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徐州市2014-2015学年高二上学期期末抽测数学文科试题


徐州 2014~2015 学年度第一学期期末抽测

高二年级数学(文)试题

注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页包含填空题(第 1 题——第 14 题) 、解答题(第 15 题——第 20 题) .本卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟.考试结束后请将答题卡交回. 2.答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的 规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效.作答必须用 0.5 毫 米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整笔迹清楚. 4.如需作图须用 2B 铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗. 5.请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.

参考公式:锥体的体积公式: V锥 体 ?

1 Sh, 其中 S 是锥体的底面积,h 是高. 3

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位 ...... 置上 . .. 1.直线 3 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角 ? ? 2.命题“ ?x ? R, x 2 ? 1 ? 0 ”的否定为 ▲ ▲ . . .

3.正三棱锥的底面边长为 2,高为 1,则此三棱锥的体积为 ▲

4.在平面直角坐标系 xOy 中,焦点为 ( ?2,0) 的抛物线的标准方程为 ▲ .

5.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程为 4 9





6.若直线 l1 : x ? y ? 2 ? 0 与直线 l 2 : ax ? y ? 7 ? 0 平行,则 a ?
2 2 2 2





7. 圆 C1 : x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 与圆 C 2 : x ? y ? 6 x ? 2 y ? 6 ? 0 的公切线有且 只有 ▲ 条.

8.已知 ? , ? , ? 是不同的平面, m , n 是不同的直线,给出下列 4 个命题: ①若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? // ? ; ②若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? ? ? ;

③若 m ? ? , ? ? ? , 则 m // ? ;④若 m ? ? , n ? ? , 则 m // n. 则其中真命题的个数为 ▲ 9.函数 f ( x ) ? 个. ▲ .

sin x , 则 f ' (0) 的值为 2 ? cos x

10.已知点 M (5,?1), 则它关于直线 l : x ? y ? 6 ? 0 的对称点的坐标为 ▲



x2 y2 11.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,点 A 为右顶点,点 B 为上顶点,坐标原点 O 到直 a b
线 AB 的距离为

30 ,则椭圆的离心率 e 为 c (其中 c 为半焦距) 5





12.若直线 y ? kx 是曲线 y ? x 3 ? x 2 ? x 的切线,则 k 的值为





13 .已知关于 x 的不等式 x 2 ? 2 ? x ? m 至少有一个负数解,则实数 m 的最小值为 ▲ .

14.在周长为 6 的△ ABO 中, ?ABO ? 60?, 点 P 在边 AB 上, PH ? OA 于 H (点 H

在边 OA 上) ,且 PH ?

3 7 , OP ? , 则边 OA 的长为 2 2





二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 设 p : 实数 x 满足 x ? 2 或 x > 3 ; q : 实数 x 满足 a < x < 3a ,其中 a > 0 . (1)若 a = 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 ?p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

16.(本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, E , F 分别是 A1 B, A1C 的中点,点 D 在 B1 C 1 上

A1 D ? B1C . 求证:
(1) EF // 平面 ABC ; (2)平面 A1CD ? 平面 BB1C1C .

A1
D

C1

B1
E A B F

C

17. (本小题满分 14 分) △ ABC 的三个顶点分别为 A(1,0) , B(1,4), C ( 3,2) ,直线 l 经过点 D(0,4). (1) 证明:△ ABC 是等腰三角形; (2) 求△ ABC 外接圆 M 的方程; (3) 若直线 l 与圆 M 相交于 P , Q 两点,且 PQ ? 2 3 , 求直线 l 的方程.

