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高中数学选修2-2导数习题(无答案)



1.数列极限的定义:



a 为极限.记作 lim an = a .
n →∞

无穷数列 {a n } 的项 a n 无限趋近于某个常数 a ,那么就说数列 {a n } 以 一般地, 如果当项数 n 无限增大时, .....

2.几个重要极限: (1) lim 的极限是 0,即

1 = 0 (2) lim C = C (C 是常数) (3)无穷等比数列 {q n } ( q < 1 ) n →∞ n n →∞
新疆 王新敞
奎屯

lim q n = 0( q < 1)
n →∞

3.函数极限的定义:(1)当自变量 x 取正值并且无限增大时,如果函数 f(x)无限趋近于一个常数 a,就说当 x 趋向于正无穷大时,函数 f(x)的极限是 a.记作:
x → +∞

lim f(x)=a,或者当 x→+∞时,f(x)→a.

(2)当自变量 x 取负值并且绝对值无限增大时,如果函数 f(x)无限趋近于一个常数 a,就说当 x 趋向于 负无穷大时,函数 f(x)的极限是 a.记作 (3)如果
x → ?∞

lim f(x)=a 或者当 x→-∞时,f(x)→a.
x →∞

x → +∞

lim f(x)=a 且 lim f(x)=a, 那么就说当 x 趋向于无穷大时, 函数 f(x)的极限是 a, 记作: f(x)=a lim
x → ?∞

或者当 x→∞时,f(x)→a. 4.常数函数 f(x)=c.(x∈R),有 lim f(x)=c.即 lim C = C ,
x →∞
x →∞

lim f(x)存在,表示 lim f(x)和 lim f(x)都存在,
x →∞ x → +∞ x → ?∞ x →∞

且两者相等.所以 lim f(x)中的∞既有+∞,又有-∞的意义,而数列极限 lim an 中的∞仅有+∞的意义
x →∞

5. 趋 向 于 定 值 的 函 数 极 限 概 念 :当 自 变 量 x 无限趋近于 x 0 ( x ≠ x 0 )时,如果函数 y = f (x ) 无限趋 近于一个常数 a , 就说当 x 趋向 x 0 时, 函数 y = f (x ) 的极限是 a , 记作 lim f ( x) = a 特别地,lim C = C ;
新疆 王新敞 奎屯

x → x0

x → x0

x → x0

lim x = x0
x → x0

新疆 王新敞 奎屯

6. lim f ( x) = a ? lim? f ( x ) = lim+ f ( x) = a 其 中 lim? f ( x ) = a 表 示 当 x 从左侧趋近于 x0 时的左极限,
x → x0 x → x0

x → x0

x → x0 +

lim f ( x) = a 表 示 当 x 从右侧趋近于 x0 时的右极限

新疆 王新敞 奎屯

二、讲解新课: 讲解新课: 1. 对于函数极限有如下的运算法则:如果 lim f ( x) = A, lim g ( x) = B ,那么 lim [ f ( x) + g ( x)] = A + B ;
x → xo x → xo

x → xo

x→xo

lim[ f ( x) ? g( x)] = A ? B ; lim f (x) = A (B ≠ 0) lim [Cf ( x )] = C lim f ( x ) , lim[ f (x)]n = [lim f (x)]n
x→xo

g(x)

B

x → xo

x → xo

x→xo

x→xo

k 这些法则对于 x → ∞ 的情况仍然适用. lim x k = xo ( k ∈ N * ), x → xo

lim

1 = 0(k ∈ N * ) x →∞ x k
2x 3 ? x 2 + 1 x →1 x +1

三、讲解范例: 讲解范例: 例 1 求 lim( x + 3 x)
2 x→2

2x 2 + x + 1 . 例 2 求 lim 3 x →1 x + 2 x 2 ? 1

例 3 求 lim

x2 ? 1 . x →1 2 x 2 ? x ? 1

例 4 求 lim

x 2 ? 16 例 5 求 lim x→4 x ? 4

3x 2 ? x + 3 例 6 求 lim x→∞ x2 +1

4x ? 4x + 1 例 7 求下列极限. (1) lim ( x + 1)( x ? 2) ; (2) lim 3 n →∞ x + 2 x 2 + 1 n → ∞ ( 2 x + 1)( x ? 1)
2

