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专题二:三角函数、解三角形、平面向量


第一讲 三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用 【知识点训练】 1.若角 ? 的终边经过点 P(1,-2),则 tan 2 ? 的值为 2.若 1 弧度的圆心角所对的弦长等于 2,则这个圆心角所对的弧长等于 A. sin

1 2

B.

? 6

C.

1 sin 1 2

D.2 sin

1 2

3.若点 P(tan ? , sin ? ? cos ? ) 在第四象限,则角 ? 的终边所在象限是__________ 4.已知锐角 ? 终边上一点 A 的坐标为 (2sin 3 , ? 2cos3) ,则角 ? 的弧度数为( A. 3 ? )

? 2

B.

? ?3 2

C. ? ? 3

D. ? ? 3

3 2

5. sin300 ? cos 240 =___________ 6.记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100? ?

1? k2 A. k

1? k2 B. C. k

k 1? k
2

D. -

k 1? k2

(10QG1)

7.在△ABC 中,若 tan A ? 【典型例题】 1.已知 f (? ) ?

2 ,则 sin A ? ______ 3

sin(? ? ? )cos(2? ? ? ) tan(?? ? ? ) ? tan(?? ? ? )sin(?? ? ? )
3? 1 ) ? ,求 f (? ) 的值 2 5 1 2sin ? cos ? ? cos 2 ?

(1)化简 f (? ) ; (2)若 ? 是第三象限角,且 cos(? ?

2.已知 tan ? ? ?2 ,求值: (1)

sin ? ? cos ? sin ? ? cos ?

(2)

3.若 cos? ? 2sin ? ? ? 5 ,求 tan ? 的值

4.已知 ?

?
2

? x ? 0 ,求 f ( x) ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x 的范围

第二讲 【知识点训练】

三角恒等变换

1. sin 45 ? cos15 ? cos 225 ? sin15 ? ____

tan x 的值为__________ tan 2 x 4 ? ? 4 3.若 x ? (? , 0) , cos( x ? ) ? ,则 sin 2 x ? _____ 2 4 5
2.已知 tan( x ?

?

) ? 2, 则

(11JS)

4. 若 cos ? ? ?

4 , 则 ? 是第三象限的角, 5

1 ? tan 1 ? tan

? ?
2 ? _______
(10QGKB) (11ZJ)

2
4 2 3
2

5.若 0 ? ? ?

?, ? ? ? 3 ,则 ? ? 1 ? ? ? ? 0 , cos ( ? ? ) ? , cos ( ? ) ? cos (? ? ) ? __
2
2
4 3

6.

3 ? sin 70 ? __________ 2 ? cos 2 10
1 的值为 cos ? ? sin 2? 5 2 (B) (C) 3 3
2
w.w.w.k. s.5.u.c.o.m

(08NX)

7.若 3sin ? ? cos ? ? 0 ,则 (A)

(09SX) (D) ?2

10 3

8. 函数 y ? 2cos 2 x ? sin 2 x 的最小值是_____; 函数 y ? cos 2 x ? sin x 的最小值是_____ 【典型例题】 1.已知 cos? x ?

? ?

??

2 ? ? ?? ? , x ?? , ? . ?? 4 ? 10 ?2 4 ?
(Ⅱ)求 sin? 2 x ?

(Ⅰ)求 sin x 的值; 2.已知 ? ? (0 ,

? ?

??

? 的值. 3?

(08TJ)

?
4

) , ? ? (0 , ? ) ,且 tan(? ? ? ) ? 1 3

3.已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? (1)求 f (

?
6

1 1 , tan ? ? ? ,求 2? ? ? 的值 2 7

) , x?R

5? ) 的值; 4
?

(2)设 ? , ? ? [0 ,

? 10 6 ] , f (3? ? ) ? , f (3 ? ? 2 ?) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值 (11GD) 2 2 13 5

第三讲 解三角形 【知识点训练】 1.在△ABC 中,若 b = 1,c = 3 , ?C ?

