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解析几何——存在性问题


解析几何----存在性问题
1.. 已知双曲线方程 2x ? y ? 2. (1) 求以 A(2,1) 为中点的双曲线的弦所在直线方程;
2 2

(2) 过点 B(1,1) 能否作直线 l,使 l 与所给双曲线交于 Q1、Q2 两点,且点 B 是弦 Q1Q2 的中点?这样的直 线 l 如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.

2.设 b ? 0 , 椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1, 抛物线方程为 x2 ? 8( y ? b) . 过点 F (0,b ? 2) 作 x 轴的平行线, 2b 2 b 2

与抛物线在第一象限的交点为 G ,已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 F 1. (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 A,B 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点 P ,使得 △ ABP 为直角三 角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标) .

→ 3..已知平面上一定点 C (4, 0) 和一定直线 l : x ? 1 ,P 为该平面上一动点,作 PQ⊥l,垂足为 Q,且(PC → → → +2PQ)· (PC-2PQ)=0. (1)问点 P 在什么曲线上?并求出该曲线的方程; (2)设直线 y ? kx ? 1 与(1)中的曲线交于不同的两点 A,B,是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的 圆经过点 D(0, ?2) ?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由.

1

4..如图,已知椭圆的中心为原点 O,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M (2,1) ,平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0,-2<m<2). (1)求椭圆的方程. (2)求证:直线 l 与椭圆有两个交点. (3)设 l 交椭圆有两个交点为 A、B,直线 MA、MB 与 x 轴 围成的三角形是等腰三角形吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由.

x2 y2 + = 1 的左、右焦点. 5.设 F 1 、 F2 分别是椭圆 5 4 (1)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF 1 ? PF 2 的最大值和最小值; (2)是否存在过点 A(5, 0) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C、D,使得 F2C ? F2 D ?若存在,求直线
l 的方程;若不存在,请说明理由.

2

解析几何----存在性问题
1. 已知双曲线方程 2x2-y2=2. (1) 求以 A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程; (2) 过点 B(1,1)能否作直线 l,使 l 与所给双曲线交于 Q1、Q2 两点,且点 B 是弦 Q1Q2 的中点?这样的直 线 l 如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由. 解: (1)即设 A( 2,1) 的中点弦两端点为 P 则有关系 x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ? 2 . 又据对称性知 x1 ? x2 , 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) , 所以
y1 ? y2 2 2 2 2 是中点弦 P1P2 所在直线的斜率,由 P1 、 P2 在双曲线上,则有关系 2x1 ? y1 ? 2,2x2 ? y2 ? 2 .两式 x1 ? x2

相减是:
2( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0

∴ 2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 ) ? 0 ∴

y1 ? y2 ?4 x1 ? x2

所求中点弦所在直线为 y ? 1 ? 4( x ? 2) ,即 4 x ? y ? 7 ? 0 . (2)可假定直线 l 存在,而求出 l 的方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 方法同(1),联立方程 ?
? ?2 x 2 ? y 2 ? 2 ,消去 y,得 2 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ?2 x ? y ? 1 ? 0 ?

然而方程的判别式 ? ? (?4) 2 ? 4 ? 2 ? 3 ? ?8 ? 0 ,无实根,因此直线 l 与双曲线无交点,这一矛盾说明了满足 条件的直线 l 不存在.

x2 y2 2 设 b ? 0 ,椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 , 2b b
抛物线方程为 x2 ? 8( y ? b) .过点 F (0,b ? 2) 作 x 轴的平行线, 与抛物线在第一象限的交点为 G ,已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 F 1. (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 A,B 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点 P ,使得 △ ABP 为直角三 角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标) . 解析: (1)由 x ? 8( y ? b) 得 y ?
2

1 2 x ?b, 8 1 x , y ' |x ? 4 ? 1 , 4

当 y ? b ? 2 得 x ? ?4 ,? G 点的坐标为 (4, b ? 2) , y ' ?

