? ? ? ,1? , 6 ? 6 6 ? 6 ? 2 ? ? 6 3?
1 1 ?? ? ? m 2 ? ?4 , ? m ? ?2 2 2 ? ? ? 1 1 ? f ( x) max ? 1 ? ? 2 ? ? , 此时 2 x ? ? , x ? . 6 6 2 2 2

5

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高中数学必修四总复习练习题及答案
0) 3) sin 第 1 题.已知 A,B,C 三点的坐标分别是 A(3,,B(0,,C (cos ?, ? ) ,其中

π 3π . ?? ? 2 2

???? ??? ? (1)若 AC ? BC ,求 ? 的值;
???? ??? ? 2sin 2 ? ? sin 2? (2)若 AC BC ? ?1 ,求 的值. · 1 ? tan ? 0) 3) sin 解: (1)有 A(3,,B(0,,C(cos ?, ?) . ??? ? ??? ? sin AC ? (cos? ? 3 sin ? ) , BC ? (cos ?, ? ? 3) . ,

???? ??? ? ? AC ? BC ,?(cos ? ? 3)2 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? (sin ? ? 3)2 ,
? cos ? ? sin ? ,? tan ? ? 1 .

π 3π 5π ,?? ? . ? ?? ? 2 2 4 ??? ??? ? ? (2)由(1)知 AC BC ? (cos? ? 3 sin ? )(cos ?, ? ? 3) · , sin
? (cos ? ? 3) cos ? ? sin ? (sin ? ? 3) · · ? cos2 ? ? 3cos ? ? sin 2 ? ? 3sin ? 1 ? 3(cos ? ? sin ? ) ,
??? ??? ? ? ? AC BC ? ?1 ,?1 ? 3(cos ? ? sin ? ) ? ?1 , ·

?cos ? ? sin ? ?

2 . 3

5 平方,得 2sin ? cos ? ? ? , 9
? 2sin 2 ? ? sin 2? 2sin 2 ? ? 2sin ? cos ? 2sin ? (sin ? ? cos ? ) 5 ? ? ? 2sin ? cos ? ? ? . sin ? cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 9 1? cos ? cos ?

第 2 题.向量 e1,e2 是夹角为 60? 的两个单位向量,求向量 a ? 2e1 ? e2 与 b ? ?3e1 ? 2e2 的夹角.
7 · ) · · 解: a b ? (2e1 ? e2 · (?3e1 ? 2e2 ) ? ?6e12 ? 4e1 e2 ? 3e1 e2 ? 2e22 ? ?4 ? e1 e2 cos60? ? ? , 2

a ? 2e1 ? e2 ? (2e1 ? e2 )2 ? 4e12 ? e22 ? 4e1 e2 ? 5 ? 4cos60? ? 7 , · b ? ?3e1 ? 2e2 ? (?3e1 ? 2e2 )2 ? 9e12 ? 4e22 ? 12e1 e2 ? 13 ? 12cos60? ? 7 . ·
7 ? ab · 2 ??1 . 夹角 ? 满足 cos ? ? ? a b 2 7? 7

? 向量 a 与 b 的夹角为 120? .

第 3 题.我们知道,函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、奇偶性等,请你选择适当的顺序探究函数
6

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f ( x) ? 1 ? sin x ? 1 ? sin x 的性质,并在此基础上,作出函数 f ( x) 在 [? π,π] 上的图象.
?1 ? sin x ≤ 0, 解:①? ? ?1 ? sin x ≥ 0,
? f ( x) 的定义域为 R ;

②? f (?x) ? 1 ? sin(?x) ? 1 ? sin(?x) ? 1 ? sin x ? 1 ? sin x ? f ( x) ,
? f ( x) 为偶函数.

③? f ( x ? π) ? f ( x) , ? f ( x) 是周期为 π 的周期函数;
x x? x x? x x x x ? ? ④? f ( x) ? ? sin ? cos ? ? ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? sin ? cos , 2? 2? 2 2 2 2 ? 2 ? 2
x ? π? ? 当 x ? ? 0, ? 时, f ( x) ? 2cos ; 2 ? 2? x ?π ? 当 x ? ? ,π ? 时, f ( x) ? 2sin . 2 ?2 ?
? π? ? 当 x ? ? 0, ? 时, f ( x) 单调递减, ? 2? ?π ? 当 x ? ? ,π ? 时, f ( x) 单调递增. ?2 ?
2 2

又? f ( x) 是周期为 π 的偶函数,
π? ? ? f ( x) 在 ? kπ,kπ ? ? (k ? Z) 上单调递减. 2? ?

x ? π? ⑤? 当 x ? ? 0, ? 时, f ( x) ? 2cos ?[ 2, ; 2] 2 ? 2? x ?π ? 当 x ? ? ,π ? 时, f ( x) ? 2sin ?[ 2, , 2] 2 2 ? ?
? f ( x) 的值域为 [ 2, ; 2]

由以上性质可得 f ( x) 在 [? π,π] 上的图象如图所示.

y

2



?