2? ,则 a = 3

(10BJ) (10HN)

0 2.在△ABC 中,a=15,b=10, ∠A= 60 ,则 cos B ? ___________

3.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3 ,A+C=2B, 则 sinC=
2 2

(10GD)

4. 在△ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c, 若 a ? b ? 3bc , sinC=2 3 sinB, 则 A= (A)30° (B)60° (C)120° (D)150°
Ac o s a ? C

(10TJ)

(08ZJ)

5. 在△ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c, 若( 3 b? c ) c o s

o s A_ _ ? , 则c

6. 在正三角形 ABC 中, D 是边 BC 上的点, 若 AB=3, BD=1, 则 AB ? AD ? ____ (11SH) 7.在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标点 C,若 ?CAB ? 75 , ?CBA ? 60 ,则 A、C 两点之间的距离 【典型例题】 1. ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c .已知 A ? C ? 900 , a ? c ? 求C . 2.在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (1)求 千米 (11SH)

2b ,

(11QG1)

cos A-2 cos C 2c-a = . cos B b
(11SD) (11JS)

sin C 的值; sin A

(2)若 cosB=

1 , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积. 4

3.在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin( A ?

?

1 ) ? 2 cos A, 求 A 的值; (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 6 3

4.在△ABC 中中,角 A.B.C 所对的边分别为 a,b,c.已知 sin A ? sin C ? p sin B ? p ? R ?, 且 ac ?

1 2 b . 4 5 , b ? 1 时,求 a , c 的值;(Ⅱ)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围; (11ZJ) 4

(Ⅰ)当 p ?

第四讲 【知识点训练 1】 1. f ? x ? ? cos ? ? x ?
2

三角函数图像和性质

? ?

??

? ? 的最小正周期为 5 ,其中 ? ? 0 ,则 ? = 6?
1 ( x ? R ) ,则 f ( x) 是 2
B.最小正周期为 ? 的奇函数 D.最小正周期为 ? 的偶函数 (

(08JS)

2.若函数 f ( x) ? sin x ? A.最小正周期为

? 的奇函数 2 C.最小正周期为 2? 的偶函数

3.对于函数 f ( x) ? 2sin x cos x ,下列选项中正确的是 (A) f ( x ) 在(

) (10SX)

? ? , ) 上是递增的 4 2

(B) f ( x ) 的图像关于原点对称 (D) f ( x ) 的最大值为 2 )

(C) f ( x ) 的最小正周期为 2 ? 4.函数 y ? 2cos 2 x 的一个单调增区间是( A. ? ? , ?
2

? π π? ? 4 4?

B. ? 0, ?
2

? ?

π? 2?

C. ? , ? )

? π 3π ? ?4 4 ?

D. ? ,π ? (07QG1)

?π ?2

? ?

5.函数 f ( x) ? cos x ? 2 cos A. ? , ?

x 的一个单调增区间是( 2
C. ? 0, ?

? ? 2? ? ?3 3 ?

B. ? , ?

? ? ?? ?6 2?

? ?

?? 3?

D. ? ? , ?

? ? ?? ? 6 6?

6.如果函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ? (A)

? 4? ? ,0 ? 中心对称,那么 | ? | 的最小值为 ? 3 ?

? ? (D) (09QG1) 3 2 ? ?x ?? ) ? ( ? 0 ,? | ?| 的最小正周期为 ) 7 .设函数 y ? sin( ? ,且其图像关于直线 2 ? ? ? x ? 对称,则在下列四个结论:①图像关于点 ( , 0) 对称;②图像关于点 ( , 0) 对 12 4 3 ? ? 称;③在 [0 , ] 上是增函数;④在 [ ? , 0] 上是增函数,则正确编号为_____ 6 6
? 6
(B)

? 4

(C)

【典型例题 1】 1.设 a ? R , f ? x ? ? cos x ? a sin x ? cos x ? ? cos 2 ?

? ?? ? ? x ? 满足 f (? ) ? f (0) ,求函 3 ?2 ?
(11CQ)

数 f ( x) 在 ?

? ? 11? ? 上的最大值和最小值 ? ? 4 24 ? ?

2 .已知函数 f ( x) ? A sin( ? x ? ? ), x? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为

?
2

)的图象与 x

? 2? , ?2) . ,且图象上一个最低点为 M ( 3 2 ? ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [ , ] ,求 f ( x ) 的值域 (09SX) 12 2
3.设函数 f(x)=cos(2x+

? 2 )+sin x. 3

(09SD)

(1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期. (2)设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB=

1 c 1 , f ( ) ? ? ,且 C 为锐角,求 sinA. 3 2 4

4.已知函数 f ( x) ? cos? 2 x- ?+2 sin? x- ? sin? x+ ? .

? ?

??
3?

? ?

??
4?

? ?

??
4?

(I)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程. (II)求函数 f(x)在区间 ??

