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河北省衡水市普通高中2012届高三上学期期末质量检测数学(理)试题


河北衡水市普通高中 2011—2012 学年度高三年级教学质量监测

数 学 试 题(理)
第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.复数

1+ i i ? 的共轭复数是 1? i 2 1 i B. A. ? 2 2

( C. ?



i 2

D.

1 2

2.设全集 U 是实数集 R , M = {x | x 2 > 4}, N = {x | x ≥ 3或x < 1} ,都是 U 的子集,则图中阴影部分所表 示的集 合是 A. {x | ?2 ≤ x < 1} C. {x |1 < x ≤ 2} B. {x | ?2 ≤ x ≤ 2} D. {x | x < 2} ) ( )

3.已知等差数列 {an } 的公差为 d ( d ≠ 0) ,且 a2 + a3 + a13 + a14 = 32 ,若 am = 8 ,则 m 为( A.12 B.8 C.6 D.4 (

4.已知向量 a = (3, 4), b = (2, ?1) ,如果向量 a + xb与 ? b 垂直,则 x 的值为 A. ?



2 5

B.

23 3

C.

3 23

D. 2

5.如图是一个算法的程序框图,当输入的 x 值为 3 时,输出 y 的结果恰好是 以是 A. y = x 3 B. y = 3? x C. y = 3x

1 ,则空白框处的关系式可 3
( )
1

D. y = x 3

6.一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如上图所示,则该几何体的体积为 A.





2π 3

B. π

4 3

C. 2π

D.

8π 3
( )

7.已知抛物线 x 2 = ay ( a > 0) 的焦点恰好为双曲线 y 2 ? x 2 = 8 的焦点,则 a=
第 1 页 共 14 页

A.1

B.4

C.8
2

D.16

8.已知 m 是两个正数 2,8 的等比中项,则圆锥曲线 x +

y2 = 1 的离心率是 m
D.





A.

3 5 或 2 2

B.

3 2

C. 5

3 或 5 2

9.如图,一只蚂蚁在边长分别为 3,4,5 的三角形区域内的随机爬行,则其恰在离三个顶点距离都大于 1 的地方的概率为 ( ) A.

π
12

B. 1 ?

π
3

C. 1 ?

π
6

D. 1 ?

π π
6
个单位,所得函数 ( )

10.将函数 y = sin(4 x +

π
3

12

) 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移

图像的一个对称中心是 A. ?

?π ? ,0? ?6 ?
2

B. ?

?π ? ,0? ?3 ?

C. ?

?π ? ,0? ?2 ?

D. ?

?π ? ,0? ?4 ?

11.设 F1,F2 是双曲线 x ?

y2 = 1 的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点 P,使 OP + OF2 ? F2 P = 0 , 4
( C.2 D.3 )

(

)

且 | PF2 |= λ | PF1 | ,则 λ 的值为 A.

1 3

B.

1 2


12.以下正确命题的个数为( ①命题“存在 x0 ∈ R, 2
1 x0

x ≤ 0 ”的否定是: “不存在 x0 ∈ R, 2 0 > 0 ” ;

②函数 f ( x ) = x 3 ? ( ) 的零点在区间 ( , ) 内
x

1 4

1 1 4 3

③某班男生 20 人,女生 30 人,从中抽取 10 个人的样本,恰好抽到 4 个男生、6 个女生,则该抽样中 女生被抽到的概率大于男生被抽到的概率; ④ (1 ? A.1

x )8 展开式中不含 x 4 项的系数的和为 1。
B.2 C.3 D.4

第 II 卷(共 90 分,答案写在答题纸相应位置)
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考 生根据要求做答。 二、填空题 : (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸中横线上) 13.若



a

1

1 (2 x + )dx = 3 + ln 2 ,则 a 的值是 x

。 。

14.等比数列 {an } 中, a1 = 1, a8 = 2, 函数 f ( x ) = x ( x ? a1 )( x ? a2 ) ? ( x ? a8 ) ,则 f '(0) =

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15.当对数函数 y = log a x( a > 0且a ≠ 1) 的图象至少经过区域

? ? ?x ? y ≥ 0 ? ? ? M = ?( x, y ) ? x + y ? 8 ≤ 0 ( x, y ∈ R) ? 内的一个点时,实数 as 的取值范围为 ? ? ? ?y ?3 ≥ 0 ? ?
球面面积的



