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成才之路北师大数学必修2-2.1.3


成才之路 · 数学
北师大版 · 必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
解析几何初步

第二章

解析几何初步

成才之路 · 高中新课程 · 学

习指导 · 北师大版 · 数学 · 必修2

第二章 §1 直线与直线的方程
1.3 两条直线的位置关系

第二章

解析几何初步

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1

课前自主预习

3

易错疑难辨析

2

课堂典例讲练

4

课后强化作业

第二章

§1

1.3

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课前自主预习

第二章

§1

1.3

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过山车是一种富有刺激性的娱乐工具.实际上,过山车的 运动包含了许多数学、物理学原理.过山车的两条铁轨是永远

平行的轨道,它们依靠一根根巨大且垂直于地面的钢筋支撑
着.你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与 垂直又用什么来刻画呢?

第二章

§1

1.3

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1.两条直线平行 (1) 两 条 不 重 合 的 直 线 l1 : y = k1x + b1 和 l2 : y = k2x + k1=k2 ;反之 , 若 __________ k1=k2 ,则 b2(b1≠b2) ,若 l1∥l2 ,则 ________ l1∥l2.

第二章

§1

1.3

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(2)若两条不重合的直线 l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1 不同 时为 0)和 l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2 不同时为 0),若 l1∥l2,
? ?A1B2-A2B1=0 ? ? ?B1C2-B2C1≠0 ,反之也成立. 则__________________

(3)设直线 l 的方程为 Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0),则 与直线 l 平行的直线可设为 Ax+By+D=0.

第二章

§1

1.3

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2.两条直线垂直
(1)设直线l1:y=k1x+b1,直线l2:y=k2x+b2. -1 若 l1⊥l2 , 则 k1·k2 = __________ , 反 之 , 若 k1·k2 = -1 ,则l1⊥l2. ________ (2)设直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0)和l2:A2x A1A2+B1B2=0 +B2y+C2=0(A2,B2不同时为0).若l1⊥l2,则____________ , 反之也成立. (3)若直线l的方程为Ax+By+C=0(A,B不为0),则与直线 l垂直的直线可设为Bx-Ay+D=0.

第二章

§1

1.3

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1.有下列说法: ①若两直线l1和l2的斜率相等,则l1∥l2; ②若l1∥l2,则两直线的斜率相等;

③若两条直线 l1 和 l2 中有一条斜率不存在,另一条斜率存
在,则l1与l2相交 ④若直线l1与l2斜率都不存在,则l1∥l2.

第二章

§1

1.3

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其中正确的个数是( A.1 C.3 [答案] A

) B.2 D.4

[ 解析 ]
有③正确.

①错误,因为 k1 =k2 ,则 l1 与l2 平行或重合;②错

误,忽略了斜率不存在的情况;④错误,l1与l2有可能重合;只

第二章

§1

1.3

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2.已知 A(-1,1),B(3,3),直线 l∥AB,则直线 l 的斜率为 ( ) A.2 C.-2
[答案] B

1 B.2 1 D.-2

3-1 2 1 [解析] kAB= = = , 3-?-1? 4 2 1 ∵l∥AB,∴直线 l 的斜率为2.
第二章 §1 1.3

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3. 如果直线 l1 的斜率为 a, l1⊥l2, 则直线 l2 的斜率为( 1 A.a 1 C.-a
[答案] D

)

B.a 1 D.-a或不存在

[解析] 若 a=0,则 l2 的斜率不存在;若 a≠0,则 l2 的斜 1 率为-a.

第二章

§1

1.3

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4.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则 实数m=________. [答案] 1 [ 解析 ] ∵ 直线 x - 2y + 5 = 0 与直线 2x + my - 6 = 0 互相垂

直,∴1×2+(-2)·m=0,即m=1.

第二章

§1

1.3

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5.经过点P(-2,-1)和点Q(3,a)的直线与倾斜角为45° 的直线平行,则a=________. [答案] 4

a+1 [解析] k= =tan 45° =1,∴a=4. 3+2

第二章

§1

1.3

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课堂典例讲练

第二章

§1

1.3

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两直线平行的条件
直线 l1:(m+2)x+(m2-3m)y+4=0, l2:2x+4(m-3)y-1=0,如果 l1∥l2,求 m 的值.
[思路分析] 一种方法是对直线斜率是否存在进行讨论,

分两种情况进行求解;另一种方法是直接利用一般式方程表示 直线的前提下,由两直线平行的条件建立参数的方程求解.

