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高中数学2-4-1抛物线及其标准方程


2.4

抛物线

2.4.1 抛物线及其标准方程
【课标要求】 掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 1.
会求简单的抛物线的方程. 2. 【核心扫描】 1. 抛物线的定义及其标准方程的求法.(重点) 抛物线定义及方程的应用.(难点) 2.

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自学导引
1.抛物线的定义 距离相等 平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)_________的 焦点 点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的_____,直线l叫做 准线 抛物线的_____ . 试一试:在抛物线定义中,若去掉条件“l不经过点F”,点的 轨迹还是抛物线吗? 提示 当直线l经过点F时,点的轨迹是过定点F且垂直于定 直线l的一条直线;l不经过点F时,点的轨迹是抛物线.
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2.抛物线标准方程的几种形式

图形

标准方程
y2=2px(p>0) ___________

焦点坐标
p ( ,0) 2 ______ p (- ,0) 2 _______ p (0, ) ______ 2 p (0,- ) 2 _______
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准线方程
p x=- 2 _______ p x= 2 _____ p y=- _______ 2
p y= 2 _____
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_____________

y2=-2px(p>0)

____________

x2=2py(p>0)

x2=-2py(p>0) _____________

想一想:已知抛物线的标准方程,怎样确定抛物线的焦点
位置和开口方向? 提示 一次项变量为x(或y),则焦点在x轴(或y轴)上;若

系数为正则焦点在正半轴上;系数为负,则焦点在负半轴
上.焦点确定,开口方向也随之确定.

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名师点睛
1.抛物线定义的理解

(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”,一个动
点,设为M;一个定点F即抛物线的焦点;一条定直线l即 抛物线的准线;一个定值即点M与点F的距离和它到直线l 的距离之比等于1. (2)在抛物线的定义中,定点F不能在直线l上,否则,动点 M的轨迹就不是抛物线,而是过点F垂直于直线l的一条直 线.如到点F(1,0)与到直线l:x+y-1=0的距离相等的 点的轨迹方程为x-y-1=0,轨迹为过点F且与直线l垂直

的一条直线.
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2.抛物线标准方程的特点
四种抛物线及其标准方程的共同特点是:(1)原点在抛物线上; (2)对称轴为坐标轴;(3)p 为大于 0 的常数,其几何意义表示焦 点到准线的距离;(4)准线与对称轴垂直,垂足与焦点关于原点 2p p 对称;(5)焦点、准线到原点的距离都等于 = . 4 2
抛物线的焦点坐标、准线方程以及开口方向取决于抛物线的标 准方程形式, 规律是: 焦点决定于一次项, 开口决定于正负号, 即标准方程中,如果含的是 x 的一次项,则焦点就在 x 轴上, p p p p 并且焦点的横坐标为 (或- ), 相应的准线是 x=- (或 x= ), 2 2 2 2 如果含的是 y 的一次项,有类似的结论.

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题型一

求抛物线的标准方程

【例1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点为(-2,0); (2)准线为y=-1; (3)过点A(2,3);
5 (4)焦点到准线的距离为 . 2

[思路探索] 式求抛物线方程要先确定其类型,并设出标

准方程,再根据已知求出系数p.若类型不能确定,应分类
讨论.
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(1)由于焦点在 x 轴负轴, 的半上且

p =2, 2

∴p=4, ∴抛线准程 物标方为

y2=-8x. p (2)∵焦点在 y 轴半上且 正轴, =1, 2

∴p=2, ∴抛物线标准方程为x2=4y. (3)由题意,抛物线方程可设为y2=mx(m≠0)或x2= ny(n≠0), 将点A(2,3)的坐标代入,得 32=m· 2=n· 2或2 3, 9 4 ∴m= 或 n= . 2 3
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9 4 2 ∴所求的抛物线方程为 y = x 或 x = y. 2 3 5 5 (4)由焦点到准线的距离为 ,可知 p= . 2 2 ∴所求抛物线方程为 y2=5x 或 y2=-5x 或 x2=5y 或 x2=-5y.
2

规律方法 求抛物线方程,通常用待定系数法,若能确定 抛物线的焦点位置,则可设出抛物线的标准方程,求出p 值即可.若抛物线的焦点位置不确定,则要分情况讨

论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2=ax(a≠0),焦点
在y轴上的抛物线方程可设为x2=ay(a≠0).
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【变式1】 根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)经过点(-3,-1);

(2)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.
解 (1)∵点(-3,-1)在第三象限, ∴设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2= -2py(p>0).
若抛物线的标准方程为 y2=-2px,则由(-1)2=-2p×(-3), 1 解得 p= ;若抛物线的标准方程为 x2=-2py, 6 9 2 则由(-3) =-2p×(-1),解得 p= . 2 1 2 ∴所求抛物线的标准方程为 y =- x 或 x2=-9y. 3
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(2)对于直线方程 3x-4y-12=0,令 x=0,得 y=-3; 令 y=0,得 x=4, ∴抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0). p 当焦点为(0,-3)时, =3, 2 ∴p=6,此时抛物线的标准方程为 x2=-12y; p 当焦点为(4,0)时, =4, 2 ∴p=8,此时抛物线的标准方程为 y2=16x. ∴所求抛物线的标准方程 x2=-12y 或 y2=16x.

