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同余法解不定方程


同余法解不定方程
1.求证:方程 x 2 ? 2 xy2 ? 5z ? 3 ? 0 无整数解. 证明:由 x 2 ? 2 xy2 ? 5z ? 3 ? 0 得 ( x ? y 2 )2 ? y 4 ? 5z ? 3 . 由于 0 ? 0 (mod5) ; 0 ? 0 (mod5) ;
2 4

12 ? 1 (mod5) ; 14 ? 1

(mod5) ; 2 2 ? 4 (mod5) ; 24 ? 1 (mod5) ;

32 ? 4 (mod5) ; 34 ? 1 (mod5) ;
42 ? 1 (mod5) ; 44 ? 1 (mod5) .
因此,对任意的整数 y 都有 y 4 ? 5z ? 3 ? 2 或 3 (mod5) . 但,对任意的整数 x, y ,都有 ( x ? y 2 ) 2 ? 0 或 1或 4 (mod5) .故,原方程无整数解.
4 4 4 2.求证:方程 x1 ? x2 ? ? ? x14 ? 1999无整数解.

证明:由于对任意整数 k ,都有 (2k ? 1)4 ? 16k 2 (k ? 1)2 ? 8k (k ? 1) ? 1 ? 1 (mod16) ,
4 4 对任意整数 k ,都有 (2k ) ? 16k ? 0 (mod16) .

因此,对任意整数 x ,都有 x ? 0 或 1 (mod16) .
4

4 4 4 所以,对任意整数 x1 , x2 ,?, x14 ,都有 x1 ? x2 ? ? ? x14 ? 0,1,2,?,14 (mod16) .

但, 1999 ? 15 (mod16) .故,原方程无整数解. 3.求证:方程 x ? y ? z ? 2012无整数解.
3 3 3 3 3 证明:由于 (3k ) ? 9 ? (3k ) ? 0 (mod9) ;

(3k ? 1)3 ? 9 ? (3k 3 ? 3k 2 ? k ) ? 1 ? 1 (mod9) ; (3k ? 2)3 ? 9 ? (3k 3 ? 6k 2 ? 4k ) ? 8 ? ?1 (mod9) .
3 因此,对任意整数 x ,都有 x ? 0,1,?1 (mod9) .

3 3 3 所以,对任意整数 x, y , z ,都有 x ? y ? z ? 0,1,2,3,?1,?2,?3 (mod9) ,也即是对任意整数 x, y , z , 3 3 3 都有 x ? y ? z ? 0,1,2,3,6,7,8 (mod9) .但, 2012 ? 5 (mod9) .故,原方程无整数解.

第 1 页 共 4 页

4.求方程 3 ? 4 ? 5 的所有正整数解.
x y z

x y * 解:由 3 ? 4 ? 0 ? 1 ? 1 (mod3) 得 5z ? (?1) z ? 1 (mod3) ,故 z 为偶数,可设 z ? 2 m , m ? N .

由 5 ? 1 (mod4) 得 3x ? 4 y ? (?1) x ? 0 ? 1 (mod4) ,故 x 为偶数,可设 x ? 2n , n ? N .
z *

故可得 4 y ? (5m ? 3n )(5m ? 3n ) .

?5m ? 3n ? 2 ? 又由于 (5 ? 3 ,5 ? 3 ) ? (5 ? 3 ,2 ? 3 ) ? 2 ,因此有 ? m . ?5 ? 3n ? 2 2 y ?1 ?
m n m n m n n

从而有 3n ? 22 y ?2 ?1 ? (2 y ?1 ?1)(2 y ?1 ? 1) . 又由于 (2 y ?1 ?1,2 y ?1 ? 1) ? (2 y ?1 ? 1,2) ? 1 ,因此有 ? 所以,方程有唯一的正整数解 x ? 2 , y ? 2 , z ? 2 . 5.求方程 8 ? 15 ? 17 的所有正整数解.
x y z

? y ?1 ?2 ? 1 ? 1 .解得 y ? 2, n ? 1 . ?2 y ?1 ? 1 ? 3n ?