四、课堂练习: 课堂练习 1.求下列极限: (1)
2 lim (3x2-2x+1) (代入法.) (2) lim ( x + 3)( 2 x ? 1) . (代入法) (3) lim x ? 4 . (因式分解法.)

x →1

x → ?1

( x + 5)( x ? 6)

x→2

x?2

(4) lim
x →∞

3x ? 1 2 x ? 12 x + 20

(5) lim
x →4

x 2 ? 8 ? 2 2 . (分子有理化.) x?4

;两个(或几个)函数的极限至少有一个不存在时, 五、小结 :有限个函数的和(或积)的极限等于这些函数的和(或积) 他们的和、差、积、商的极限不一定不存在. 在求几个函数的和(或积)的极限时,一般要化简,再求极限 .求函数的极限
新疆 王新敞
奎屯

要掌握几种基本的方法.①代入法;②因式分解法;③分子、分母同除 x 的最高次幂;④分子有理化法.

课后作业: (1) lim ( 2 x + 3 x + 4) ; 2)lim ( 六、 课后作业 1.
3 x → ?1 x →2

x2 + 5 2x x 2 ? 3x + 1 ; 3)lim 2 ( ; 4)lim( ( + 1) ; x →1 x + x + 1 x →0 x?4 x2 ? 3

x2 ? 3 3x 3 + x 2 x?2 x +1 x 3 + 3x 2 + 2 x (5)lim 4 (6)lim 5 ; (7)lim 2 ; (8)lim 2 ; (9)lim ; ; x →0 x + 3 x 4 ? 2 x 2 x→2 x ? 4 x → ?1 x ? 1 x → ?2 x→ 3 x + x 2 + 1 x2 ? x ? 6
(10) lim

1 1 x +1 ( x + m) 2 ? m 2 ;(11) lim( 2 ? + 2 ) ;(12) lim 2 x→∞ x→∞ 2 x + 2 x ? 1 x →0 x x x
2

新疆 王新敞 奎屯

答案:⑴-1 ⑵9 ⑶2/3 ⑷3/4 ⑸0 ⑹-1/2

⑺1/4 ⑻-1/2

⑼ -2/5⑽2m

⑾2 ⑿ 1/2

导数概念与运算
一、基本知识 1.概念: (1)定义: (2)导数的几何意义: (3)求函数在一点处导数的方法: (4)导函数: 2.基本函数的导数: C '= _____ (C 为常数)

( x n )' = ______ , n ∈ N +

(sin x)' = ______

(cos x)' = _____ (e x )' = ______ (a x )' = _____ (ln x)' = ______
3.运算法则: [u ( x) ± v( x) ]' = _______ 4.复合函数的导数: 二、典型例题 例 1.若函数 f(x)在 x=a 处的导数为 A, 则 lim 例 2.求下列导函数 ① y = x cos x
2
?x →0

(log a x)' = ____ ? u ( x) ? ? v( x) ? ' = _______ ? ?

[u( x)v( x)]' = _____

f (a ) ? f (a + ?x) = ?x

, lim

?x →0

f (a + 4t ) ? f (a + 5t ) = t

ex +1 ②y= x e ?1

③ y = sin 3 2 x

④ y = ln( x + 1 + x 2 )

⑤ y = x ? 10 sin 2 x

⑥ y = ln sin x + 3 1 ? 2 x 2

例 4.求函数 y = x 2 + 5 x + 4 (1)在 (0,4) 处的切线; (2)斜率为 3 的切线; (3)过 (0,3) 处的切线

三、课堂练习
2 1. (2007 全国 II,8)已知曲线 y = x ? 3 ln x 的一条切线的斜率为 1 ,则切点的横坐标为(



4

2

A.3

B.2

C.1

D.0.5

2. 求导数 (1)y = x 3 + x 2 + x +

1 1 1 1 + x +3 (3)y = ( 2 x ? 3)( x + 2) + (3 x + 1)(1 ? x ) + 2 + 3 (2)y = x x x x

