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三角函数(基础知识复习)适用于体育生文科生


三角函数
一、三角函数定义:
利用直角坐标系,可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在 ? 终边上任取一点 P( x, y) (与 原点不重合) ,记 r ?| OP |?

x 2 ? y 2 ,则 sin ? ? y , cos ? ? x , tan ? ? y , cot ? ? x 。
r
r
x
y

2.诱导公式记忆规律:“奇变偶不变,符号看象限”

sin(?? ) ? -sin ? sin(? ? ? ) ? sin ?

sin(? +? ) ? -sin ? sin(2? ? ? ) ? ? sin ? sin(2? +? ) ? sin ? cos(2? +? ) ? cos ?

cos(?? ) ? cos ? cos(? ? ? ) ? - cos ? cos(? +? ) ? - cos ? cos(2? ? ? ) ? cos ? tan(?? ) ? - tan ? tan(? ? ? ) ? - tan ? tan(? +? ) ? tan ?
sin( -? ) ? cos ? sin( +? ) ? cos ? 2 2

tan(2? ? ? ) ? ? tan ? tan(2? +? ) ? tan ?

3? 3? ? ? ) ? ? cos ? sin( +? ) ? cos ? 2 2 ? ? 3? 3? cos( -? ) ? sin ? cos( +? ) ? -sin ? cos( ? ? ) ? sin ? cos( +? ) ? -sin ? 2 2 2 2 ? ? 3? 3? tan( -? ) ? cot ? tan( +? ) ? ? cot ? tan( ? ? ) ? ? cot ? tan( +? ) ? ? cot ? 2 2 2 2

?

?

sin(

实战:1、已知角?的终边经过 P(4,?3),求 2sin?+cos?=

-2/5 )

2、已知角 ? 的终边过 P(-6a,-8a)( a ? 0 ),则 sin ? ? cos ? 的值为 ( A.

1 5

B. ?

1 5

C. ?

1 7 或? 5 5

D. ?

1 1 或 5 5

12 ,则 sin ? ? ( ) 13 5 5 5 5 A. B. ? C. D. ? 13 12 13 12 12 4、 (2009 全国卷Ⅰ)已知 ?ABC 中, cot A ? ? , 则 cos A ? () 5 12 5 5 12 A. B. C. ? D. ? 13 13 13 13 4 5、 (09 北京)若 sin ? ? ? , tan ? ? 0 ,则 cos ? ? . 5
3. (07 全国 1 文 2) ? 是第四象限角, cos ? ? 6、sin2100 = 7、 cos330 ?
?

8、tan690°=

1

9. sin 585 ? _______.
?

10. cos300 ? ______.5. sin 480 =
?

?

二、1.两角和(差)的正弦、余弦及正切: sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

2.二倍角的正弦、余弦及正切: sin 2? ? 2sin ? cos ? ;

2 tan ? . 1 ? tan 2 ? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? ? sin ? 1 ? cos ? 2 , cos 2 ? ? ? (母加子减) 降幂公式:sin ? ? 半角公式:tan ? 2 1 ? cos ? sin ? 2 2 b 2 2 辅助角公式: a sin ? ? b cos ? ? a ? b sin ?? ? ? ? ( tan ? ? ) . a

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? ;

tan 2? ?

实战:

? 4 5 ? 3 22.(全国大纲理 14)已知 a∈( 2 , ? ) ,sinα= 5 ,则 tan2α=
3 ,则 tan 2? ? . 5 3 5.【2012 高考全国文 4】已知 ? 为第二象限角, sin ? ? ,则 sin 2? ? 5 24 12 12 24 (A) ? (B) ? (C) (D) 25 25 25 25
12.(10 全国)已知 ? 为第二象限的角, sin a ?

sin 2? 2 12.(福建理 3)若 tan ? =3,则 cos a 的值等于
A.2 B.3 C.4 D.6

cos ? ? ?
8、若

? 4 1 ? tan 2 5 , ? 是第三象限的角,则
1 ? tan

?

=(

A )

2

(A) ?

1 2

(B)

1 2

(C) 2

(D) -2

4、 (2010 全国卷Ⅰ)已知 ? 为第三象限的角, cos 2? ? ?

3 ? 1 ,则 tan( ? 2? ) ? ? 5 4 7

? 1 ( +?) = 3 ,则 sin 2? ? 11.(辽宁理 7)设 sin 4
tan( x ?
24.(江苏 7)已知

?
4

) ? 2,

tan x 4 则 tan 2 x 的值为__________ 9

10. (10 全国)已知 a 是第二象限的角, tan(? ? 2a ) ? ? 11. (10 全国)已知 sin ? ?