解一:由 17 ? 1 (mod4) 得 8x ? 15y ? 0 ? (?1) y ? 1 (mod4) ,故 y 为偶数,可设 y ? 2k , k ? N .
z *

由于 3 ? 3 (mod7) ; 3 ? 2 (mod7) ; 3 ? 6 (mod7) ;
1 2 3

34 ? 4 (mod7) ; 35 ? 5 (mod7) ; 36 ? 1 (mod7) ,
以及 8 ? 15 ? 2 (mod7) ,因此有 17 ? 3 ? 2 (mod7) .故 z ? 6n ? 2 , n ? N .
x y z z

故可得 8x ? (173n?1 ?15k )(173n?1 ? 15k ) . 又由于 (17
3n?1

?15 ,17
k
3 x ?2

3n?1

? 15 ) ? (17
k

3n?1

? 15 ,2 ?17
k

3n?1

?173n ?1 ? 15k ? 2 ? . ) ? 2 ,因此有 ? 3n ?1 ?17 ? 15k ? 23 x ?1 ?

从而有 15 ? 2
k

? 1 .又由于 15k ? 0 (mod3) ,因此可得 23 x ? 2 ? 1 (mod3) ,故 3 x ? 2 为偶数,于
*

是可设 3 x ? 2 ? 2m , m ? N .因此,有 15 ? 2
k m m m

3 x ?2

?1 ? 22m ?1 ? (2m ?1)(2m ? 1) .

?2 m ? 1 ? 1 ?2 m ? 1 ? 3k ? ? 又由于 (2 ?1,2 ? 1) ? (2 ? 1,2) ? 1 ,因此有 ? m 或? m . k ?2 ? 1 ? 15 ?2 ? 1 ? 5 k ? ? ?2 m ? 1 ? 1 ?2 m ? 1 ? 3k ? ? 而? m 无整数解,且由 ? m 解得 m ? 2, k ? 1 . k ?2 ? 1 ? 15 ?2 ? 1 ? 5 k ? ?
所以,方程有唯一的正整数解 x ? 2 , y ? 2 , z ? 2 .

第 2 页 共 4 页

解二:由 17 ? 1 (mod4) 得 8x ? 15y ? 0 ? (?1) y ? 1 (mod4) ,故 y 为偶数,可设 y ? 2n , n ? N .
z *

由 17 ? 1 (mod16) 得 8 ? 15 ? 8 ? 225 ? 8 ? 1 (mod16) ,故 x ? 2 .
z

x

y

x

n

x

从而有 8 ? 15 ? 0 ? 225 ? 0 ? 1 ? 1 (mod32) .
x y n

而 17

2k

? 289k ? 1 (mod16) , 172 k ?1 ? 17 ? 289k ? 17 (mod16) ,故 z 为偶数,设 z ? 2m , m ? N * .

所以有 8x ? (17m ?15n )(17m ? 15n ) .

?17m ? 15n ? 2 ? 又由于 (17 ?15 ,17 ? 15 ) ? (17 ? 15 ,2 ?17 ) ? 2 ,因此有 ? m . ?17 ? 15n ? 23 x ?1 ?
m n m n m n m

从而有 15 ? 2
n

3 x ?2

? 1 .又由 15n ? 0 (mod3) 可得 23 x ? 2 ? 1 (mod3) ,故 3 x ? 2 为偶数,于是可设

3x ? 2 ? 2k , k ? N * .因此,有 15n ? 23x?2 ?1 ? 22k ?1 ? (2k ?1)(2k ? 1) .

?2 k ? 1 ? 1 ?2 k ? 1 ? 3 n ? ? 又由于 (2 ?1,2 ? 1) ? (2 ? 1,2) ? 1 ,因此有 ? k 或? k . n ?2 ? 1 ? 15 ?2 ? 1 ? 5 n ? ?
k k k

?2 k ? 1 ? 1 ?2 k ? 1 ? 3 n ? ? 而? k 无整数解,且由 ? k 解得 k ? 2, n ? 1. n ?2 ? 1 ? 15 ?2 ? 1 ? 5 n ? ?
所以,方程有唯一的正整数解 x ? 2 , y ? 2 , z ? 2 . 6.求方程 3 ? 5 ? z 的所有正整数解.
x y 2

解:由题意易得 z 为偶数,故有 3x ? 5 y ? (?1) x ? 1 ? 0 (mod4) ,从而有 x 为偶数,可设 x ? 2n , n ? N .
*

所以有 5 y ? (3n ? z )(3n ? z ) . 由 z 为偶数知 3 ? z 与 3 ? z 均为奇数;由 3 ? 5 不是 3 的倍数知 z 不是 3 的倍数.
n n x y