) 3 f (x) = x3 + f '(?1 x2 ? x +1则 f ' ( ? 1) = ____, f (1) _____ . 4.求过原点且与曲线 y =

x+9 相切的切线方程. x+5

四、规范训练 1 曲线 y = x 3 + 3 x 2 + 6 x ? 10 的切线中,斜率最小的切线方程为——————
2.已知y = f ( x )在x = x 0处可导, 则 lim [f ( x )]2 ? [f ( x 0 ) 2 ] =( n →∞ x ? x0 ) A.f ' ( x 0 ) B.f ( x 0 ) C.[f ' ( x 0 )]2 D.2f ' ( x 0 )f ( x 0 )

3.函数 y = 3 x ? x 3 ,求过点 P(2,-2)的切线方程.

4. (’07 江西 11)设函数 f ( x ) 是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y = f ( x) 在 x = 5 处的切线的斜

1 D. 5 5 5.’06 福建 11) ( 已知对任意实数 x , f ( ? x ) = ? f ( x ),g ( ? x ) = g ( x ) , x > 0 时,f ′( x ) > 0,g ′( x ) > 0 , 有 且 则x<0时 ( ) f ′(x) > 0,g′(x) > 0 B. f ′(x) > 0,g′(x) < 0 C. f ′(x) <0 g′(x) >0D. f ′( x ) < 0,g ′( x ) < 0 A. , 2 1 6. (’07 全国Ⅱ8)已知曲线 y = x ? 3ln x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( ) 2 4 1 A.3 B.2 C.1 D. 2 1 7. (’06 湖南 13)曲线 y = 和 y = x 2 在它们的交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形的面积是______ x 1 3 4 8. (’04 重庆文 15)已知曲线 y = x + ,则过点 P (2, 4) 的切线方程是______________ 3 3 3 9. (’07 全国Ⅱ22)已知函数 f ( x ) = x ? x . (1)求曲线 y = f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切线方程; (2) 设 a > 0 ,如果过点 ( a,b) 可作曲线 y = f ( x) 的三条切线,证明: ? a < b < f ( a ) .
率为( )A. ? B. 0 C.

1 5

导数的应用(单调性、极值、最值) 导数的应用(单调性、极值、最值) 一、基本知识
设函数y = f ( x )在区间(a , b)内可导

1.利用导数判断函数的单调性的充分条件 如果在(a , b)内,f ' ( x ) > 0, 则f ( x )在此区间是增函数;
如果在(a , b)内,f ' ( x ) < 0, 则f ( x )在此区间是减函数

(求单调区间的步骤:求定义域,求导数,解不等式) 2. 利用导数研究函数的极值:
已知函数 y = f ( x ) 及其定义域内一点 x 0 , 对于存在一个包含 x 0的开区间内的所有点 极大值点;如果都有 x , 如果都有 f ( x ) < f ( x 0 ), 则称函数 f ( x ) 在点 x 0处取极大值,记作 y 极大值 = f ( x 0 ), 并把 x 0 称为函数 f ( x )的一个 f ( x ) > f ( x 0 ), 则称函数 f ( x ) 在点 x 0处取极小值,记作 y 极小值 = f ( x 0 ), 并把 x 0 称作极小值点 .

(极值是局部概念,最值是整体概念;极大值可以小于极小值) (求极值的步骤:求导、解方程、判断、 结论) 3.利用导数研究函数的最值: (闭区间上的连续函数一定有最大和最小值) ①函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值是函数 f(x)在区间[a,b]上的极大值与 f(a),f(b)中的最大者; ②函数 f(x)在区间[a,b]上的最小值是函数 f(x)在区间[a,b]上的极小值与 f(a),f(b)中的最小者; (求最值的步骤:先求极值再与端点值比较) 二、典型例题 例 1(1)求函数 y = x 3 ? 3 x 2 + 3 x ? 5 的单调区间、极值.