第二章

§1

1.3

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[规范解答]
2 ? ?m -3m≠0, ? ? ?4?m-3?≠0,

解 法 1 : (1) 当 l1 , l2 斜 率 都 存 在 时 ,

所以 m≠0 且 m≠3. m+2 2 由 l1∥l2,得- 2 =- ,解得 m=-4. m -3m 4?m-3? 1 此时 l1:x-14y-2=0,l2:x-14y-2=0, 显然,l1 与 l2 不重合,满足条件.

第二章

§1

1.3

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(2)当

2 ? ?m -3m=0, l1,l2 斜率不存在时,? ? ?4?m-3?=0,

解得 m=3.

4 1 此时 l1:x=-5,l2:x=2,满足条件. 综上所述:m=-4 或 m=3. 解法 2:由于 l1∥l2,所以(m+2)×4(m-3)=(m2-3m)×2, 整理得 m2+m-12=0,解得 m=-4 或 m=3.

第二章

§1

1.3

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1 当 m=-4 时, 两直线为: x-14y-2=0 和 x-14y-2=0, 满足条件; 4 1 当 m=3 时,两直线为:x=-5和 x=2,满足条件. 故 m 的值是-4 或 3.

第二章

§1

1.3

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[ 规律总结 ]

1. 已知两直线平行,求方程中的参数值时,

通常有两种方法:一是对两直线的斜率是否存在进行讨论,分 斜率存在、斜率不存在两种情况分别求解;二是直接根据条件 A1B2=A2B1且B1C2≠B2C1进行求解.

2 .求出参数值后要将参数代入直线方程,检验两直线是
否真正平行,排除它们重合的情况.

第二章

§1

1.3

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(1)求过点(1,2)且与直线2x+y-1=0平行的直线方程;
(2)已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0 平行,求m的值. [ 解析 ] (1) 已知直线的斜率是- 2 ,因为所求直线与已知 直线平行,所以它的斜率也是-2. 根据点斜式,得所求直线的方程是: y-2=-2(x-1), 即2x+y-4=0.

第二章

§1

1.3

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(2)已知直线的斜率为-2,因为所求直线与已知直线平行, 所以它的斜率也是-2. 4-m 由斜率公式得: =-2. m-?-2? 解得 m=-8.

第二章

§1

1.3

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两直线垂直的条件
直线 l1: ax+(1-a)y=3 与 l2: (a-1)x+(2a+3)y =2 互相垂直,求 a 的值.
[ 思路分析 ] 已知两直线垂直,可利用 k1·k2 =- 1 ,但要

注意分类讨论;也可利用以下结论:设两条直线的方程为 l1 :

A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1⊥l2?A1A2+B1B2
=0.

第二章

§1

1.3

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[规范解答] 故 l1⊥l2.

2 解法一:当 a=1 时,l1 为 x=3,l2 为 y=5,

3 3 5 当 a=-2时,l1 的方程为-2x+2y=3, 5 l2 的方程为-2x=2,显然 l1、l2 不垂直. 3 当 a≠1 且 a≠-2时,由 k1· k2=-1 得: 1-a a × =-1,解得 a=-3. a-1 2a+3 综上所述,当 a=1 或 a=-3 时,l1⊥l2.
第二章 §1 1.3

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解法二:利用 A1A2+B1B2=0,即 a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0 解得:a=1 或 a=-3.

第二章

§1

1.3

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[规律总结] 1.判断两直线是否垂直的方法:
(1) 若所给的直线方程都是一般式方程 ,则运用条件: l1⊥l2?A1A2+B1B2=0判断; (2) 若所给的直线方程都是斜截式方程 ,则运用条件: l1⊥l2?k1·k2=-1判断;

(3)若所给的直线方程不是以上两种情形,则把直线方程化
为一般式再判断. 2 .已知两直线垂直求方程中的参数值时,通常也有两种 方法,一是根据k1k2=-1建立方程求解,但需注意斜率不存在 的情况;二是直接利用A1A2+B1B2=0求解.
第二章 §1 1.3

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判断下列各小题中的直线是否垂直: (1)l1 过 点 A( - 1 , - 2) , B(1,2) , l2 过 点 M( - 2 , - 1) ,

N(2,1);
(2)l1的斜率为-10,l2经过点A(10,2),B(20,3).