所以有 (3 ? z,3 ? z) ? (2 ? 3 ,3 ? z) ? 1 ,故 ?
n n n n

? n ?3 ? z ? 1 ?3 ? z ? 5 ?
n y

,从而有 5 ? 1 ? 2 ? 3 .
y n

显然,当 n ? 1 时,可得原方程有解 x ? 2 , y ? 1 , z ? 2 .以下证明当 n ? 2 时,原方程无整数解: 由于 n ? 2 ,因此有 2 ? 3 ? 0 (mod9) ,故可得 5 ? 8 (mod9) .
n
y

由于 5 ? 5 (mod9) ; 5 ? 7 (mod9) ; 5 ? 8 (mod9) ;
1 2 3

54 ? 4 (mod9) ; 55 ? 2 (mod9) ; 56 ? 1 (mod9) ,
因此有 y ? 6k ? 3 , k ? N ,即 5 ? 1 ? 125
y 2 k ?1

? 1 .故 126| (1252k ?1 ? 1) ,从而可得 7 | (1252k ?1 ? 1) .

第 3 页 共 4 页

但, 2 ? 3 不能被 7 整除.故当 n ? 2 时,原方程无整数解.
n

综上可知,原方程有唯一正整数解 x ? 2 , y ? 1 , z ? 2 . 7.求方程 2 ? 3 ? 1 ? 5 的所有正整数解.
x y z x y * 解:由 2 ? 3 ? 1 ? 0 ? 1 ? 1 (mod3) 可得 5z ? (?1) z ? 1 (mod3) ,故 z 为偶数,可设 z ? 2 m , m ? N .

所以有 2 x ? 3 y ? (5m ? 1)(5m ? 1) .又由于 (5m ?1,5m ? 1) ? (5m ? 1,2) ? 2 ,因此有以下四种情况:

?5m ? 1 ? 2 ?5m ? 1 ? 2 x ?1 ? 3 y ?5 m ? 1 ? 2 x ?1 ?5 m ? 1 ? 2 ? 3 y ? ? ? ? (1) ? m ;(2) ? m ;(3) ? m ;(4) ? m . x ?1 y y ?5 ? 1 ? 2 ? 3 ?5 ? 1 ? 2 ?5 ? 1 ? 2 ? 3 ?5 ? 1 ? 2 x ?1 ? ? ? ?
显然,情况(1),(2)均无正整数解. 对情况(3),消 m 得 3 ? 2
y x?2

? 1 .当 x ? 3 时,原方程有解 x ? 3 , y ? 1 , z ? 1 ;以下证明当 x ? 4 时,方

程3 ?2
y

x?2

? 1 无正整数解,从而知原方程在当 x ? 4 时无正整数解.
*

由于 x ? 4 ,因此有 3 y ? 2 x?2 ? (?1) y ? 1 (mod4) ,故 y 为偶数,可设 y ? 2n , n ? N . 从而有 2 x?2 ? (3n ?1)(3n ? 1) . 又由 (3 ?1,3 ? 1) ? (3 ? 1,2) ? 2 得 ?
n n n

?3n ? 1 ? 2 ?n ? 1 ? m x ?1 ,解得 ? ,但 5 ? 1 ? 2 ? 16 无整数解. n x ?3 ?3 ? 1 ? 2 ?x ? 5 ?

所以,对于情况(3),原方程有唯一正整数解 x ? 3 , y ? 1 , z ? 1 . 对情况(4),消 m 得 2
x ?2

? 3 y ? 1 .由 2 x?2 ? 3 y ? (?1) x ? 1 (mod3) 知 x 为偶数,可设 x ? 2k , n ? N * .

从而有 3y ? (2k ?1 ?1)(2k ?1 ? 1) . 又由 (2
k ?1

?2 k ?1 ? 1 ? 1 ?k ? 2 ? m y ,故 ? ,但 5 ? 1 ? 2 ? 3 ? 18 无整数解. ?1,2k ?1 ? 1) ? (2k ?1 ? 1,2) ? 1 得 ? k ?1 y ?1 ?2 ? 1 ? 3 ?y ? 2 ?

所以,对于情况(4),原方程无正整数解. 综上可知,原方程有唯一正整数解 x ? 3 , y ? 1 , z ? 1 . 巩固练习:1.求证:方程 x ? 4 ? y 无整数解.
2 5

2.求方程 x ? 615 ? 2 的所有正整数解.
2 y

3.求所有的正整数 x, y ,使得 3 ? 7 是完全平方数.
x y

陕西师大附中 王全
第 4 页 共 4 页

wangquan1978@126.com


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