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2012学年第一学期期末三校联考


2012 学年第一学期期末三校联考 高二理科数学试卷
试卷总分:120 分 考试时间:100 分钟

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求) 1、若直线经过 A(1,0) 、 B(2, 3 ) 两点,则直线 AB 的倾斜角是( ▲ ) A.135° B.120° C. 60° D. 45°

2、已知 a ? (2, 4, ?5) , b ? (3, x, y) ,若 a / / b ,则 x ? y ? ( ▲ ) A. ?9 B.

?

?

?

?

?

3 2

C. ?3

D. ?

9 2

3、如果 ac ? 0 , bc ? 0 ,那么直线 ax ? by ? c ? 0 不通过( ▲ ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

4、圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1和圆 x 2 ? y 2 ? 6 y ? 5 ? 0 的位置关系为( ▲ ) A.相交 5、已知椭圆 B. 内切 C. 外切 D. 外离

1 x2 y2 ? ? 1 的焦点在 y 轴上,离心率为 ,则 m 的值为( ▲ ) 2 2 m
B.

A.

3 2

8 3

C.

2 2 3

D.

3 8 或 2 3

6、已知直线 l , m, 平面? , ? , 且l ? ? , m ? ? ,给出下列四个命题: ①若 ? // ? , 则l ? m; ②若 l ? m, 则? // ? ; ③若 ? ? ? , 则l // m; ④若 l // m, 则? ? ? . 其中正确的命题是( ▲ ) A.①④ B. ②④

C.①③④

D.①②④

7、已知点 A, B 的坐标分别是 (?1, 0), (1, 0) ,直线 AM , BM 相交于点 M ,且直线 AM 与直线

BM 的斜率之差是 2 ,则点 M 的轨迹方程是( ▲ )
A. x ? ?( y ? 1)
2

B. xy ? x ? 1
2

C. x ? ?( y ?1)( x ? ?1)
2

D. xy ? x ?1( x ? ?1)
2

E 是侧面 BB1CC1 8、在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,底面是正三角形,侧棱 AA 1 ? 底面 ABC ,点
的中心,若 AA1 ? 3 AB ,则直线 AE 与平面 BB1CC1 所成角的大小为( ▲ ) A. 30 ? B. 45 ? C. 60 ? D. 90 ?

x2 y 2 9、已知 F1 , F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的 a b

直线与双曲线交于 A , B 两点,若△ ABF2 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是 ( ▲ ) A. 1 ? 2, ??

?

?

B. 1,1 ? 2

?

?

C. 1, 3

?

?

D.

?

3,3 2
S

?

10、 正四棱锥(底面为正方形,顶点在底面上的射影是底面 的中心) S ? ABCD 的底面边长为 2,高为 2, E 为边 BC 的 中点,动点 P 在表面上运动,并且总保持 PE ? AC ,则动点 P 的轨迹的周长为( ▲ ) A. 2 B. 2 ? 3 C.3 2 D. 2 ? 6
D

C E

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11、以点 (?2,3) 为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 ▲

A

B



12、如图是某几何体的三视图,其中正视图、俯视图的长均 为 4,宽分别为 2 与 3,侧视图是等腰三角形,则该几何体 的体积是 ▲ . 13、 已知直线 ax ? y ? 2 ? 0 与双曲线 x ?
2

正视图

侧视图

y2 4

? 1 的一条渐近线
俯视图

平行,则这两条平行直线之间的距离是



.[ ▲ .

14、将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角,则折起后 ?ADC 的大小为 15、以下四个关于圆锥曲线的命题中:

x2 y 2 x2 y 2 ? 1 有相同的焦点; ? ? 1 与 椭圆 ? 49 24 16 9 ②在平面 内, 设 A 、 B 为两个定点, P 为动点,且 PA ? PB ? k ,其中常数 k 为正实数,则 动点 P 的轨迹为椭圆;[学 2 ③方程 2 x ? 3x ? 1 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
①双曲线 ④过双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A、B 两点, 若 AB ? 4 , 则这样的 2

直线 l 有且仅有 3 条。 其中真命题的序号为
2



(写出所有真命题的序号) . ▲ .

y2 ? 1 ,则 2 x ? y 的最大值为 16、实数 x, y 满足 x ? 4

三、简答题(本大题共 5 小题,共 56 分.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤) 17、 (本题 10 分)已知直线 l1 : 2 x ? y ? 5 ? 0, l 2 : x ? 2 y ? 0 (1)求直线 l1 和直线 l 2 交点 P 的坐标;

(2)若直线 l 经过点 P 且在两坐标轴上的截距相等,求直线 l 的方程。

18、 (本题 10 分)三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABC , AC ? BC ,

AC ? 3, BC ? 4, AA1 ? 4 ,
(1)求异面直线 AB 与 B1C 所成角的余弦值; (2)求证: 面ACB1 ? 面ABC1

C1 A1

B1

C B A

19、 (本题 11 分)已知圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 4 ,过原点 O 的直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两
2 2

