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第3章 不等式 §3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 §3.3.2 简单的线性规划问题(二)


§ 3.3.2

简单的线性规划问题(二) 对点讲练

一、实际应用中的最优解问题 例 1 某家具厂有方木料 90 m3,五合板 600 m2,准备加工成书桌和书橱出售.已知生 产每张书桌需要方木料 0.1 m3, 五合板 2 m2, 生产每个书橱需要方木料 0.2 m3, 五合板 1 m2, 出售一张方桌可获利润 80 元,出售一个书橱可获利润 120 元. (1)如果只安排生产书桌,可获利润多少? (2)如果只安排生产书橱,可获利润多少? (3)怎样安排生产可使所得利润最大? 解 由题意可画表格如下: 方木料(m3) 五合板(m2) 利润(元) 0.1 2 80 书桌(个) 0.2 1 120 书橱(个) 0.1x≤90 ? ? (1)设只生产书桌 x 个,可获得利润 z 元,则?2x≤600 ? ?z=80x
?x≤900 ? ?? ?x≤300. ? ?x≤300

所以当 x=300 时,zmax=80×300=24 000(元), 即如果只安排生产书桌,最多可生产 300 张书桌,获得利润 24 000 元. 0.2y≤90 ? ? y≤600 (2)设只生产书橱 y 个,可获利润 z 元,则?1· ? ?z=120y
? ?y≤450 ?? ?y≤450. ?y≤600 ?

所以当 y=450 时,zmax=120×450=54 000(元), 即如果只安排生产书橱,最多可生产 450 个书橱,获得利润 54 000 元. 0.1x+0.2y≤90 ? ?2x+y≤600 元,则? x≥0 ? ?y≥0

(3) 设 生 产 书 桌 x 张 , 书 橱 y 个 , 利 润 总 额 为 z

?

x+2y≤900, ? ?2x+y≤600, ?x≥0, ? ?y≥0. z=80x+120y. 在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域,即可行域.

作直线 l:80x+120y=0,即直线 l:2x+3y=0. 把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直线经过可行域上的点 M,此时 z=80x+120y 取 得最大值. 由?

? x ? 2 y ? 900, 解得点 M 的坐标为(100,400). ?2 x ? y ? 600,

所以当 x=100,y=400 时, zmax=80×100+120×400=56 000(元). 因此,生产书桌 100 张、书橱 400 个,可使所得利润最大. 总结 利用图解法解决线性规划实际问题,要注意合理利用表格,处理繁杂的数据;另 一方面约束条件要注意实际问题的要求,如果要求整点,则用逐步平移法验证. ?变式训练 1 某工厂有甲、乙两种产品,按计划每天各生产不少于 15 吨,已知生产 甲产品 1 吨需煤 9 吨, 电力 4 千瓦, 劳动力 3 个(按工作日计算); 生产乙产品 1 吨需煤 4 吨, 电力 5 千瓦,劳动力 10 个;甲产品每吨价 7 万元,乙产品每吨价 12 万元;但每天用煤量不 得超过 300 吨, 电力不得超过 200 千瓦, 劳动力只有 300 个, 当每天生产甲产品 吨, 乙产品 吨时,既能保证完成生产任务,又能使工厂每天的利润最大. 答案 20 24 解析

设每天生产甲产品 x 吨,乙产品 y 吨,总利润为 S 万元, 依题意约束条件为:

?9 x ? 4 y ? 300, ?4 x ? 5 y ? 200, ? ? ?3x ? 10 y ? 300, ? x ? 15, ? ? ? y ? 15,
目标函数为 S=7x+12y 从图中可以看出,当直线 S=7x+12y 经过点 A 时,直线的纵截距最大,所以 S 也取最 大值. ? ?4x+5y-200=0 解方程组? ?3x+10y-300=0 ? 得 A(20,24),故当 x=20,y=24 时,Smax=7×20+12×24=428(万元) 二、实际应用中的最优整数解问题 例 2 要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规 格的小钢板的块数如下表所示: 规模类型 A 规格 B 规格 C 规格 钢板类型 2 1 1 第一种钢板 1 2 3 第二种钢板 今需要 A、B、C 三种规格的成品分别为 15、18、27 块,问各截这两种钢板多少张可得 所需三种规格成品,且使所用钢板张数最少? 分析 解决简单线性规划应用题的关键是:(1)找出线性约束条件和目标函数;(2)准确 画出可行域;(3)利用几何意义,求出最优解.



设需截第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张.