18. (本小题满分 16 分) 如图,在半径为 3 m 的

1 圆形( O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料 OABC , 其中点 B 在 4

圆弧上, 点 A, C 在两半径上, 现将此矩形铝皮 OABC 卷成一个以 AB 为母线的圆柱形罐子 的侧面(不计剪裁和拼接损耗) ,设矩形的边长 AB ? xm , 圆柱的体积为 Vm . (1) 写出体积 V 关于 x 的函数关系式,并指出定义域; (2) 当 x 为何值时,才能使做出的圆柱形罐子体积 V 最 大?最大体积是多少?
3

C

B

O
(第 18 题图)

A

19. (本小题满分 16 分) 如图,已知椭圆 C :

x2 y2 4 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右准线 l 的方程为 x ? , 焦距为 2 3 . 2 3 a b

(1) 求椭圆 C 的方程; (2) 过定点 B(1,0) 作直线 l 与椭圆 C 交于点 P , Q (异面椭圆 C 的左、右顶点 A1 , A2 ) 两点,设直线 PA1 与直线 QA2 相交于点 M . ① 若 M (4,2), 试求点 P , Q 的坐标; ② 求证:点 M 始终在一条直线上.

y P

M

A1

O

B

A2
Q

x

第 19 题图

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? ( x ? 1)e x ? kx2 (k ? R), g( x ) ? a ln x(a ? R) (1) 当 a ? 1 时,求 y ? xg( x ) 的单调区间; (2) 若对 ?x ? [1, e ] ,都有 g( x ) ? ? x 2 ? (a ? 2) x 成立,求 a 的取值范围; (3) 当 k ? ( ,1] 时,求 f ( x ) 在 [0, k ] 上的最大值.

3 4

2014—2015 学年度第一学期期末抽测

高二数学(文)试题参考答案
一、填空题: 1. 60 ? 2. ?x ? R , x 2 ? 1 ? 0 3.

3 3 3 3

4. y 2 ? ?8 x

5. y ? ? x

3 2

6. ?1

7.3

8.1

9.1 10. (7,1)

11.

12. 1 或

3 4

13. ?

9 4

14.

5? 7 3

二、解答题: 二、解答题: 15.⑴当 a ? 1 时,不等式 a ? x ? 3a 为 1 ? x ? 3 , 即 q 为真时,实数 x 的范围是 1 ? x ? 3 ,????????????????????2 分

? x ≤ 2, 或x ? 3, 若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真,所以 ? ?1 ? x ? 3,

??????????????5 分

即 1 ? x ≤ 2 ,所以实数 x 的范围是 1 ? x ≤ 2 .????????????????7 分 ⑵ ? p : 2 ? x ≤ 3 ,???????????????????????????9 分

?a ≤ 2, 又 q : a ? x ? 3a ,由 ? p 是 q 的充分不必要条件,有 2,3? ? ??12 分 ? ? a,3a ? ,即 ? ?3a ? 3,
得 1 ? a ≤ 2 .所以实数 a 的取值范围为 (1, 2] .????????????????14 分 16.⑴因为 E , F 分别是 A1 B, A1C 的中点,所以 EF ? BC ,???????????2 分 因为 EF ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC , 所以 EF ? 平面 ABC .???????7 分 ⑵因为三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,所以 BB1 ? 平面 A1 B1C1 , 因为 A1 D ? 平面 A1 B1C1 ,所以 BB1 ? A1 D .?????????????????10 分 又因为 A1 D ? B1C , BB1 ? B1C ? B1 , BB1 , B1C ? 平面 BB1C1C ,所以 A1 D ? 平面 BB1C1C . 因为 A1 D ? 平面 A1CD ,所以平面 A1CD ? 平面 BB1C1C .???????????14 分 17.⑴因为 A(1,0) , B(1, 4) , C (3, 2) ,所以 k AC ? 1 , kBC ? ?1 , 所以 CA ? CB ,又 CA ? CB ? 2 2 ,所以 △ ABC 是等腰直角三角形, ………………3 分 ⑵由⑴可知, ? M 的圆心是 AB 的中点,所以 M (1, 2) ,半径为 2 , 所以 ? M 的方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 .………………………………………………6 分 ⑶因为圆的半径为 2 ,当直线截圆的弦长为 2 3 时, 圆心到直线的距离为 22 ?

?

? 3?

2

? 1 .……………………………………………………8 分

①当直线 l 与 x 轴垂直时, l 方程为 x ? 0 ,与圆心 M (1, 2) 的距离为 1 ,满足条件; 10 分 ②当直线 l 的斜率存在时,设 l : y ? kx ? 4 , 因为圆心到直线 y ? kx ? 4 的距离为

k?2
2

3 ? 1 ,解得 k ? ? , 4 k ?1

此时直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 16 ? 0 . 综上可知,直线 l 的方程为 x ? 0 或 3x ? 4 y ? 16 ? 0 .…………………………………14 分 18. ⑴连结 OB , 因为 AB ? x , 所以 OA ? 9 ? x2 , 设圆柱底面半径为 r , 则 9 ? x2 ? 2?r , 即 4?2 r 2 ? 9 ? x 2 ,所以 V ? ?r 2 x ? ? ? ⑵由 V ? ?