第二章

§1

1.3

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2-?-2? [解析] (1)k1= =2, 1-?-1? 1-?-1? 1 k2= = , 2-?-2? 2 k1k2=1≠-1, ∴l1 与 l2 不垂直. 3-2 1 (2)k1=-10,k2= =10, 20-10 k1k2=-1,∴l1⊥l2.

第二章

§1

1.3

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直线系方程
(1)求过点 A(1,-4),且与直线 2x+3y+5=0 平行的直线方程. (2)直线 l 过点 P(1,-1)且与直线 2x+3y+1=0 垂直,求 l 的方程.

[思路分析] 由直线系方程求解或由斜率间关系求解.

第二章

§1

1.3

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[规范解答]

2 (1)解法一:已知直线的斜率是-3,因为所求

2 直线与已知直线平行,因此它的斜率也是- 3.根据点斜式得所 2 求直线的方程是 y+4=-3(x-1), 即 2x+3y+10=0. 解法二:因所求直线与 2x+3y+5=0 平行,可设所求直线 方程为 2x+3y+m=0,将 A(1,-4)代入有 m=10, 故所求直线方程为 2x+3y+10=0.

第二章

§1

1.3

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2 (2)方法一:∵直线 2x+3y+1=0 的斜率为-3, 3 ∴直线 l 的斜率为2, 3 ∴直线 l 的方程为 y+1=2(x-1), 即 3x-2y-5=0. 方法二:因所求直线与 2x+3y+1=0 垂直,可设所求直线 方程为 3x-2y+λ=0,将 P(1,-1)代入有 λ=-5,故所求直 线方程为 3x-2y-5=0.

第二章

§1

1.3

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[规律总结]

和直线y=kx+b平行的直线可假设为y=kx+

m,m≠b;和直线Ax+By+C=0平行的直线可假设为Ax+By+ m=0(m≠C),和直线Ax+By+C=0垂直的直线可假设为Bx-Ay

+λ=0,然后再用待定系数法求未知系数.

第二章

§1

1.3

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求直线l的方程: (1)过点P(2,-1)且与直线3x-2y-6=0平行;

(2)过点P(2,-1)且与直线3x-2y-6=0垂直.
[解析] (1)解法一:由已知直线 3x-2y-6=0 得斜率 k1= 3 2. 3 ∵所求直线 l 与已知直线平行,故 l 的斜率 k=2. 3 由点斜式得直线 l 的方程为 y+1=2(x-2), 即 3x-2y-8=0.
第二章 §1 1.3

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解法二:因已知直线与所求直线平行,故所求直线可设为 3x-2y+C=0,由点 P(2,-1)在直线上,得 3×2-2×(-1) +C=0,解得 C=-8, 故所求直线方程为 3x-2y-8=0.

第二章

§1

1.3

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3 (2)解法一:由(1)知直线 3x-2y-6=0 的斜率 k1=2, 2 ∴所求直线的斜率为 k=-3, 2 ∴所求直线方程为 y+1=-3(x-2) 即 2x+3y-1=0 解法二:设所求直线方程为 2x+3y+C=0, ∵过 P(2,-1)点,∴2×2+3×(-1)+C=0, ∴C=-1,∴所求直线方程为 2x+3y-1=0.

第二章

§1

1.3

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易错疑难辨析

第二章

§1

1.3

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当 a 为何值时,l1:2x+ay=2,l2:ax+2y=1 互相垂直.

2 a [错解] k1=-a,k2=-2. 2 a 由 l1⊥l2 得 k1· k2=-1,而-a· (-2)=1. 故 a 不论取何值时,l1 与 l2 均不垂直.

第二章

§1

1.3

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[ 辨析 ]

上述解法忽视了斜率不存在的情况.若利用结

论:l1⊥l2?A1A2+B1B2=0,可避免上述解法中的错误. [正解] l1:2x+ay=2,l2:ax+2y=1且l1⊥l2 ?2a+2a=0?a=0,

即当a=0时,l1⊥l2.
[规律总结] 在直线用一般式表示出来后,求斜率时特别 要注意,可能k不存在.

第二章

§1

1.3

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课后强化作业
(点此链接)

第二章

§1

1.3


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