点 (1) 若弦 AB 的长为 2 2 ,求直线 l 的方程; (2)求证: OA ? OB 为定值。

20、 (本题 12 分)如图, PO ? 平面 ABCD ,点 O 在 AB 上, EA ∥ PO ,四边形 ABCD 为直 角梯形, BC ? AB , BC ? CD ? BO ? PO ? 2 , EA ? AO ? 1 (1) 求证: PE ? 平面 PBC ; (2) 求二面角 D ? EB ? A 的余弦值; (3) 直线 PE 上是否存在点 M ,使 DM ∥平面 PBC ,若存在,求出点 M ;若不存在,说 明理由。

P

E

A

O

B

D

C

x2 y2 21、 (本题 13 分)设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,上顶点 a b
为 A ,过点 A 与 AF2 垂直的直线交 x 轴负半轴于 Q 点,且 F1 是 QF2 的中点. (1) 求椭圆的离心率; (2) 若过点 A、Q、F2 的圆恰好与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程; (3) 在(2)的条件下过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆相交于 M、N 两点,在 x 轴上 是否存在点 P(m,0) 使得以 PM 、PN 为邻边的平行四边形为菱形, 如果存在, 求出 m 的取值范围,如果不存在,说明理由。

y
A

. Q

F1

F2

x

2012 学年第一学期期末三校联考
………线……………………………………

高二理科数学

答题卷

※※※※※※※※※※※※※※※※

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

座位号

答案

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.将答案填在相应的横线上. 11、 14、 ; 12、 ; 15、 ; ; 13、 16、 ; ;

三、解答题:本大题共 5 小题,共 56 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、 (本题 10 分)

18、 (本题 10 分)

C1 A1

B1

C B A

19、 (本题 11 分)

20、 (本题 12 分)

P

E

A

O

B

D

C

21、 (本题 13 分)

y
A

. Q

F1

F2

x

2012 学年第一学期期末三校联考 高二理科数学参考答案及评分标准
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分. ) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案

C

B

C

D

B

A

C

A

B

D

二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分. ) 11、 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 14、 60 ? 12、 12 13、

2 5 5



15、①④

16、 2 2

三、简答题(本大题共 5 小题,共 56 分) 17、 (1) P(2,1) (2) x ? y ? 3 ? 0 或 y ? 2 x ………5 分 ………10 分

18、 (1)

2 2 5

………5 分 ………10 分

(2)略 19、 (1)设直线方程 y ? kx ,所以 ( 解得 k ? 1或k ? ?7 所以直线方程为 y ? x或y ? ?7 x

k ?3 1? k
2

) 2 ? ( 2 ) 2 ? 4 ,………3 分

……………………………5 分

(2)当 k 不存在时,直线为 x ? 0 ,此时 OA ? OB ? 6 ……6 分 当 k 存在时,设直线 y ? kx , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,

? y ? kx 消 y 得 (1 ? k 2 ) x 2 ? (6k ? 2) x ? 6 ? 0 ,……7 分 ? 2 2 ?( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 4

OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k 2 x1 x2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2
x1 x 2 ? 6 1? k 2
所以 OA ? OB ? 6 ……………………………11 分
2

综上: OA ? OB ? 6

另 法 : ? O、A、B 三 点 共 线 , ? OA ? OB ? OA ? OB ? OM ( = OC (OM 为切线长)
2

? r2 ? 6

20、四边形 OBCD 为正方形,所以 OD ? OB ,以 OD 为 x 轴,OB 为 y 轴,OP 为 z 轴 建立空间直角坐标系 …1 分 (1)略 …………4 分

(2)平面 ADE 的法向量为 n1 ?(0,0,1) ,平面 ABE 的法向量为 n2 ?(1,1,3) 解得二面角的余弦值为

11 11

……8 分

(4) 设 EM ? ? EP = (0, ? , ? ) ,则 DM ? (?2, ? ? 1, ? ? 1) 由 DM ? PE ? 0 ,解得 ? ? 0 21、 (1)由 AF1 ? ,存在 M 即为点 E ……12 分

1 1 QF 2 得 a ? 2c ,所以 e ? ……………………………3 分 2 2

( ? c,0) ,半径为 2c 所以 (2)由外接圆圆心

?c?3 2

? 2c ,解得 c ? 1

所以椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

……………………………6 分

(3) F2 (1,0) ,设直线 y ? k ( x ? 1) ,设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 )

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 联立 ? x 2 消 y 得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 y2 ?1 ? ? 3 ?4
8k 2 4k 2 ? 12 x1 ? x 2 ? , x1 x 2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
设 MN 的中点 S ( x0 , y0 ) , x0 ? ……………………………7 分

x1 ? x 2 3k 4k 2 ? , y 0 ? k ( x 0 ? 1) ? 2 3 ? 4k 2 2 3 ? 4k

3k 4k 2 ? ? 1 , 由题意, PS ? MN ,所以 3 ? (由已知 k ? 0 ) k 4k 2 ?m 3 ? 4k 2
化简得 m ?

k2 1 ? , 2 3 3 ? 4k ?4 k2
1 4 1 。 4

……………………………11 分

所以 0 ? m ?

所以存在满足题意的 P,且 0 ? m ?

……………………………13 分


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