过点 G 的切线方程为 y ? (b ? 2) ? x ? 4 即 y ? x ? b ? 2 , 令 y ? 0 得 x ? 2 ? b ,? F 1 点的坐标为 (2 ? b, 0) ,由椭圆方程得 F 1 点的坐标为 (b, 0) ,

? 2 ? b ? b 即 b ? 1,
即椭圆和抛物线的方程分别为

x2 ? y 2 ? 1和 x2 ? 8( y ? 1) ; 2

(2)? 过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P ,? 以 ?PAB 为直角的 Rt ?ABP 只有一个,同理? 以 ?PBA 为直角的 Rt ?ABP 只有一个 若以 ?APB 为直角,设 P 点坐标为 ( x,

1 2 x ? 1) , 8
3

A 、 B 两点的坐标分别为 (? 2,0) 和 ( 2, 0) ,

??? ? ??? ? 1 1 4 5 2 PA?PB ? x 2 ? 2 ? ( x 2 ? 1) 2 ? x ? x ?1 ? 0 。 8 64 4
关于 x 的二次方程有一大于零的解,? x 有两解,即以 ?APB 为直角的 Rt ?ABP 有两个,因此抛物线
2

上存在四个点使得 ?ABP 为直角三角形。 点评:本题考查椭圆和抛物线方程的求法、抛物线的切线方程的求法 、存在性问题的解决方法、分析问 题解决问题的能力,是一道几乎网罗了平面解析几何的所有知识点并且和导数的应用交汇在一起的综合 性试题,是一道“在知识网络的交汇处”设计的典型试题。 易错指导:本题把抛物线和椭圆结合在一起,题目的条件里还有两条直线,考生在心理上畏惧,可能出 现的问题是思维混乱,理不清题目中错综复杂的关系,找不到正确的解题思路;在解决第二问时缺乏分 类讨论的思想意识产生漏解等 → 3.已知平面上一定点 C(4,0)和一定直线 l:x=1,P 为该平面上一动点,作 PQ⊥l,垂足为 Q,且(PC+ → → → 2PQ)· (PC-2PQ)=0. (1)问点 P 在什么曲线上?并求出该曲线的方程; (2)设直线 y=kx+1 与(1)中的曲线交于不同的两点 A,B,是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径 的圆经过点 D(0,-2)?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由. → → → → → → 解 (1)设点 P 的坐标为(x,y),由(PC+2PQ)· (PC-2PQ)=0,得|PC|2-4|PQ|2=0, ∴(x-4)2+y2-4(x-1)2=0. x2 y2 化简,得 - =1. 4 12 x2 y2 ∴P 点在双曲线上,其方程为 - =1. 4 12 (2)设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), y=kx+1, ? ?2 2 由?x y 得(3-k2)x2-2kx-13=0, ? 4 -12=1, ? ∴x1+x2= 2k 13 ,x x =- . 3-k2 1 2 3-k2

∵AB 与双曲线交于两点,∴Δ>0 且 3-k2≠0, 即 4k2-4(3-k2)(-13)>0 且 3-k2≠0. 解得- 13 13 <k< 且 k≠± 3. 2 2

∵若以 AB 为直径的圆过点 D(0,-2),则 AD⊥BD, ∴kAD· kBD=-1, 即 y1+2 y2+2 · =-1. x1 x2
4

∴(y1+2)(y2+2)+x1x2=0?(kx1+3)(kx2+3)+x1x2=0. 13 2k ∴(k2+1)x1x2+3k(x1+x2)+9=0?(k2+1)(- )+3k· 2+9=0. 3-k2 3-k 7 14 13 13 解得 k2= ,k=± ∈(- , ),且 k≠± 3. 8 4 2 2 故存在 k 值,所求 k 值为± 14 . 4 2 倍且经

4.如图,已知椭圆的中心为原点 O,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 过点 M(2,1), 平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0, -2<m<2). (1)求椭圆的方程. (2)求证:直线 l 与椭圆有两个交点.