?2 x ? y ? 15, ? x ? 2 y ? 18, ? ? ? x ? 3 y ? 27, ? ? x ? 0, y ? 0
作出可行域(如图):(阴影部分) 目标函数为 z=x+y 作出一组平行直线 x+y=t ,其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线,经过直线 x+3y=27 和直线 2x+y=15 的交点 A ? ,直线方程为 x+y=

? 18 39 ? , ? ?5 5?

57 18 39 .由于 和 都不是整数,而最优解(x,y)中,x,y 必须都是整数, 5 5 5

所以可行域内点 ?

? 18 39 ? , ? 不是最优解.经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是 ?5 5?

x+y=12,经过的整点是 B(3,9)和 C(4,8),它们都是最优解. 答 要截得所需三种规格的钢板, 且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种: 第一种 截法是截第一种钢板 3 张、第二种钢板 9 张;第二种截法是截第一种钢板 4 张、第二种钢板 8 张.两种方法都最少要截两种钢板共 12 张. 总结 在实际应用问题中,有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根 据约束条件得到的不一定是整数解, 可以运用枚举法验证求最优整数解, 或者运用平移直线 求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个,很可能是许多个,应具体情况具体分析. ?变式训练 2 某公司招收男职员 x 名,女职员 y 名,x 和 y 需满足约束条件

?5 x ? 11 y ? ?22, ? ?2 x ? 3 y ? 9, ?2 x ? 11, ?
则 z=10x+10y 的最大值是________. 答案 90 解析

该不等式组表示平面区域如图阴影所示,由于 x,y∈N*,计算区域内与点 ? 最近的整点为(5,4),当 x=5,y=4 时,z 取得最大值为 90.

? 11 9 ? , ? ? 2 2?

课堂小结: 1.解答线性规划的实际应用问题应注意的问题: (1)在线性规划问题的应用中,常常是题中的条件较多,因此认真审题非常重要; (2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断; (3)结合实际问题,未知数 x、y 等是否有限制,如 x、y 为正整数、非负数等; (4)图对解决线性规划问题至关重要,关键步骤基本上是在图上完成的,所以作图应尽 可能准确,图上操作尽可能规范. 2.当可行域的边界顶点不是整点(横纵坐标均为整数),则它不是最优整数解,此时必 须在可行域内该点的附近调整为整点.常用调整方法有: (1)平移直线法:先在可行域内打网格,再描整点,平移直线 l,最先经过或最后经过的 整点坐标是最优整数解. (2)检验优值法:当可行域内整点个数较少时,也可将整点坐标逐一代入目标函数求值, 经比较得出最优解. (3)调整优值法:先求非整点最优解及最优值,再借助不定方程知识调整最优值,最后 筛选出最优整数解.

课时作业
一、选择题 1.某厂生产甲产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 a1、b1 千克,生产乙产品每千克 需用原料 A 和原料 B 分别为 a2、b2 千克,甲、乙产品每千克可获利润分别为 d1、d2 元.月 初一次性购进本月用的原料 A、B 各 c1、c2 千克,要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千 克才能使月利润总额达到最大.在这个问题中,设全月生产甲、乙两种产品分别为 x 千克、 y 千克,月利润总额为 z 元,那么,用于求使总利润 z=d1x+d2y 最大的数学模型中,约束条 件为( )

a x+a y≥c , ? ?b x+b y≥c , A.? x≥0, ? ?y≥0
1 1 2 2 1 2

a x+b y≤c , ? ?a x+b y≤c , B.? x≥0, ? ?y≥0
1 2 1 2 1 2

a x+a y≤c , ? ?b x+b y≤c , C.? x≥0, ? ?y≥0
1 1 2 2 1 2

a x+a y=c , ? ?b x+b y=c , D.? x≥0, ? ?y≥0
1 1 2 2 1 2

答案 C 解析 比较选项可知 C 正确. 2.

