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1.4.3 正切函数的图象和性质


§1.4.3 正切函数的图象和性质 (一)

1、利用正切函数的定义,说出正切函数的定义域; y tan ? ? ? x ? 0 ? ?的终边不在y轴上 x

?? ? k? ?

?

2

?k ? z?

2、利用周期函数的定义及诱导公式,推导正切函数 的最小正周期;

tan(? ? x) ? tan x ? ? 是y ? tan x的周期;

? ? ?? 1、画出正切函数在一个周期 ? ? , ? 内的图象 ? 2 2?
y

?

?
2

0

? 2

x

§1.4.3

正切函数的性质和图象
y

1.正切函数 y ? tan x 的性质:
定义域: {x | x ? 值域: 周期性:

y ? tan x

?
2

? k? , k ? Z }

R

正切函数是周期函数, ?? ?2 周期是 ?

??

?? 2

o

? 2

?

??
2

x

奇偶性: 奇函数 tan(-x)=-tanx
单调性: 在 (?

?

2 2 内是增函数 k? 对称性: 对称中心是 ( , 0), k ? Z 2

? k? ,

?

? k? ) k ? Z

对称轴呢?

例题1

? ? 13? ? ? 17? tan ? ? 解: ? tan ? ? ? ? ? tan 4 ? 5 ? 4 ? ? 2? ? 0? ? ? 4 5 2 ? ?? 又: y ? tan x在 ? 0, ? 内单调递增, ? 2? ? 2? ? tan ? tan , 4 5
?? tan

13? 17 比较 tan( ? ) 与 tan(? ? ) 的大小. 4 5

2? ? ? ? ? tan 5 ?

?
4

? ? tan

2? ? 13 ? ? 17 ? ,即 tan ? ? ? ? ? tan ? ? ? ? 5 ? 4 ? ? 5 ?

练习

不查表比较大小:

(1) tan167? 与 tan173? (2) tan 470? 与 tan822?

例题2

?? ? 讨论函数 y ? tan ? x ? ? 的性质; 4? ?

1、定义域 2、值域

3、单调性
4、奇偶性

5、周期性

? ? ? x ? ? x | x ? R且x ? k? ? ,k ? Z ? 4 ? ? y?R 3? ?? ? 在x ? ? k? ? , k? ? ? 上是增函数; 4 4? ? ? ? f (? x) ? tan(? x ? ) ? ? tan( x ? ) ? f ( x) 4 4 且f (? x) ? ? f ( x)是非奇非偶函数 ? ? f ( x ? ? ) ? tan( x ? ? ? ) ? tan( x ? ) ? f ( x) 4 4 最小正周期是?

练习

讨论函数 y ? tan 2 x 的性质;

例题3

解不等式: tan x ? 3
y

解:

3

T

A 0

x

例题3

解不等式: tan x ? 3
y

解:

3
0 ?

? x
2

3

? ?? ? 由图可知:x ? ?k? ? , k? ? ?(k ? Z ) 3 2? ?

练习

2、解不等式:1- tan x ? 0

2 3、解不等式: tan( x ? ) ? 6 2

?


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