π 2

O

π 2

π

x

π? 3 π 3π ? 第 4 题.已知 cos ? ? ? ? ? , ≤? ? ,则 cos? ? 4? 5 2 2 ?



7

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答案: ?

2 10

π π ;②若 ?,? 是锐角 △ ABC 的内角,则 sin ? ? cos ? ; 3 2 7π ? π? π ?2 ? ③函数 y ? sin ? x ? ? 是偶函数;④函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度,得到 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象. 2 ? 4? 4 ?3 ? 其中正确命题的序号是 . 答案:①②③

第 5 题.给出下列命题:①存在实数 x ,使 sin x ? cos x ?

? 第 6 题. tan 29? ? tan 31? ? 3 tan 29· tan 31? ?



答案: 3
cos x ? 1 的值域是 sin x ? 2

第 7 题.函数 y ?
? 4 ? 0 答案: ? ? ,? ? 3 ?



π? ?1 第 8 题.要由函数 y ? sin ? x ? ? 的图象得到函数 y ? sin x 的图象,下列变换正确的是( 6? ?2



A.向左平移 B.向左平移 C.向右平移 D.向右平移 答案:D

π 个单位长度,再将各点横坐标变为 2 倍 6 π 1 个单位长度,再将各点横坐标变为 6 2 π 个单位长度,再将各点横坐标变为 2 倍 3 π 1 个单位长度,再将各点横坐标变为 3 2

4] 则 第 9 题. 已知函数 f ( x) ? a(sin x ? cos x) ? b , a ? 0 , x ? [0,π] 时,f ( x) 的值域是 [3, , a,b 的值分别是 若 且 (



5 A. ?1 ? 2,? 2 2 C. ?1 ? 2,? 2
答案:B

5 B. 1 ? 2,? 2 2 D. 1 ? 2,? 2

? π? 第 10 题.定义在 R 上的函数 f ( x) ,既是偶函数又是周期函数,若 f ( x) 的最小正周期是 π ,且当 x ? ? 0, ? 时, ? 2? ? 5π ? f ( x) ? sin x ,则 f ? ? 的值为( ) ? 3 ?

1 2 答案:B

A. ?

B.

3 2

C. ?

3 2

D.

1 2
8

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1 3 2 tan13? 1 ? cos50? sin 6?,b ? ,c ? 第 11 题.设 a ? cos 6? ? ,则有( 2 ? 2 2 1 ? tan 13 2



A. a ? b ? c 答案:D

B. a ? b ? c

C. b ? c ? a

D. a ? c ? b

??? ??? ??? ? ? ? ??? ???? ??? ? ? 1) 2) 1) 0) 给出下面的结论: AB ? CA ? BC ; O ? C O 第 12 题. 在平面上, 已知点 A(2,,B(0,,C (?2,,O(0, , ① ② A O ? ; B

??? ??? ? ? ??? ? ③ AC ? OB ? 2OA .其中正确结论的个数是(

) D.0 个

A.1 个 答案:B

B.2 个

C.3 个

第 13 题.2002 年 8 月,在北京召开的国际数学家大会会标如图 1 所示,它 三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角 积是 1,小正方形的面积是 A.1 答案:D B. ?
24 25

是由 4 个相同的直角 为 ? ,大正方形的面

1 ,则 sin 2 ? ? cos 2 ? 的值等于( 25


7 25

C.

7 25

D. ?

sin sin15? ) ,则 a ? b 的值为( 第 14 题.已知向量 a ? (cos75?, 75? ) , b ? (cos15?,
1 2 答案:D



A.

B.

2 2

C.

3 2

D.1

1 第 15 题.若 ? 为三角形的内角,且 sin ? ? cos ? ? ? ,则 tan 2? 等于( 5



A.

24 7

B. ?

24 7

C. ?

24 7

D.

7 24

答案:B
???? 1 ???? ? ? ? 第 16 题.已知 M (3, 2),N (?5, 1) ,且 MP ? MN ,则 P 点坐标为( 2 3? ? ? 3? , 1) ? A. ( ?8, B. ? ?1 ? ? C. ? 1, ? D. (8, 1) 2? ? ? 2? 答案:B



第 17 题.已知 a ? 1 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 60? , c ? 3a ? b , d ? ? a ? b ,若 c ? d ,则实数 ? 的值为( A.
7 2



B. ?

7 2

C.