9 ? x2 9 x ? x3 ? x ? ,其中 0 ? x ? 3 .?????6 分 4? 2 4?

9 ? 3x 2 ? 0 及 0 ? x ? 3 ,得 x ? 3 ,?????????????????8 分 4?

列表如下:

x

? 0, 3 ?
+
?

3
0

?
3 3 ??

3,3

?
????????????????12 分

V?
V

?
?

极大值

所以当 x ? 3 时, V 有极大值,也是最大值为

3 3 . ??

答:当 x 为 3 m 时,做出的圆柱形罐子体积最大,最大体积是

3 3 3 m .?????16 分 ??

? a2 4 3 , ? ? 3 ?c x2 ?a ? 2, ? 19.⑴由 ? 2c ? 2 3, 得 ? 所以椭圆 C 的方程为 ? y 2 ? 1 .???????2 分 4 ?b ? 1. ? 2 2 2 a ? b ? c ? ? ?
⑵①因为 A1 ? ?2,0 ? ,A2 ? 2,0? ,M ? 4,2? , 所以 MA1 的方程为 y ? ( x ? 2) , 代入 x2 ? 4 y 2 ? 4 ,

1 3

4 1 x2 ? 4 + 4[ ( x ? 2)]2 ? 0 ,即 ( x + 2)[( x ? 2) + ( x + 2)] ? 0 , 9 3 10 12 10 12 因为 xA1 ? ?2 ,所以 xP ? ,则 yP ? ,所以点 P 的坐标为 ( , ) .?????6 分 13 13 13 13 6 4 同理可得点 Q 的坐标为 ( , ? ) .??????????????????????8 分 5 5
②设点 M ? x0 , y0 ? ,由题意, x0 ? ?2 .因为 A1 ? ?2,0 ? , A2 ? 2,0? , 所以直线 MA1 的方程为

y?

y0 y ( x ? 2) ,代入 x2 ? 4 y 2 ? 4 ,得 x 2 ? 4 + 4[ 0 ( x ? 2)]2 ? 0 , x0 ? 2 x0 ? 2
2 4 y0 ( x + 2)] ? 0 ,因为 xA1 ? ?2 , ( x0 ? 2)2

即 ( x + 2)[( x ? 2) +

2 8 y0 4( x0 ? 2) y0 ( x0 ? 2) 2 4( x0 + 2) 2 所 以 xP ? ,故点 P 的坐标为 ? ? 2 , 则 yP ? 2 2 2 ( x0 ? 2) 2 ? 4 y0 2 4 y0 ( x0 + 2) + 4 y0 1+ ( x0 ? 2) 2

2?

(

4( x0 + 2)2 4( x0 ? 2) y0 ?2, ) .????????????????????10 分 2 2 ( x0 + 2) + 4 y0 ( x0 ? 2) 2 ? 4 y0 2

同理可得点 Q 的坐标为 (

?4( x0 - 2)2 ?4( x0 ? 2) y0 ?2, ) .?????????12 分 2 2 ( x0 - 2) + 4 y0 ( x0 ? 2) 2 ? 4 y0 2
yQ yP . ? xP ? 1 xQ ? 1

因为 P , Q , B 三点共线,所以 kPB ? kQB ,
4( x0 ? 2) y0 ( x0 ? 2) 2 ? 4 y0 2

?4( x0 ? 2) y0 2 2 ( x0 ? 2) y0 ?( x0 ? 2) y0 ( x 0 ? 2) ? 4 y0 所以 ,即 , ? ? 2 2 2 2 ( x ? 2) ? 12 y ? 3( x0 ? 2)2 ? 4 y0 2 ?4( x0 ? 2) 0 0 4 ? x0 + 2 ? ? 2 ?1 ? 2 ?1 2 ( x0 ? 2) 2 ? 4 y0 2 ? x0 + 2 ? + 4 y02