? ? ?? , 上的值域. ? 2 2? ?
2 4

(08AH)

5.求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x 的最大值与最小值。

(08SC)

6.已知函数 f ( x) ? 2sin

x x x cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值; (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ? 奇偶性,并说明理由.

? ?

π? ? ,判断函数 g ( x) 的 3?
(08SX)

【知识点训练 2】 1.作出函数 y ? 3sin(2 x ?

?
3

) x ? R 的简图,并说明它与 y ? sin x 的图像之间的关系

2.下列函数中,图象的一部分如右图所示的是( ) (06SC)

p ) 6 p (C) y = cos(4 x - ) 3
(A) y = sin( x +

(B) y = sin(2 x -

p ) 6 p (D) y = cos(2 x - ) 6

3. 函数 y ? A sin(? x ? ?)( A, ? , ? 为常数,A ? 0, ? ? 0 ) 在闭区间 [?? , 0] 上的图象如图所示,则 ? = (09JS)
y

4.已知函数 f ( x) ? A cos(? x ? ?) 的图像如图所示,

?
2 2 3
O
7? 12

π 2 f ( ) ? ? ,则 f (0) ? _____ 2 3

(09LN)

?

11? 12

x

5. 将函数 y ? sin x 的图象向左 平移 ? (0 ? ? ? 2? ) 个单位后, 得到函数 y ? sin( x ? .. 图象,则 ? 等于 A. (09HN) B.

?
6

)的

? 6

5? 6

C.

7? 6

D.

6.将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动

? 个单位长度,再把所得各点的横 10
(10SC)

11? 6

坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是 A. y ? sin(2 x ?

? 1 ? 1 ? ) B. y ? sin(2 x ? ) C. y ? sin( x ? ) D. y ? sin( x ? ) 10 5 2 10 2 20
?

【典型例题 2】 1.为了得到函数 y ? sin(2 x ? (A)向左平移 (C) 向左平移

?

? 个长度单位 2

? 个长度单位 4

) 的图像,只需把函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像 3 6
(B)向右平移 (D) 向右平移

?

[来源:Zxxk.Com]

? 个长度单位 2

? 个长度单位 4

(10QG2)

2 . 已 知 函 数 f ( x) ? sin(? x ?

?
4

)( x ? R,? ? 0) 的 最 小 正 周 期 为 ? , 为 了 得 到 函 数
w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

g ( x) ? cos? x 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象

? 个单位长度 8 ? C 向左平移 个单位长度 4
A 向左平移

? 个单位长度 8 ? D 向右平移 个单位长度 4
B 向右平移

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

(09TJ)

第五讲 平面向量的运算——平面图形中的向量问题 【知识点训练】 1.如图,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是( A. AB = DC ; C. AB - AD = BD ;
?? ?
?? ?

) D A ) C

?? ?

?? ?

B. AD + AB = AC ;
?? ?

?? ?

?? ?

?? ?

D. AD + CB = 0 .

?? ?

?? ?

?

A

B

2.如图所示, D 是 ?ABC 的边 AB 上的中点,则向量 CD ? ( A. BC ?

D
C

1 BA 2

B. ?BC ? BA

1 2

C. BC ? BA

1 2

D. ?BC ?

1 BA B 2

3.已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 ,那么 A. AO ? OD B. AO ? 2OD C. AO ? 3OD D. 2 AO ? OD

4.在 △ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD ? 2 DB, CD ? CA ? ? CB ,则 ? ? A.

1 3

2 3

B.

1 3

C. ?

1 3
2

D. ?

2 3

5. 设点 M 是线段 BC 的中点, 点 A 在直线 BC 外, BC ? 16, ?AB ? AC ???AB ? AC ?? 则?AM?? (A)8 (B)4 (C) 2 (D)1

,AB ? 2,AC ? 1, 6.如图,在 △ ABC 中, ?BAC ? 120°
D 是边 BC 上一点, DC ? 2 BD ,则 AD · BC ? D, BD = 7.在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若 AB =(2,4), AC =(1,1)
(A)(-2,-4) 【典型例题】 (B)(-3,-5) (C)(3,5) (D)(2,4)

A

B

C

(08AH)

1 .如图,在△ ABC 中, AD ? AB , BC ? 3 BD,| AD |? 1 ,则 AC ? AD ? ____ 。

(10TJ)

2.已知︱ OA ︱=1,︱ OB ︱= 3 , OA ? OB =0,点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=30° ,设

OC =m OA +n OB (m、n∈R),则

m 等于_________ n
A

3.如图,在 △ ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分 别交直线 AB , AC 于不同的两点 M ,N ,若 AB ? m AM ,

N
B M
O

AC ? nAN ,则 m ? n 的值为



C

4 . 在 四 边 形 ABCD 中 , AB = DC = ( 1 , 1 ),

1 BA

BA ?

