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四川省乐山沫若中学2015-2016学年高二数学下学期第一次月考(期中)试题 文


四川省乐山沫若中学 2015-2016 学年高二数学下学期第一次月考 (期 中)试题 文
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.下列赋值语句错误的是( A.i=i-1
3

) -1 C.k=

B.x*y=a
2

>
k

D.m=m +1 )

2

2.已知 f(x)=ax +9x +6x-7,若 f ′(-1)=4,则 a 的值等于( A. 19 3
3 2

13 B. 3 )

10 C. 3

16 D. 3

3.函数 y=x -3x -9x(-2<x<2)有( A.极大值 5,无极小值 C.极大值 5,极小值-27

B.极大值 5,极小值- 11 D.极小值-27,无极大值 )

4.执行如图所示的程序框图,若输入 n=7,则输出的值为(

A.3 B.2 C.5 D.4 5.某全日制大学共有学生 5 600 人,其中专科生有 1 300 人、本科生有 3 000 人、研 究生有 1 300 人,现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况,抽取的 样本为 280 人,则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取( A.93 人,94 人,93 人 C.65 人,150 人,65 人 B.30 人,150 人,100 人 D.80 人,120 人,80 人 )

6.有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下: [11.5, 15.5) [27.5,31.5) 11 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18

[31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7

[39.5,43.5) 3 ) 1 D. 3
1

根据样本的频率分布估计,大于或等于 31.5 的数据约占( 2 A. 11 2 B. 3 1 C. 2

7.执行如图所示的程序框图,若输入的 a,b,k 分别为 1,2, 3,则输出的 M=( ) 20 3 15 8 16 5 7 D. 2

A.

B.

C.

8.甲、乙两名运动员在某项测试中的 6 次成绩的茎叶图如图所 示, x 1, x 2 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数,

s2 s2 1, 2分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差,则有(
A. x 1= x 2,s1<s2 B. x 1= x 2,s1>s2 C. x 1= x 2,s1=s2 D. x 1> x 2,s1<s2
2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

9. 已知 R 上可导函数 f(x)的图象如图所示, 则不等式(x -2x-3)f ′(x)>0 的解集为( A.(-∞,-2)∪(1,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,2) C.(-∞,-1)∪(-1,0)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞) 10.某车间为了规定工时定额,需确定加工零件所花费的时间,为 此进行了 5 次试验,收集数据如下: 加工零件数 x(个) 加工时间 y(分钟) 10 64 20 69 30 75 40 82 50 90

)

经检验,这组样本数据具有线性相关关系,那么对于加工零件的个数 x 与加工时间 y 这两个变 量,下列判断正确的是 ( ) B.成正相关,其回归直线经过点(30,76) D.成负相关,其回归直线经过点(30,75) 组 ) 距 为 5 将 数 据 分 组 成 A.成正相关,其回归直线经过点(30,75) C.成负相关,其回归直线经过点(30,76) 数 据 的 茎 叶 图 , 以

11.某教研机构随机抽取某校 20 个班级,调查各班关注汉字听写大赛的学生人数,根据所得 [0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直 方图如图所示,则原始茎叶图可能是 (

12. 已知定义域为 R 的奇函数 y=f(x)的导函数为 y=f′(x), 当 x≠0 时, f′(x)+

f ( x) >0, x
)

1 ?1? ? 1? ? 1? 则 a, 若 a= f ? ?, b=-2f(-2), c=?ln ?·f ?ln ?, b, c 的大小关系正确的是( 2 ?2? ? 2? ? 2?