由题意, y0 ? 0 ,所以

x0 ? 2 x0 ? 2 . ? ( x0 ? 2) 2 ? 12 y0 2 3( x0 ? 2) 2 ? 4 y0 2

即 3( x0 ? 2)( x0 ? 2)2 ? 4( x0 ? 2) y02 ? ( x0 ? 2)( x0 ? 2)2 ? 12( x0 ? 2) y0 2 . 所以 ( x0 ? 4)(

x0 2 x2 x2 ? y0 2 ? 1) ? 0 ,则 x0 ? 4 ? 0 或 0 ? y0 2 ? 1 .若 0 ? y0 2 ? 1 ,则点 M 在椭 4 4 4

圆上, P , Q , M 为同一点,不合题意.故 x0 ? 4 ,即点 M 始终在定直线 x ? 4 上.?16 分 20.⑴ a ? 1 时, y ? x ln x , y? ? ln x ? 1 ,令 y ? ? 0 ,得 ln x ? ?1 ,解得 x ?

1 . e

所以函数 y ? x ln x 的单调增区间为 ( , ??) .???????????????????2 分 ⑵由题意 a ln x ≥ ? x2 ? (a ? 2) x 对 1 ≤ x ≤ e 恒成立,因为 1 ≤ x ≤ e 时, x ? ln x ? 0 , 所 以a≤

1 e

( x ? 1) ? x ? 2(1 ? ln x)? x2 ? 2 x x2 ? 2x 对 1 ≤ x ≤ e 恒成立. 记 h( x ) ? , 因为 h?( x) ? ≥0 x ? ln x x ? ln x ( x ? ln x)2

对 1 ≤ x ≤ e 恒成立,当且仅当 x ? 1 时 h? ? x ? ? 0 ,所以 h( x) 在 ?1,e? 上是增函数, 所以 ?h( x)?min ? h(1) ? ?1 ,因此 a ≤ ?1 .????????????????????6 分 ⑶ 因为 f ?( x) ? e x ? ( x ?1)e x ? 2 kx ? x(e x ? 2 k) ,由 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ln 2k 或 x ? 0 (舍) . 可证 ln x ≤ x ? 1 对任意 x ? 0 恒成立,所以 ln 2k ≤ 2k ? 1 , 因为 k ≤ 1 ,所以 2k ? 1 ≤ k ,由于等号不能同时成立,所以 ln 2k ? k ,于是 0 ? ln 2k ? k . 当 0 ? x ? ln 2k 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (0,ln 2k ) 上是单调减函数; 当 ln(2k ) ? x ? k 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (ln 2k , k ) 上是单调增函数. 所以 ? f ( x)?max ? max ? f (0), f (k )? ? max ?1,(k ? 1)ek ? k 3 , ????????????8 分 记 p( x) ? ( x ?1)e x ? x3 ? 1, 0 ≤ x ≤ 1 ,以下证明当 0 ≤ x ≤ 1 时, p( x) ≥ 0 .

?

?

p?( x) ? xe x ? 3x2 ? x(e x ? 3x) ,记 r ( x) ? e x ? 3x , r ?( x) ? e x ? 3 ? 0 对 0 ? x ? 1 恒成立,
所 以 r ( x) 在 ?0,1? 上 单 调 减 函 数 , r (0) ? 1 ? 0 , r (1) ? ?2 ? 0 , 所 以 ?x0 ? ( 0 , 1) ,使

e x0 ? 3x0 ? 0,
当 0 ? x ? x0 时, p?( x) ? 0 , p( x) 在 (0, x0 ) 上是单调增函数;当 x0 ? x ? 1 时, p?( x) ? 0 ,
p( x) 在 ( x0 ,1) 上是单调减函数.又 p(0) ? p(1) ? 0 ,所以 p( x) ≥ 0 对 0 ? x ≤ 1 恒成立,
即 ( x ? 1)e x ? x3 ≥ ?1 对 0 ? x ≤ 1 恒成立,所以 ? f ( x)?max ? (k ? 1)ek ? k 3 .??????16 分


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