4 ,则 tan a ? 3



2 ,则 cos ?? ? 2? ? ? ________. 3
2

13. (10 全国)已知 ? 为第三象限的角, cos 2? ? ? 14. (07 陕西)已知 sin ? ?

3 ? ,则 tan( ? 2? ) ? 5 4



5 4 4 ,则 sin ? ? cos ? 的值为_____________. 5

10.【2012 高考辽宁文 6】已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ?(0,π ),则 sin 2? = 15.如果 ? ? (0,

?
2

),sin ? ? cos ? ? 3 2

2 , 则cos 2 ? 等于 ( B ) 2
C. ?

A.

3 2

B.-

3 2

D. ?

1 2


16. (07 浙江文)若 sin ? ? cos ? ?

1 ,则 sin 2? 的值是 5

17. (07 浙江理)已知 sin ? ? cos ? ?

1 ? 3? ,且 ≤ ? ≤ ,则 cos 2? 的值是 5 2 4



18. (07 海南 9)若

cos 2? 2 ,则 cos ? ? sin ? 的值为________. ?? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ?

65 1+cos 2?+8sin 2 ? 4.已知 tanα =4,则 的值为 4 sin 2?

(09 陕西)若 tan ? ? 2 ,则

2sin ? ? cos ? 的值为_________. sin ? ? 2 cos ?
sin ? ? cos ? 1 ? ,则 tan2α= sin ? ? cos ? 2
1 2 sin 2? cos ? ? sin ? 的值. sin 2? cos 2?

11.【2012 高考江西文 4】若

14 已知 ? 为锐角,且 tan ? ? ,求

1 sin 2a ? cos2 ? 1 16.已知 tan( ? ? ) ? , (1)求 tan ? 的值;- (2)求 的值 3 4 2 1 ? cos 2?

?

17. 已知 sin ? ? 2 cos ? , ⑴求

sin ? ? 4cos ? 的值; ⑵求sin 2 ? ? 2sin ? cos ? 的值. 5sin ? ? 2cos ?

7.(10 福建) 计算sin43 cos13 -sin13 cos 43 的值等于______.
3

?

?

?

?

19. (07 江苏 11)若 cos(? ? ? ) ?

1 3 , cos(? ? ? ) ? ,则 tan ? ? ? ? _________. tan 5 5
3 5 ,cos ? ? ,则 cos ?? ? ? ? ? ________. 5 13

22.①若 ? , ? 都是锐角, sin ? ?

24. (11 徐州)设函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ?

? ?

??

?? ? 2 ? ? cos ? 2 x ? ? ? 2cos x , 求 f ? x ?max ? _________. 6? 3? ?

25. (10 上海长宁)函数 f ( x) ? 2 sin 2 x ? 6 cos x ? 3 的最大值为 _______ .

9.(湖南卷 6)函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x 在区间 ?

?? ? ? 上的最大值是( , ?4 2? ?

)

A.1

B.

1? 3 2

C.

3 2

D.1+ 3

4

三、三角函数的单调区间及对称性: ⑴ y ? sin x 的单调递增区间为 ? 2k? ?

⑵ y ? cos x 的单调递增区间为 ?2k? ? ? ,2k? ? k ? Z ,单调递减区间为 ?2k? ,2k? ? ? ? k ? Z , 对称轴为 x ? k? (k ? Z ) ,对称中心为 ? k? ? ⑶ y ? tan x 的单调递增区间为 ? k? ?

k ? Z ,单调递减区间为 2? ? ? ? 3? ? ? ? 2k? ? 2 , 2k? ? 2 ? k ? Z ,对称轴为 x ? k? ? 2 (k ? Z ) ,对称中心为 ? k? ,0? (k ? Z ) . ? ? 2 ? ?

? ?

?

, 2k? ?

??

?

? , 0 ? (k ? Z ) . 2 ?

? ?

?
2

, k? ?

??
?
2

? k? ? ,0 ? ?k ? Z ? . ? k ? Z ,对称中心为 ? 2? ? 2 ?
,得 x ? ? ; 对称中心: (

⑷ y ? A sin(?x ? ? ) 对称轴:令 ? x ? ? ? k? ?

k? ? ? ,0)( k ? Z ) ; ?
k? ?