如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界),若使目标函数 z=ax+y (a>0)取 得最大值的最优解有无穷多个,则 a 的值为( ) 1 3 A. B. 4 5

C.4 答案 B

5 D. 3

3 3 解析 由 y=-ax+z 知当-a=kAC 时,最优解有无穷多个.∵kAC=- ,∴a= . 5 5 3.某公司有 60 万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对 2 项目乙投资的 倍, 且对每个项目的投资不能低于 5 万元, 对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 3 万元的利润,对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润,该公司正确规划投资后,在这 两个项目上共可获得的最大利润为( ) A.36 万元 B.31.2 万元 C.30.4 万元 D.24 万元 答案 B 解析 设投资甲项目 x 万元,投资乙项目 y 万元,

? x ? y ? 60, ? 2 ? ? x ? y, 可获得利润为 z 万元,则 ? z=0.4x+0.6y. 2 ? x ? 5, ? ? ? y ? 5,
由图象知,目标函数 z=0.4x+0.6y 在 A 点取得最大值. ∴ymax=0.4×24+0.6×36=31.2(万元). 4.如图所示,目标函数 z=kx-y 的可行域为四边形 OABC,仅点 B(3,2)是目标函数的 最优解,则 k 的取值范围为( )

A. ?

?2 ? ,2? ?3 ?

5? B.? ?1,3? 4 -3,- ? D.? 3? ?

2 -2,- ? C.? 3? ?

答案 C 解析 y=kx-z.若 k>0,则目标函数的最优解是点 A(4,0)或点 C(0,4),不符合题意. 2 ∴k<0,∵只有点(3,2)是目标函数的最优解.∴kAB<k<kBC,即-2<k<- . 3 二、填空题 5.(2009· 山东)某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知 设备甲每天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类

产品 50 件,B 类产品 140 件,所需租赁费最少为________元. 答案 2 300 5x+6y≥50, ? ?10x+20y≥140, 设需租赁甲种设备 x 台,乙种设备 y 台,则? x∈N , ? ?y∈N .
* *

解析

目标函数为 z=200x+300y. 作出其可行域,易知当 x=4,y=5 时,z=200x+300y 有最小值 2 300 元. 6.已知平面区域 D 由以 A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成.若在 区域 D 上有无穷多个点(x,y)可使目标函数 z=x+my 取得最小值,则 m=________. 答案 1

解析 如图所示,目标函数可化为 y ? ?

1 z x? , m m

若 m>0,则 z 的最小值对应截距的最小值,可知 m=1,满足题意; 若 m<0,则 z 的最小值对应截距的最大值,m=-1 及-2 均不合题意. 三、解答题 7.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别 为 100%和 50%,可能的最大亏损率分别为 30%和 10%,投资人计划投资金额不超过 10 万 元, 要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元, 问投资人对甲、 乙两个项目各投资多少万元, 才能使可能的盈利最大? 解 设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目,由题意知 x+y≤10, ? ?0.3x+0.1y≤1.8, ?x≥0, ? ?y≥0. 目标函数 z=x+0.5y.

上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即可行域. 作直线 l0:x+0.5y=0,并作平行于直线 l0 的一组直线 x+0.5y=z,z∈R,与可行域相交, 其中有一条直线经过可行域上的 M 点,且与直线 x+0.5y=0 的距离最大,这里 M 点是直线 x+y=10 和 0.3x+0.1y=1.8 的交点.

解方程组 ?

? x ? y ? 10, 得 x=4,y=6,此时 z=1×4+0.5×6=7(万元). ?0.3x ? 0.1y ? 1.8,

∵7>0,∴当 x=4,y=6 时,z 取得最大值. 答 投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过 1.8 万元 的前提下,使可能的盈利最大. 8.两类药片有效成分如下表所示,若要求至少提供 12 毫克阿司匹林,70 毫克小苏打, 28 毫克可待因,问两类药片最小总数是多少?怎样搭配价格最低? 成分 阿司匹林 小苏打 可待因 每片价格(元) 种类 2 5 1 0.1 A(毫克/片) 1 7 6 0.2 B(毫克/片) 2x+y≥12 ? ?5x+7y≥70 设 A,B 两种药品分别为 x 片和 y 片,则有? x+6y≥28 ? ?x≥0,y≥0





两类药片的总数为 z=x+y,两类药片的价格和为 k=0.1x+0.2y. 如图所示,作直线 l:x+y=0, 将直线 l 向右上方平移至 l1 位置时,直线经过可行域上一点 A,且与原点最近. 解方程组 ?

?2 x ? y ? 12, ? 14 80 ? , 得交点 A 坐标 ? , ? 由于 A 不是整点, 因此不是 z 的最优解, ?9 9? ?5 x ? 7 y ? 70,

结合图形可知, 经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是 x+y=11, 经过的整点是(1,10), (2,9),(3,8),因此 z 的最小值为 11.药片最小总数为 11 片.同理可得,当 x=3,y=8 时,k 取最小值 1.9, 因此当 A 类药品 3 片、B 类药品 8 片时,药品价格最低.


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