2

A.a<b<c

B.a<c<b

C.b<c<a

D.c<a<b

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,将正确答案填在题中横线上) 13.执行下面的程序输出的结果是________. i=1 s=0 WHILE i<=4 s=s*2+1 i=i+1 WEND PRINT s END 13 题 14 题 14. 某校从参加高 一年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生, 将其数学成绩(均为整数) 分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如图所示的部分频率分布直方图.在 统计方法中,同一组数据常用该组区间的中 点值作为代表,观察图形的信息,据此估计 本次考试的平均分为________. 15.函数 f(x)=x +3ax +3[(a+2)x+1] 既有极大值 又有极小值, 则 a 的取值范围是 ________________. 16.如图 1 是某高三学生进入高中-二年 来的数学考试 成绩茎叶图,第 1 次到第 14 次的考试成绩依次记为 A1,A2,…,A14.如图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次 数的一个算法流程图.那么算法流程图输出的结果是 . 三、解答题(本大题 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题 10 分)某车站在春运期间为了了解旅客购票情况,随机抽样调查了 100 名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间 t(以下简称为购票用时, 单位为 min), 下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率分布直方图(如图所示). 分组 组距 频数 频率 一组 二组 三组 四组 五组 合计 0≤t<5 5≤t<10 10≤t<15 15≤t<20 20≤t≤25 0≤ t≤25 0 10 10 ① 30 100 0 0.10 ② 0.50 0.30 1.00
3 2

解答下列问题: (1)这次抽样的样本容量是多少? (2)在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图; (3)旅客购票用时的中位数为多少?
3

18.(本小题满分 12 分)执行如图所示的程序框图,如果输入的 t∈[-2,2],则输出的 S 的取 值范围为?

1 2 19.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)= x -ax+2lnx(a∈R) 2 在 x=1 时取得极值. (1) 求 a 的值; (2) 求函数 f(x)的单调区间.

20.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 3. (1)求曲线 y ? f ( x ) 在点 x ? 2 处的切线方程;
3 2

18 题

(2)若关于 x 的方程 f ? x ? ? m ? 0 有三个不同的实根,求实数 m 的取值范围. 21.(本小题满分 12 分)已知某池 塘养殖着鲤鱼和鲫鱼,为了估计这 两种鱼的数量,养殖者从池塘中捕 出这两种鱼各 1 000 条,给每条鱼 做上不影响其存活的标记,然后放 回池塘,待完全混合后,再每次从 池塘中随机地捕出 1 000 条鱼,记 录下其中有记号的鱼的数目,立即 放回池塘中. 这样的记录做了 10 次, 并将记录获取的数据制 作成如图的茎叶图. (1)根据茎叶图计算有记号的鲤鱼和鲫鱼数目的平均数,并估计池塘中的鲤鱼和鲫鱼的 数量; (2)为了估计池塘中鱼的总重量, 现按照(1)中的比例对 100 条鱼进行称重, 根据称重鱼 的重量介于[0,4.5](单位:千克)之间,将测量结果按如下方式分成九组:第一组[0,0.5), 第二组[0.5,1),…,第九组[4,4.5 ].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一 部分. ①估汁池塘中鱼的重量在 3 千克以上(含 3 千克)的条数; ②若第三组鱼的条数比第二组多 7 条、 第四组鱼的条数也比第三组多 7 条, 请将频率分 布直方图补充完整; ③在②的条件下估计池塘中鱼的重量的众数及池塘中鱼的总重量.

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=lnx- . (1)若 a>0,试判断 f(x)在定义域内的单调性; 3 (2)若 f(x)在[1,e]上的最小值为 ,求 a 的值; 2
4

a x

(3)若 f(x)<x 在(1,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围.

2

5

沫若中学高二下期半期考试数学(文科)答案 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. [答案] B[解析] 执行 i=i-1 后,i 的值比原来小 1,则 A 正确;执行 m=m +1 后,m 的值等于 -1 原来 m 的平方再加 1,则 D 正确;执行 k= 后,k 的值是原来的负倒数,则 C 正确;赋值号的左边只
2

k

能是一个变量,则 B 错误. 16 2 2.[答案] D [解析] ∵f ′(x)=3ax +18x+6,∴由 f ′(-1)=4 得,3a-18+6=4,即 a= . 3 3. [答案] A [解析] 由 y′=3x -6x-9=3(x+1)(x-3)=0, 得 x=-1, x=3,当 x<-1 时, y′>0; 当-1<x<2 时,y′<0,当 x=-1 时,y 极大值=5;∵3?(-2,2),∴无极小值. 4、 解析: 选 C. 依题意可知, k=1, n=13; k=2, n=25; k=3, n=49; k=4, n= 97; k=5, n=193>100, 满足条件.故输出 k 的值为 5. 280 1 1 1 5. [答案] C [解析] 抽样比为 = , 所以专科生应抽取 ×1 300=65(人), 本科生应抽取 × 5 600 20 20 20 1 3 000=150(人),研究生应抽取 ×1 300=65(人). 20 6.[答案] D [解析] 由题意知,样本的容量为 66,而落在[31.5,43.5)内的样本数为 12+7+3=22, 22 1 故大于或等于 31.5 的数据约占 = . 66 3 7. [答案] 1 3 3 B 解 析:选 B.当 n=1 时,M=1+ = ,a=2,b= ; 2 2 2
2