1 BC

BC ?

3 BD

BD

,则四边形 ABCD 的面积是

(09TJ)

5.已知 O,N,P 在 ?ABC 所在平面内,且 OA ? OB ? OC , NA ? NB ? NC ? 0 ,且

PA ? PB ? PB ?PC ? PC ?PA ,则点 O,N,P 依次是 ?ABC 的 (09NX、HN)
A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心

第六讲 平行、垂直及数量积的应用 【知识点训练】 1.设向量 a ? (3 ,1) , b ? (1, 3) , c ? (k , 7) ,若 (a ? c) // b ,则 k ? ___ (09JX)

2.已知 a ? (m ? 1, ? 3) , b ? (1, m ?1) ,且 (a ? b) ? (a ? b) ,则 m 的值是_________ 3.在 Rt?ABC 中, ?C ? 90 , AC ? 4 ,则 AB ? AC 等于 A. ?16 B. ?8 C.8 A 、 B 、 C D.16 满 足 | A B? | (10HN)

4 . 若 平 面 上 三 点

3 ,B |C ? |

4 C,? A |, 则 |

5

AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB ? ___

5.已知向量 a 和 b 的 夹角为 120°,且|a|=|b|=4,那么 b· (2a+b)的值为 已知向量 a ? (2,1) , a ? b ? 10 , | a ? b |? 5 2 ,则 b ? (A) 5 (B)

(08BJ)

10

(C) 5 (D) 25

(09QG2)

6.已知非零向量 a , b 满足 | a |?| b |?| a ? b | ,则 a 与 a ? b 的夹角为_______

【典型例题】 1.a、b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,则 c 的 最大值是___________ 2.知向量 a、b 不共线,c ? k a ? b (k ? R),d ? a ? b,如果 c // d,那么 A. k ? 1 且 c 与 d 同向 C. k ? ?1 且 c 与 d 同向 B. k ? 1 且 c 与 d 反向 D. k ? ?1 且 c 与 d 反向 ) (08ZJ)





(09BJ)

3.平面向量 a,b 共线的充要条件是( A.a,b 方向相同 B.a,b 两向量中至少有一个为零向量 C.? ? ? R , b ? ? a

D.存在不全为零的实数 ?1 , ?2 , ?1a ? ?2b ? 0 4.关于平面向量 a,b,c .有下列三个命题:

(08HN、NX)

,k ),b ? (?2, 6) , a ∥ b ,则 k ? ?3 . ①若 a ? b = a ? c ,则 b ? c .②若 a ? (1
③非零向量 a 和 b 满足 | a |?| b |?| a ? b | ,则 a 与 a ? b 的夹角为 60 . 其中真命题的序号为 . (写出所有真命题的序号)

5.设 a 、b 、 c 是单位向量,且 a ·b =0,则 a ? c ? b ? c

?

??

? 的最小值为____(09QG1)

(08SX)

第七讲 向量的应用 【典型例题】 1.在 ?ABC 中,已知 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC ? 3BC ,求角 A,B,C 的大小.(09HN)
2

2.设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值;学科 (2)求 | b ? c | 的最大值; 学科网 (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b . .网

学科网 (网

( (09JS)

3.已知向量 a ? (cos a,sin a), b ? (cos ? ,sin ? ), c ? (?1,0) (Ⅰ)求向量 b ? c 的长度的最大值; (Ⅱ)设 a ?

?
4

,且 a ? (b ? c) ,求 cos ? 的值。

(09HB)

4.已知 i 、 j 是 x 、 y 轴上的单位向量,设 a ? x ? 3 i ? y j ,?b ? x ? 3 i ? y j , 且 满足 a ? b ? 4. (Ⅰ)求点 P ? x, y ? 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)如果过点 Q ? 0, m? 且方向向 量为 v ? ?1,1? 的直线 l 与点 P 的轨迹 C 交于 A 、 B 两点,求 ?AOB 面积的最大值.

?

?

?

?


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