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《两角差的余弦公式》ppt课件


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§3.1.1两角差的余弦公式

问 题 探 究 一

不用查表和计算器,求 cos15 的值.
1. 15 °能否写成两个特殊角的和或差的形式? 2. cos15 ° =cos(45 °-30 °)=cos45 ° -cos30 ° 成立吗? 3. cos (45 ° -30 °)能

否用45 °和30 °的角的 三角 函数来表示?

0

cos(α -β )?cosα -cosβ 如何用任意角α 与β 的正弦、余弦来表示 cos(α -β )?

课题:两角差的余弦公式

独立思考以下问题:

问 题 探 究 二

? ? ? ? 若a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a? ? ____________ b
(2)单位圆上的点的坐标表示 ??? ? ??? ? OA 由图可知: ? (________________), OA ? ______ ??? ? ??? ? OB ? (________________), OB ? ______
y 1 α -β α β o B 1 A

? ? a? ? ______________ b

(1)向量的数量积

??? ??? ? ? OA? ? ___________________________ OB
-1

x

1

??? ? OA ? ? cosα ,sinα ?

??? ? OB ? ? cosβ ,sinβ ?
y

OA ? OB ? OA OB cos( ? ? ) ?
? cos( ? ? ) ?
∵ OA ? OB
A

1
α -β B β 1 x

α
-1 o

? cos? cos ? ? sin? sin ?
-1



cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ

有向线段分别表示:AP=sinβ
y

cosβ

OA=cosβ sinβ P
1

A
O

?

P x

证明一
y 1 P1

证明的前提: ?,?,?-?都是锐角,且 ?>?

A

?

sin

OM=OB+BM =OB+CP =OAcos?+APs in ? =cos?cos?+sin?s in?

?
P

cos ?

C

?

?

? ??
B

O

M

1

x

cos ? cos ?

+

sin ? sin ?

证明二(向量方法) ??? ? ??? ? OA ? ? cosα ,sinα ? , OB ? ? cosβ ,sinβ ?
??? ??? ? ? OA ? OB ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

y 1 A α -β α -1 o B

β
1 x

∴ cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ
推导的不严谨之处?
设OA与OB的夹角为? ,则
图(1)可知:

-1

? ? 2k? ? ? ? ?
图(2)可知:

? 终边 A

y
?
O

? ? 2k? ? ? ? ?
即? ? ? ? 2k? ? ?

? 终边 ? 终边 A B

y
?
O

? 终边 B

x

x

? cos ?? ? ? ? ? cos ?

? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

(1)

(2)

对于任意角

α , β

结 cos( -β ) ? cosα cosβ + sinα sinβ α 论 归 差角的余弦公式 ? ? C 纳
αβ

注意:1.公式的结构特点;
2.式子中α ,β 是任意的; 3.式子的逆用,变形用。

第一关
学 cos15 ? cos ? 60 ? 45 ? 以 cos 致 解: 15? ? cos(45? ? 30?) ? cos45? cos30? ? sin 45? sin 30? 用
? ? ?

例1、利用差角余弦公式求 ? ? ? 分析: cos15 ? cos ? 45 ? 30 ?

cos15 的值

?

2 3 2 1 ? ? ? ? ? 2 2 2 2

6? 4

2

第二关
若β 固定,分别用 π ,
?

π 代替α ,你将会发现什么结论呢? 2

(1) cos(? ? ? ) ? _________________________________ (2) cos( ? ? ) ? _________________________________ 2

第三关
(1) cos ? ? ) __________ ( ? 4 (2) cos ? ? ?) ____________ ( ? (3) cos(? ? ?) ? ? ? cos(_____)cos(_____)_____sin(_____)sin(_____) ? ? (4) cos(? ? ?) ? ? ?)? cos(_____)cos(_____)____sin(_____)sin(_____) ? ( ? ?

?

? 4 ,α∈( ,?),cosβ= 例2, 已知sinα= 2 5 第三象限角,求cos(α-β)的值。
4 ? 解:由sinα= 5 α∈( ,?),得 , 2

应用

5 , β是 13

3 ?4? cos? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 ?5?
2

2

所以cos(α-β)= cosβcosα+sinβsinα
33 ? 3 ? ? 5 ? 4 ? 12 ? ? ?? ???? ? ? ??? ? ? ? 65 ? 5 ? ? 13 ? 5 ? 13 ?

12 ? 5 ? sin ? ? ? 1 ? cos2 ? ? ? 1 ? ? ? ?? ? 13 ? 13 ?

- 5 ,β是第三象限的角,得 又由cosβ= 13

5 4 cos 已知α ,β 都是锐角, cosα = , ?α +β ? ? ? 13 5

拓展

求cosβ 的值
分析: cos ?

α 变角: β = ? +β ? ?α
? cos??? ? ? ? ? ? ?
? cos? ?βcosα? sin? ?βsinα α ? α ?
5 4 12 3 ?? ? ? ? 13 5 13 5
16 ? 65


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