⑸ y ? A cos(?x ? ? ) 对称轴:令 ?x ? ? ? k? ,得 x ? ⑹周期公式:

k? ? ?

?
2

?
2?

;对称中心: (

??

?

,0)(k ? Z ) ;

① 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及 y ? A cos(? x ? ? ) 的周期 T ? ② ②函数 y ? A tan??x ? ? ? 的周期 T ?

?

(A、ω 、 ? 为常数,且 A≠0).

? (A、ω 、 ? 为常数,且 A≠0). ?

⑺图象变换(基本上年年考) 实战: 1、⑴由 y=sinx 的图象向右平移π /6 个单位得到 的图象,再将得到的图象横坐标变为原 来的 1/2 倍(纵坐标不变)得到 的图象. ⑵将函数 y ? sin x 的图象上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍,纵坐标不变,再把所得图象上所有点向左平移 π /3 个单位,所得图象的解析式是__________________. 2、 y ? sin x ? y ? sin ? 2 x ?

? ?

π? ? 的两种变换方式: 3? ? ? π? ? 3?

方式一: y ? sin x ? y ? sin 2 x ? y ? sin ? 2 x ?

方式二: y ? sin x ? y ? sin ? x ?

? ?

π? π? ? ? ? y ? sin ? 2 x ? ? 6? 3? ? ? ? π? ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像( A ) 3?

3、 (08 年全国卷Ⅰ)为得到函数 y ? cos ? 2 x ?

5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移

B.向右平移

5π 个长度单位 12 5π D.向右平移 个长度单位 6

4、 (2011 全国卷Ⅰ)设函数 f ( x) ? cos ? x(?> ,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 0) 像与原图像重合,则 ? 的最小值等于(C)
5

? 个单位长度后,所得的图 3

(A)

1 3

(B) 3

(C) 6

(D) 9

? ),x∈R 的图象,只需把函数 y=cosx,x∈R 的图象上的所有点的( B ) 6 ? A.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向右平移 12 1 ? B.横坐标缩小到原来的 (纵坐标不变),再向右平移 2 6 1 ? C.横坐标缩小到原来的 (纵坐标不变),再向左平多 2 6 1 ? D.横坐标缩小到原来的 (纵坐标不变),再向右平移 2 3 ? ?? ? ? 6、将函数 f ( x) ? sin(? x ? )( x ? 0) 的图像按 a ? ? ,1? 平移之后得到函数 g ( x) = 4 ?4 ?
5、要得到函数 y=sin(2x+
?x π? ? π ? ? 10. (2007 年湖北卷理 2) .将 y ? 2cos ? ? ? 的图象按向量 a ? ? ? , 2 ? 平移,则平移后所得图象的解析式 ?3 6? ? 4 ? 为( ) ?x π? ?x π? ?x π ? ?x π ? A. y ? 2cos ? ? ? ? 2 B. y ? 2cos ? ? ? ? 2 C. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 D. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 ?3 4? ?3 4? ? 3 12 ? ? 3 12 ?

7.为了得到函数 y ? sin( 2 x ? ) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象(

? 个单位长度 6 ? (C)向左平移 个单位长度 6
(A)向右平移

? 6



? 个单位长度 3 ? (D)向左平移 个单位长度 3
(B)向右平移

4. 函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x 的最小正周期是_____

8. (2007 年江西卷文 2) .函数 y ? 5 tan(2 x ? 1) 的最小正周期为( 7、已知函数 f ?x? ? 3 sin 2x ? cos2x ,下面结论错误的是( B A.函数 f ?x ? 的最小正常周期为 ?





? B.函数 f ?x ? 可由 g ?x ? ? 2 sin 2 x 向左平移 6 个单位得到 ? x? f ?x ? 的图象关于直线 6 对称 C.函数 ? D.函数 f ?x ? 在区间[0, 6 ]上是增函数
1 12. (2007 年广东卷理 3) .若函数 f ( x) ? sin 2 x ? ( x ? R) ,则 f(x)是 2

6

? 的奇函数; (B)最小正周期为 ? 的奇函数; 2 (C)最小正周期为 2 ? 的偶函数; (D)最小正周期为 ? 的偶函数;
(A)最小正周期为 22. (2007 年北京卷文 3) .函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期是( A. )

π 2

B. π

C. 2π

D. 4π

23. (2007 年四川)下面命题: ①函数 y ? sin 4 x ? cos4 x 的最小正周期是 ? . ④把函数 y ? 3 sin( 2 x ? ⑤函数 y ? sin( x ?