(2)求函数 y = 3 x 3 ? 9 x + 5 在 x ∈ [?2,2] 上的最大值与最小值

例 2.(05Ⅱ文)设 a 为实数,函数 f (x) = x3 ? x2 ? x +a.

(Ⅰ)求 f (x ) 的极值.(Ⅱ)当 a 在什么范围内取值时,曲线

y = f ( x)与x 轴仅有一个交点.

例 3 2005 山东卷) ( 已知 x = 1 是函数 f ( x ) = mx 3 ? 3( m + 1) x 2 + nx + 1 的一个极值点, 其中 m, n ∈ R, m < 0 , (III)当 x ∈ [ ?1,1] 时,函数 y = f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范围. (I)求 m 与 n 的关系式; (II)求 f ( x ) 的单调区间;

例 4.函数 f ( x) = 4 x + ax 2 ?

2 3 x 在区间 [? 1,1] 上增,求实数 a 的取值范围. 3

例 5. (2007 山东文)设函数 f ( x) = ax + b ln x ,其中 ab ≠ 0 .证明:当 ab > 0 时,函数 f ( x ) 没有极值
2

点;当 ab < 0 时,函数 f ( x ) 有且只有一个极值点,并求出极值.

三、课堂练习 1.在(a,b)内,f‘(x)>0 是 f(x)在( a,b) 内单调增加的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 )

D.既不充分又不必要条件 )

2.可导函数 y = f (x ) ,f‘(x0)=0 是函数 y = f (x ) 在 x0 处取得极值的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分又不必要条件 )

3.关于函数 y = f (x ) 在区间 [ a, b] 上的极值与最值,下列说法正确的是(

A.极大值一定大于极小 B.最大值一定是极大值 C.极小值一定不是最大值 D.最小值一定小于极小值 4 已知 f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c ,当 x = ?1 时取的极大值 7,当 x = 3 时取得极小值,求极小值以及对应 的 a,b,c

5.函数 y = ax 3 + bx 2 + cx + d 的图象与 y 轴的交点为 P,且曲线在 P 点处的切线方程为 12x-y-4=0,若 函数在 x=2 处取得极值 0,试确定函数的解析式.

6.已知函数 f ( x ) = x ?
3

1 2 x + bx + c ,若函数 f (x) 的图象有与 x 轴平行的切线.(1)求 b 的取值范围; 2 (2)若函数 f (x ) 在 x=1 处取得极值,且 x ∈ [?1,2] 时, f (x) < c2 恒成立,求 c 的取值范围

四.规范训练:
1 1 1在区间[ ,]上,函数f ( x ) = x 2 + px + q与g ( x ) = 2x + 2 2 2 x 1 在同一点取得相同的最 小值,那么f ( x )在[ ,]上的最 2 2 13 5 大值( ) A. B. C.8 D.4 4 4

5、已知 f ( x ) = ax 3 + 3 x 2 ? x + 1在 R 上是减函数, 求 a 的取值范围 .

6、已知函数 f ( x ) = ? x 3 + x 2 + tx + t 在区间 ( ? 1,1)上 是增函数,求 t 的取值范围 .

2、已知f ( x ) = 2x 3 ? 6x 2 + m(m为常数),在[?2,2]上有最大 值3,那么此函数在[?2,]上的最小值( 2 A. ? 37 B. ? 29 C. ? 5 ) D. ? 11

7、若三次函数 f ( x ) = x 3 + kx 在 ( ?∞ , +∞ )内是增函数, 则实数 k 的取值范围 .

3若函数y = x 3 + bx 2 + cx在区间( ?∞ ,0)及 [2,+∞ )是增函数,在(0,2)是减函数, 是增函数, 是减函数, 4] 求此函数在[-1, 上的值域

8、若函数 f ( x ) =

1 3 1 2 x ? ax + ( a ? 1) x + 1在区间 3 2 (1, 4 )内是减函数,在 ( 6, +∞ )为增函数,

求实数 a 的取值范围 .