(3)设 l 交椭圆有两个交点为 A、B,直线 MA、MB 与 x 轴围成的三角形是等腰三角形吗?如果是, 请证明;如果不是,请说明理由. x2 y2 (1)解 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b
2 ?a=2b, ? ? ?a =8, 则? 4 1 解得? 2 ?b =2. ? ?a2+b2=1, ?

x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 8 2 1 (2)证明 因为直线 l 平行于 OM,又 kOM= , 2 1 所以 l 的方程为 y= x+m, 2

?y=2x+m, 由? x y ? 8 + 2 =1
2 2

1

?x2+2mx+2m2-4=0,

所以 Δ=(2m)2-4(2m2-4)=-4(m2-4), 因为-2<m<2,m≠0,所以 Δ>0, 即直线 l 与椭圆有两个不同交点. (3)解 围成的三角形是等腰三角形,证明如下; 设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只要证明 k1+k2=0 即可. y1-1 y2-1 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 k1= ,k2= , x1-2 x2-2 由 x2+2mx+2m2-4=0, 可得 x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4. y1-1 y2-1 而 k1+k2= + x1-2 x2-2
5



?y1-1??x2-2?+?y2-1??x1-2? ?x1-2??x2-2?

1 1 ? x1+m-1??x2-2?+? x2+m-1??x1-2? 2 2 = ?x1-2??x2-2? = = x1x2+?m-2??x1+x2?-4?m-1? ?x1-2??x2-2? 2m2-4+?m-2??-2m?-4?m-1? =0, ?x1-2??x2-2?

所以 k1+k2=0. 故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 5.设 F 1 、 F2 分别是椭圆

x2 y2 + = 1 的左、右焦点. 5 4

(1)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF 1 ? PF 2 的最大值和最小值; (2)是否存在过点 A(5,0)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C、D,使得|F2C|=|F2D|?若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 解: (1)易知 a ? 5, b ? 2, c ? 1,? F1 ? (?1,0), F2 (1,0)
2 2 设 P(x,y) ,则 PF 1 ? PF 2 ? (?1 ? x,? y) ? (1 ? x,? y) ? x ? y ? 1

4 2 1 x ?1 ? x2 ? 3 5 5 ? x ? [? 5 , 5 ] , x2 ? 4 ?

?当x ? 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF 1 ? PF 2 有最小值 3;
当 x ? ? 5 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF 1 ? PF 2 有最大值 4 (2)假设存在满足条件的直线 l 易知点 A(5,0)在椭圆的外部,当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 与 椭圆无交点,所在直线 l 斜率存在,设为 k 直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 5)

? x2 y 2 ?1 ? ? 由方程组 ? 5 ,得(5k 2 ? 4) x 2 ? 50k 2 x ? 125k 2 ? 20 ? 0 4 ? y ? k ( x ? 5) ? 5 5 2 依题意 ? ? 20(16 ? 80k ) ? 0,得 ? ?k? 5 5 5 5 当? 时,设交点 C ( x1 , y1 )、D( x2 , y 2 ) ,CD 的中点为 R ( x0 , y0 ) , ?k? 5 5 x1 ? x2 50k 2 25k 2 , x ? ? 则 x1 ? x 2 ? 0 2 5k 2 ? 4 5k 2 ? 4
? y 0 ? k ( x0 ? 5) ? k ( 25k 2 ? 20k ? 5) ? 2 . 2 5k ? 4 5k ? 4

又|F2C|=|F2D| ? F2 R ? l ? k ? k F2 R ? ?1

6

? k ? k F2 R

∴20k2=20k2-4,而 20k2=20k2-4 不成立, 综上所述,不存在直线 l,使得|F2C|=|F2D|

20k ) 2 5k 2 ? 4 ? 20k ?k? ? ?1 25k 2 4 ? 20k 2 1? 2 5k ? 4 0 ? (?

所以不存在直线 l ,使得|F2C|=|F2D|

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