?
2

? ? )的图象向右平移 得到 y ? 3 sin 2 x的图象 . 3 6

)在[0,? ]上是减函数.
(写出所有真命题的编号)

其中真命题的序号是

13. (2007 年福建卷理 5) 已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ? .

? ?

?? 则该函数的图象 ( ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? , ??
? 对称 ? ? 对称 ?




A.关于点 ? ,? 对称 0

?? ??

? ?

B.关于直线 x ?

C.关于点 ? ,? 对称 0

?? ??

? ?

D.关于直线 x ?

14. (2007 年福建卷文 5) .函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

π? ? 的图象( 3?
π 对称 4 π 对称 3


A.关于点 ? ,? 对称 0

?π ?3 ?π ?4

? ? ? ?

B.关于直线 x ?

C.关于点 ? ,? 对称 0

D.关于直线 x ?

15. (2007 年江苏卷 1) .下列函数中,周期为 A. y ? sin

? 的是( 2

x 2

B. y ? sin 2 x

C. y ? cos

x 4

D. y ? cos 4 x

16. (2007 年江苏卷 5) .函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ?[?? ,0]) 的单调递增区间是( ) A. [ ?? , ?

5? ] 6

B. [?

5? ? ,? ] 6 6
2

C. [?

?
3

, 0]

D. [?

?
6

, 0]

9 、 2007 全 国 卷 Ⅰ ) 函 数 f ( x) ? cos x ? 2 cos (

2

x ? ? 2? ? 的一个单调增区间是(A)A. ? , ? 2 ?3 3 ?

B. ?

?? ? ? , ? ?6 2?

C. ? 0,

? ?

??
? 3?

D. ? ?
7

? ? ?? , ? ? 6 6?

1. 【2011 ? 新课标全国理,11】设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) ( ? ? 0 , 期为 ? ,且 f (? x) ? f ( x) ,则( A )

| ? |?

?
2 )的最小正周

? A. f ( x ) 在 ? 0, ? 单调递减 ? ?
? 2?

? 3? ? 单调递减 B. f ( x ) 在 ? , ? ?
?4 4 ?

? C. f ( x ) 在 ? 0, ? 单调递增 ? ?
? 2?
15.函数 f ( x ) ? tan( x ? A. (k? ?

? 3? ? 单调递增 D. f ( x ) 在 ? , ? ?
?4 4 ?


?
4

) 的单调增区间为 ( C

, k? ? ), k ? Z B. (k? ,(k ? 1)? ), k ? Z 2 2 3? ? ? 3? , k? ? ), k ? Z ), k ? Z C. ( k? ? D. ( k? ? , k? ? 4 4 4 4 5 16.函数 y ? sin( 4 x ? ? ) 图象的一个对称中心是 ( D ) 2 ? ? ? 9 A. ( ,-1) B. ( ,1) C. ( ? ,0) D. ( , 0) 8 4 2 8
17.下列函数中,最小正周期为π ,且图象关于直线 x=

?

?

? 对称的是(B) 3 ? ) 6

A.y=sin(2x-

? ) 3

B.y=sin(2x-

? ) 6

C.y=sin(2x+

D.y=sin(

x ?
+

)

2

6

18.函数 y ? 3 tan( 3 x ? A. (0, 0)

3? ) 的图象的一个对称中心是( 4 4? ? ,0 ) B. ( C. ( ,0) 3 12

C ) D. (

?
6

y

,0 )
1 ? 3 7? 12 x

19.把函数 y ? sin(? x ? ? ) (? ? 0,| ? |?

?

2 平移,所得曲线的一部分如图所示,则 ?、? 的值分别是

) 的图象按向量 ? ? ( ?

?
3

, 0)
O -1

( D )

? A .1, 3

B .1, ?

?
3

? C .2, 3

D . 2, ?

?
3

24.函数 y ? sin(?x ? ? )(x ? R, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的部分图象如图 2 所示,则 ? ? 3.若函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) 的图象(部分)如图所示,则 ?和? 的取值是(

1 3? ,? ? . 2 8
y 1 O ?

)

1 ? (A) ? ? 1, ? ? (B) ? ? 1, ? ? ? (C) ? ? , ? ? 3 3 2 6

?

?

1 ? (D) ? ? , ? ? ? 2 6

4

5? 4
图2

x

8


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