7 4

D. ?

7 4

答案:C
9

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sin 2 x ? 2sin 2 x 7π ?π ? 3 17π 第 18 题.若 cos ? ? x ? ? , ,求 的值. ?x? 12 4 1 ? tan x ?4 ? 5
解:原式 ?
?
2sin x cos x ? 2sin 2 x 1 ? tan x ?π ? ? sin 2 x · ? sin 2 x tan ? ? x ? , · 1 ? tan x 1 ? tan x ?4 ?

17π 7π 5π π ,? ? ? x ? 2π . ?x? 12 4 3 4 ?π ? 3 又 cos ? ? x ? ? , 4 ? ? 5 4 4 ?π ? ?π ? ? sin ? ? x ? ? ? , tan ? ? x ? ? ? , 4 5 4 3 ? ? ? ? π ? ? ?π ? 7 sin 2 x ? ? cos ? ? 2 x ? ? 1 ? 2cos 2 ? ? x ? ? , ?2 ? ?4 ? 25 7 ? 4? 28 故原式 ? ? ? ? ? ? ? . 25 ? 3 ? 75

第 19 题.某船以 6km/h 的速度向东航行,船上有人测得风自北方来;若船速加倍,则测得风自东北来,求风速大 小. 解:分别取正东、正北方向为 x 轴, y 轴,建立直角坐标系,令 x 轴, y 轴正方向上的单位向量分别为 i, j ,并设 表示风速的向量为 x i ? y j ,起初船速为 6i ,船上的人测得的风速为 ?p j ( p ? 0) ,则 x i ? y j ? 6 i ? ?p j ,可解 得x?6. 后来船上的人测得风速为 ?q (i ? j ) (q ? 0) , ? x i ? y j ?12i ? ?q (i ? j ) , 于是 x ? 12 ? y ? ?q ? ?6 , ? 表示风速的向量为 6i ? 6 j , 风速大小为 6i ? 6 j ? 6 2 km/h. 即所求风速为 6 2 km/h.
1 ? ? 3 第 20 题.已知 f (? ) ? ? cos 2? ? 4a sin cos ? a2 ? 2a ? ,若 f (? ) 的最小值为 g (a) . 2 2 2 2 (1)求 g (a) 的表达式; (2)当 g (a) ? 2 时,求 a 的值.

解: (1) f (? ) ?

1 ? cos 2? ? 2a sin ? ? a2 ? 2a ? 1 2

? sin 2 ? ? 2a sin ? ? a2 ? 2a ? 1 ? (sin ? ? a)2 ? 2a ? 1,
若 ?1 ≤ a ≤ 1 ,则当 sin ? ? a 时, g (a) ? 2a ? 1 ; 若 a ? 1 ,则当 sin ? ? 1 时, g (a) ? a2 ? 2 ; 若 a ? ?1 ,则当 sin ? ? ?1 时, g (a) ? a2 ? 4a ? 2 ,

10

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?a 2 ? 4a ? 2,a ? ?1 , ? ? g ( a ) ? ? 2a ? 1 , ? 1 ≤ a ≤1 , ? 2 a ? 1. ?a ? 2,
(2)当 a ? ?1 时,令 a 2 ? 4a ? 2 ? 2 ,得 a ? ?4 或 a ? 0 (舍去) . 1 当 ?1 ≤ a ≤ 1 时,令 2a ? 1 ? 2 ,得 a ? ; 2 当 a ? 1 时,令 a 2 ? 2 ? 2 ,得 a ? 0 (舍去) . 1 综上所述,当 g (a) ? 2 时, a ? ?4 或 a ? . 2
? π? ?π? · 第 21 题.已知函数 f ( x) ? x sin x ,则 f ? ? ? , f (1) 及 f ? ? 的大小关系为( ? 4? ?3? ? π? ?π? ?π? ? π? A. f ? ? ? ? f (1) ? f ? ? B. f (1) ? f ? ? ? f ? ? ? ? 4? ?3? ?3? ? 4? ?π? ? π? ?π? ? π? C. f ? ? ? f (1) ? f ? ? ? D. f ? ? ? f ? ? ? ? f (1) ?3? ? 4? ?3? ? 4? 答案:C



??? ? ???? ???? 第 22 题. △ ABC 中 D 为 BC 边的中点,已知 AB ? a , AC ? b ,则在下列向量中与 AD 同向的向量是(



A.

a?b a?b

B.

a b ? a b

C.

a b ? a b

D. b a ? a b

答案:A

11


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