4若函数f ( x) = log a ( x 3 ? ax)(a > 0, a ≠ 1)在区间 1 (? ,0)内单调递增,则a的取值范围 _________ 2

定积分与微积分基本定理 一、基本知识 1.一般函数定积分的定义: (被积函数,积分上限,积分下限) 2. 定积分的几何意义: 3.定积分的物理意义: 4.微积分基本定理: 5.定积分的性质: (1)

∫ cf ( x)dx = c ∫
a b a

b

b

f ( x)dx ( c 为常数)
b

a

(2) f ( x), g ( x ) 可积,则 6.常见函数的原函数:

∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫

a

f ( x)dx +



b

g ( x)dx (3)

a



b

a

f ( x)dx =



c

a

f ( x)dx +

∫ f ( x)dx
c

b

①常数函数: f ( x ) = c 的原函数为 F ( x ) = cx + c ' ( c ' 为任意常数) ;
n +1 ②幂函数: f ( x) = x n ( n ≠ ?1) 的原函数为 F ( x) = x + c' ( c' 为任意常数) ; n +1

③反比例函数: f ( x ) =

1 的原函数为 F ( x ) = ln | x | + c ' ( c ' 为任意常数) ; x ax + c' ( c' 为任意常数) ; ln a

④指数函数: f ( x) = a x (a > 0, a ≠ 1) 的原函数为 F ( x) =

⑤正弦函数: f ( x ) = sin x 的原函数为 F ( x) = ? cos x + c ' ( c ' 为任意常数) ; ; ⑥余弦函数: f ( x ) = cos x 的原函数为 F ( x ) = sin x + c ' ( c ' 为任意常数) ⑦对数函数: f ( x ) = ln x 的原函数为 F ( x ) = x ln x ? x + c ' ( c ' 为任意常数) ; 二、典型例题 例 1.求下列定积分 (1) (3)




3

?1
2

(3 x 2 ? 2 x + 1)dx =
1 dx = x

(2)



π

2 0

cos xdx =

1

例 2.求面积 (1) 曲线 y = sin x 与 x 轴在区间 [0,2π ] 上所围成阴影部分的面积。

(2)

抛物线 y = x 2 与直线 y = 4 所围成的图形的面积。 (3)计算由 y = x 2 和 x = y 2 所围成的图形的面积。

例 3.计算



2

?2

x 2 ? x dx =

例 4.求曲线 x = y 2 , x + y = 2 所围成的面积。

例 5.过坐标原点作曲线 y = ln x 的切线 l ,该切线 l 与曲线 y = ln x 及 x 轴围成图形为 D。 (1)求切线 l 的方 程。 (2)求区域 D 的面积 S。

三、课堂练习 1.用 S 表示图中阴影部分的面积,则 S = (



A.
2.

∫ [ f ( x) ? g ( x)]dx
a

c

B.

∫ [ g ( x) ? f ( x)]dx
a

c

C. ∫ g ( x) ? f ( x) dx D.
a

c



b a

f ( x) ? g ( x)dx



1 dx = ( ?2 x

?3

) A.

1 1 ? B. ln 3 ? ln 2 C. ln 2 ? ln 3 D. 不存在 3 2

3.求下列积分值: ①



1 1 6 2 1 dx ;② ∫ xdx ;③ ∫ | x | dx ;④ ∫ ( x 2 ? 1)dx ;⑤ ∫ (2 x + )dx ?1 ?1 ?1 2 1 x 1

4.计算 y 2 =

x , x = 1 所围成的图形的面积 2

四、规范训练 1.若



a
0

π 1 π π x 3dx = 4 ,则 a = _________; 若 ∫ 3 sin xdx = (? < a < ) ,则 a = ___ . a 2 2 2

2.求下列积分值:



π
0

sin xdx

∫ | x + 1 | dx + ∫
0

2

2

?1

| x | dx
1 ,试求: (1)切点 A 12

3.在曲线 y = x 2 ( x ≥ 0) 上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围的面积为 的坐标; (2)过切点 A 的切线方程.

4.已知 f ( x) =

∫ (3t
0

x

2

+ 2bt + c)dt ( x ∈ R )且 g ( x) = f ( x) ? f ' ( x) 是奇函数.(1)求 b, c 的值; (2)求 g (x )

的单调区间与极值.


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