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题型二

抛物线定义的应用

【例2】 如图,已知抛物线y2=2x的焦点是 F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3, 2),求|PA|+|PF|的最小值,并求此时P点 坐标. [思路探索] 解题的关键是利用抛物线的定义得到|PA|+ |PF|=|PA|+|PQ|,由图可知当A、P、Q三点共线时取最小 值. 解 如图,作PQ⊥l于Q,由定义知,抛物线上点P到焦点

F的距离等于点P到准线l的距离d,由图可知,求|PA|+
|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|+d的最小值的问题.
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将 x=3 代入抛物线方程 y2=2x,得 y=± 6. ∵ 6>2,∴A 在抛物线内部. 1 设抛物线上点 P 到准线 l: x=- 的距离为 d, 由定义知|PA|+|PF| 2 7 =|PA|+d.由图可知, PA⊥l 时, 当 |PA|+d 最小, 最小值为 .即|PA| 2 7 +|PF|的最小值为 ,此时 P 点纵坐标为 2,代入 y2=2x,得 x= 2 2. ∴点 P 坐标为(2,2).

规律方法 抛物线的定义在解题中的作用,就是灵活地进行抛 物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化,另外要注意 平面几何知识的应用,如两点之间线段最短,三角形中三边

间的不等关系,点与直线上点的连线垂线段最短等.
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【变式2】 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点 A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 (
17 A. 2 C. 5 B.2 9 D. 2

).

解析 如图,由抛物线定义知 |PA|+|PQ|=|PA|+|PF|,

则所求距离之和的最小值转化
为求|PA|+|PF|的最小值, 则当A、P、F三点共线时,|PA| +|PF|取得最小值.
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1 又 A(0,2),F( ,0), 2 ∴(|PA|+|PF|)min=|AF| 1 2 17 2 = (0- ) +(2-0) = . 2 2

答案

A

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题型三

抛物线的实际应用

【例3】 (12分)一辆卡车高3 m,宽1.6 m,欲通过断面为抛物

线型的隧道,已知拱口宽恰好是拱高的4倍,若拱口宽为
a m,求使卡车通过的a的最小整数值. 审题指导 本题主要考查抛物线知识的实际应用.解答本 题首先建系,转化成抛物线的问题,再利用解抛物线的问 题解决.
[规范解答] 以隧道顶点为原点,拱高所 在直线为 y 轴建立直线坐标系,则点 B a a 的坐标为( ,- ),如图所示. 3分 2 4 设隧道所在抛物线方程为 x2=my,
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a2 a 则( ) =m· ),∴m=-a. (- 2 4 即抛物线方程为 x2=-ay. 将(0.8,y)代入抛物线方程,得 0.82=-ay, 0.82 即 y=- . a a a 0.82 欲使卡车通过隧道,应有 y-(- )>3,即 - >3. 4 4 a ∵a>0,∴a>12.21. ∴a 应取 13.

6分

8分

10 分 12 分

【题后反思】 在建立抛物线的标准方程时,常以抛物线 的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立坐标系,这 样可使得标准方程不仅具有对称性,而且曲线过原点,方

程不含常数项,形式更为简单,便于应用.
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【变式3】 某河上有一座抛物线形的拱桥,当水面距拱顶5米 时,水面宽8米,一木船宽4米,高2米,载货的木船露在 水面上的部分为0.75米,当水面上涨到与拱顶相距多少 时,木船开始不能通航? 解 以桥的拱顶为坐标原点,拱高所在 的直线为y轴建立直角坐标系.(如图)

设抛物线的方程是
x2=-2py(p>0) 由题意知A(4,-5)在抛物线上,

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8 故:16=-2p×(-5)?p= , 5 16 2 则抛物线的方程是 x =- y(-4≤x≤4), 5 设水面上涨, 木船面两侧与抛物线形拱桥接触于 B、 B′时, 木船开始不能通航. 设 B(2,y′), 16 5 5 ∴22=- y′?y′=- .∴ +0.75=2. 5 4 4 故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距 2 米时,木船开始 不能通航.

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方法技巧

数形结合思想在抛物线中的应用

在讨论直线与圆锥曲线位置关系、求最值等问题时, 运用数形结合的思想,能化难为易,化抽象为具体,使问

题迅速获解. 【示例】 已知AB为抛物线y=x2上的动弦,且|AB|=a(a为常数
且a≥1),求弦AB的中点M离x轴的最近距离. [思路分析] 由抛物线的定义:抛物线上的点到焦点的距离 等于到准线的距离,再结合图象,运用三角形两边之和大 于第三边来求解.

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如图所示,设A,M,B点的纵坐标

分别为y1,y2,y3,A,M,B三点在抛物 线准线上的射影分别为A′,M′,B′.

由抛物线的定义, 1 |AF|=|AA′|=y1+ , 4 1 |BF|=|BB′|=y3+ . 4 1 1 ∴y1=|AF|- ,y3=|BF|- . 4 4 又 M 是线段 AB 的中点, 1 1 1 ∴y2= (y1+y3)= (|AF|+|BF|- ) 2 2 2 1 1 1 ≥ ×(|AB|- )= (2a-1). 2 2 4
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等号成立的条件是A,F,B三点共线,即AB为焦点弦. 又|AB|=a≥1,所以AB可以取为焦点弦,即等号可以成立,
1 所以中点 M 到 x 轴的最近距离为 (2a-1). 4

方法点评 在抛物线中的最值、定值问题中,很多利用抛物 线的定义来解决,一是要将问题首先转化成几何知识,二

是注意挖掘题目中隐含条件,还要注重数形结合的应用.

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