2 8 3 8 当 n=2 时,M=2+ = ,a= ,b= ; 3 3 2 3 3 3 15 8 15 当 n=3 时,M= + = ,a= ,b= ; 2 8 8 3 8

n=4 时,终止循环.输出 M= .
8. [答案]

15 8 A [解析] 本题主要考查茎叶图中均值和方差的计算.根据题意,由甲、乙两名运动员 9+14+15+15+16+21 8+13+15+15+17+22 =15,x 2= 6 6

在某项测试中的 6 次成绩的茎叶图, 知 x 1=

1 37 2 1 53 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =15,s1= [(-6) +(-1) +0 +0 +1 +6 ]= ,s2= [(-7) +(-2) +0 +0 +2 +7 ]= , 6 3 6 3 所以 s1<s2. 9. [答案] D [解析] 由 f(x)的图象知,在(-∞,-1)上 f ′(x)>0,在(-1,1)上 f ′(x)<0,在 (1,+∞)上 f ′(x)>0,又 x -2x-3>0 的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞),x -2x-3< 0 的解集为(- 1,3).∴不等式(x -2x-3)f ′(x)>0 的解集为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞). 10. 【解析】选 B.由表格数据知,加 工时间随加工零件的个数的增加而增加,故两变量为正相关, 又由错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。×(10+20+30+40+50)=30, 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。×(64+69+75+82+90)=76,
6
2 2 2 2 2

故回归直线过样本中心点(30,76). 11. 【解析】选 A.由频率 分布直方图可知: [0,5)的频数为 20×0.01×5=1 个,[5,10)的频数为 20×0.01×5=1 个, [10,15)的频数为 20×0.04×5=4 个,[15,20)的频数为 20×0.02×5=2 个, [20,25)的频数为 20×0.04×5=4 个,[25,30)的频数为 20×0.03×5=3 个, [30,35)的频数为 20×0.03×5=3 个,[35,40]的频数为 20×0.02×5=2 个, 则对应的茎叶图为 A,故选 A. 12.答案 B 解析 构造函数 h(x)=xf(x),则 h′(x)=f(x)+x·f′(x). ∵y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴h(x)是定义在 R 上的偶函数. 当 x>0 时,h′(x)=f(x)+x·f′(x)>0, ∴此时函数 h(x)单调递增. 1 ?1? ?1? ∵a= f? ?=h? ?,b=-2f(-2)=2f(2)=h(2), 2 ?2? ?2?

c=?ln ?f?ln ?=h?ln ?=h(-ln 2)=h(ln 2), 2 2 2

? ?

1? ?

? ?

1?

?

? ?

1?

?

1 又 <ln 2<2,∴a<c<b. 2 二 填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,将正确答案填在题中横线上) 13.解析:当 i=1 时,s=0×2+1=1;当 i=2 时,s=1×2+1=3;当 i=3 时,s=3×2+1=7;当 i=4 时,s=7×2+1=15. 答案:15 14. 解析:在频率分布直方图中,所有小长方形的面积和为 1, 设[70,80)的小长方形面积为 x,则(0.01+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1, 解得 x=0.3, 即该组频率为 0.3, 所以本次考试的平均分为 45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3 +85×0.25+95×0.05=71. 答案:71 2 2 15.[答案] (-∞,-1)∪(2,+∞) [解析] f′(x)=3x +6ax+3(a+2),令 f′(x)=0,即 x + 2ax+a+2=0.因为函数 f(x)有极大值和极小值,所以方程 x +2ax+a+2=0 有两个不相等的实数根, 即 Δ =4a -4a-8>0,解得 a>2 或 a<-1. 16.[解析] 本题考查循环结构以及茎叶图.解决此类问题的关键是弄清算法流程图的含义,分析程序 中各变量、各语句的作用.根据流程图所示的顺序,可知该程序的作用是累计 14 次考试成绩超过 90 分 的次数.根据茎叶图可得超过 90 分的次数为 10. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题 10 分) 解:(1)样本容量是 100. (2)①50 ②0.10 所补频率分布直方图如图中的阴影部分:
2 2