16.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上,若圆锥底面面积是这个

3 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 16



三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 是锐角三角形,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,并且

cos 2 A = cos 2 B ? sin( + B ) cos( + B ). 3 6
(1)求角 A 的值; (2)若 ?ABC 的面积为 6 3 ,求边 a 的最小值。 18. (本小题满分 12 分) 衡水某房地产公司售楼部,对最近 100 位采用分期付款的购房者进行统计,统计结果如下表所示: 付款方式 频数 分1期 40 分2期 20 分3期 a 分4期 10 分5期 b

π

π

已知分 3 期付款的频率为 0.2,售楼部销售一套某户型的住房,顾客分 1 期付款,其利润为 10 万元; 分 2 期、3 期付款其利润都为 15 万元;分 4 期、5 期付款其利润都为 20 万元。用η 表示销售一套该 户型住房的利润。 (1)求上表中 a,b 的值; (2)若以频率分为概率,求事件 A: “购买该户型住房的 3 位顾客中,至多有 1 位采用分 3 期付款” 的概率 P(A) ; (3)若以频率作为概率,求 η 的分布列及数学期望 Eη .

19. (本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P—ABCD 中,侧棱 PA ⊥ 平面 ABCD,底面 ABCD 是平行四边形,PB=PC,AB=1,

BC = 2 ,E,F 分别是 BC,PC 的中点。
(1)求证: AC ⊥ 平面 PAB; (2)当平面 PDC 与底面 ABCD 所成二面角为

π
3

时,求二面角 F—AE—C 的余弦值。

2 0. (本小题满分 12 分) 请考生注意:重点高中学生只做(1)(2)两问,一般高中学生只做(1)(3)两问。 、 、 ..... ,直线 m 分别与线段 F1P、F2P 已知 P 是圆 F1 : ( x + 1) + y = 16 上任意一点,点 F2 的坐标为(1,0)
2 2

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交于 M、N 两点,且 MN =

1 ( MF2 + MP ),| NM + F2 P |=| NM ? F2 P | . 2

(1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)斜率为 k 的直线 l 与曲线 C 交于 P、Q 两点,若 OP ? OQ = 0 (O 为坐标原点) 。试求直线 l 在 y 轴上截距的取值范围; (3)是否存在斜率为

1 的直线 l 与曲线 C 交于 P、Q 两点,使 得 OP ? OQ = 0 (O 为坐标原点) ,若存 2

在求出直线 l 的方程,否则说明理由。

21. (本小题满分 12 分)请考生注意:重点高中学生做(2) 。一般高中学生只做(1) 。 (3) (2) ..... 已知函数 f ( x ) = (1 ? a ) x ? ln x ?

[来源:Zxxk.Com]

a ? 1(a ∈ R ) x

(1)若曲线 y = f ( x) 在 x=1和 x=3 处的切线互相平行,求 a 的值; (2)当 a > 0 时,讨论 f ( x ) 的单调性; (3)当 a =

3 时,设 g ( x) = x 2 ? bx + 1 ,若对任意 x1 ∈ ( 0, 2] ,都存在 x2 ∈ ( 0, 2] ,都存在 x2 ∈ [1, 2] 4

使 f ( x1 ) ≤ g ( x2 ) ,求实数 b 的取值范围。

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, ∠BAC = 90° ,直线 l 与以 AB 为直径的圆相切于点 B,点 E 是圆上异于 A、B 的任意一点,直 线 AE 与 l 相交于 D 点。 (1)如果 AD=10,AB=8,求 DE 的长; (2)连接 CE,过点 E 作 CE 的垂线交线段 AB 于点 F,求证:

AC AB = . BF BD

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点, 轴的正半轴为极轴, 立极坐标系。 建 且两个坐标系取相等的单位长度。
[来源:Z_xx_k.Com]

已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 α =

π
6

;圆的极坐标方程 ρ = 2 cos θ + 6sin θ

(1)写出直线 l 的参数方程;将圆的极坐标方程化成直角坐标方程; (2)设 l 与圆相交于 A、B 两点,求弦 AB 的长。

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) =| 2 x + 1|, g ( x) =| x | + a ? 1
[来源:学科网]

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(1)当 a=1,解不等式 f ( x ) ≥ g ( x); (2)若存在 x ∈ R ,使得 f ( x ) ≤ g ( x) 成立,求实数 a 的取值范围。

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