7

(3)18 18.(本小题 12 分 ) 解析:当 t∈[-2,0)时,把 2t2+1 的值赋给 t,再判断 t>0,把 t-3 的值赋给 S,所以 当 t∈[-2,0)时,S=2t2-2,此时 S∈(-2,6];当 t∈[0,2]时,把 t-3 的值赋给 S,S=t-3,此时 S∈[-3,-1],所 以由 S∈(-2,6]与 S∈[-3,-1]求并集得输出的 S∈[-3,6]. 2 (2)19. [解析] (1)f′(x)=x-a+ ,因为当 x=1 时 f(x)取得极值,所以 f′(1)=0,

x

即 1-a+2=0,解得 a=3,经检验,符合题意. 1 2 2 ?x-1??x-2? (2)由(1)得:f(x)= x -3x+2lnx,∴f′(x)=x-3+ = ,(x>0), 2 x x 令 f′(x)>0 解得 0<x<1 或 x>2,令 f′(x)<0 解得 1<x<2, ∴f(x)的单调递增区间为(0,1),(2,+∞);单调递减区间为(1,2). 20.

21.(本小题满分 12 分) [解析] (1)根据茎叶图可知,鲤鱼与鲫鱼的平均数目分别为 80,20. 80+20 由题意知,池塘中鱼的总数目为 1 000÷ =20 000(条), 2 000 则估计鲤鱼数目为 20 000× 80 =16 000(条),鲫鱼数目为 20 000-16 000=4 000(条). 100
8

(2)①根据题意,结合直方图可知,池塘中鱼的重量在 3 千克以上(含 3 千克 0 的条数约为 20 000× (0.12+0.08+0.04)×0.5=2 400(条). ②设第二组鱼的条数为 x,则第三、四组鱼的条数分别为 x+7、x+14,则有 x+x+7+x+14=100 ×(1-0.55),解得 x=8, 故第二、三、四组的频率分别为 0.08、0.15、0.22,它们在频率分布直方图中的小矩形的高度分别 为 0.16,0.30,0.44,据此可将频率分布直方图补充完整(如图).

③众数为 2.25 千克, 平均数为 0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+…+4.25×0.02=2.02(千 克), 所以鱼的总重量为 2.02×20 000=40 400(千克).

22.(本小题满分 12 分) 1 a x+a [解析] (1)由题意知 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f ′(x)= + 2= 2 ,a>0,

x x

x

∴f ′(x)>0,故 f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数. (2)由(1)可知,f ′(x)=

x+a . x2

①若 a≥-1,则 x+a≥0,即 f ′(x)≥0 在[1,e]上恒成立,此时 f(x)在[1,e]上为增函数, 3 3 ∴f(x)min=f(1)=-a= ,∴a=- (舍去). 2 2 ②若 a≤-e,则 x+a≤0,即 f ′(x)≤0 在[1,e]上恒成立,此时 f(x)在[1,e]上为减函数.

a 3 e ∴f(x)min=f(e)=1- = ,∴a=- (舍去), e 2 2
③若-e<a<-1,令 f ′(x)=0 得 x=-a, 当 1<x<-a 时,f ′(x)<0,∴f(x)在(1,-a)上为减函数; 当-a<x<e 时,f ′(x)>0,∴f(x)在(-a,e)上为增函数, 3 ∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1= ,∴a=- e. 2 综上所述,a=- e. (3)∵f(x)<x ,∴lnx- <x . 又 x>0,∴a>xlnx-x ,
9
3 2

a x

2

令 g(x)=xlnx-x ,h(x)=g′(x)=1+lnx-3x ,

3

2

h′(x)= -6x= x

1

1-6x

2

x

.

∵x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,∴h(x)在(1,+∞)上是减函数. ∴h(x)<h(1)=-2<0,即 g′(x)<0, ∴g(x)在(1,+∞)上也是减函数.

g(x)<g(1)=-1,∴当 a≥-1 时,f(x)<x2 在(1,+∞)上恒成立.

10


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