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《正弦函数图像变换》教学设计


《正弦函数的图像变换》教学设计 正弦函数的图像变换》
一、教材分析
1、教材的地位和作用: 本节内容为人教版高一数学上册第四章第九节内容,本节课通过图像变换,揭示参数 φ、ω、 A 变化时对函数图象形状和位置的影响,讨论函数的图象与正弦曲线的关系,以及 φ、ω、A 的 物理意义,并通过图象的变换过程,进一步理解正、余函数的性质。通过本节的学习:使学生掌握 五点作图法做正弦型函数的图像,通过正弦函数的图像变换作出正弦型函数的图像;培养学生作图 像解决问题的能力;通过三角函数图像变换的学习,培养学生对三角函数的学习兴趣,本节的教学 重点是五点作图法做三角函数图像。本节内容既是前面三前函数图像的延伸,又为后面正切函数的 图像学习打好基础。 2、教学目标: 知识与能力目标: 知识与能力目标: (1)通过本节学习培养学生作图像解决问题的能力。 (2)理解参数 φ、ω、A 变化时对函数图象形状和位置的影响. 过程与方法目标: 过程与方法目标: (1)掌握五点作图法做正弦型函数图像的方法。 (2)通过正弦函数的图像变换作出正弦型函数的图像 情感与态度目标: 情感与态度目标: (1)通过三角函数图像变换的学习,培养学生对三角函数的学习兴趣。 (2)渗透数形结合的思想,让学生理解动与静的辩证关系,善于从运动的观点观察问题 3、教学重难点: 重点:五点作图法做三角函数图像 难点:由 y = sin x 的图像怎样变换得到 y = A sin(ω x + ? ) 的图像

二、学生分析
一般特性: 1、 一般特性:学生都既有来自农村的学生也有来自县城附近的学生,对基础知识的掌握程 度层次不一。有一半学生学习目标明确,态度端正,认真勤奋;有的尽管基础较差,也能坚持不懈, 有效地安排自己的学习,并能及时向老师请教;还有一部分的学生学习自觉性和稳定性不足,需要 老师的督促;少数学生学习数学的积极性和主动性极差,需要老师再三强调才能勉强完成作业。 2、学生已有能力:在初中学习一次函数、二次函数、反比例函数图象时已经对描点法做图像 学生已有能力: 有一定掌握;学生可以在已有认知的基础上可以通过模仿教师方法,将同样的方法用于新的知识学 习上。 3、学习风格: 高一学生虽然不会争强着在课堂上进行表现,但同样希望得到老师的表扬和鼓 学习风格: 励,他们的能动性较强,但不会积极主动的学习和也不会主动与他人合作学习。他们的学习是需要 教师利用他们所不知道(很少见到)的方式去呈现或引导,才能激发起他们学习欲望。

三、教法与学法分析

教学有法,教无定法,贵在得法。数学是一门培养人的思维、发展人的思维的基 础学科。在教学过程中,不仅要对学生传授数学知识,更重要的应该是对他们传授数 学思想、 数学方法, 让学生自己学会学习、 学会思考。 高一学生虽然有一定的理解力, 但在某种程度上还是依靠事物的具体直观形象,所以我采用自主尝试探究教学法为 主,整堂课紧紧围绕“情景体验——自主探究——互动交流——反馈提升”的模式, 并发挥多媒体的直观、 形象功能, 辅助演示直线和圆的位置关系, 激励学生积极参与、 观察、发现其知识的内在联系,使每个学生都能积极思维。这样,一方面可激发学生 学习的兴趣,激励学生参与,提高学生的学习效率,培养学生互助、合作的精神。另 一方面让学生自主探究, 拓展思维空间, 培养学生的终身学习能力, 达到 “不教而教” 的目的。 四、教学过程:
教学环节 一、课题引入 二、知识回顾 教师活动 直接提出课题“函数 y = A sin(ω x + ? ) 的图像” 出示函数 y=sinx,提出问题:谁能快速做出它的图像? 1.振幅变换 三、讲解新课 函数的 y = A sin x 图像与函数 y = sin x 的图像的关系 例 1.画出函数 y = 2sin x 和 y = 学生活动

学生交流解决问 题的方法,调动 学生学习积极 性,激发求知欲 望。

x

0

π
2

1 sin x 的图像 2 π 3π 2π 2
0 0 0

sin x

0

1 2 1 2

?1 ?2
1 2

0 0 0
学生动手用“五点 作图法”作出图像

2 sin x 1 sin x 2

0 0

y
2 1

O
?1 ?2

π
2

π

3π 2



x

观察函数的图像与
y = sin x 的 图 像 的

关系,然后总结出 一般情况

引导学生观察图像 结论:一般的,函数 y = A sin x , ( x ∈ R, A > 0, A ≠ 1) 的图像,可以 看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长 A > 1) 或缩短 (0 < A < 1) 到原 ( 来的 A 倍而得到。 思 考 : 如 何 由

y = sin x

A 叫做函数 y = A sin x 的振幅,故这种变换叫做振幅变换
2.周期变换 函数 y = sin ω x 的图像与函数 y = sin x 的图像的关系

的 图 像 得 到

y = 3sin x 的图像
观察函数的图像与

y = sin x 的图像的
关系,然后总结出 一般情况

1 例 2.画出函数 y = sin 2 x 和 y = sin x 的图像 2 π 3π 2π 2x 0 π 2 2

x

0

π
4

π
2

3π 4

π

思 考 : 如 何 由

y = sin x

sin 2x

0

1

0

?1

0

的 图 像 得 到

y = sin 3 x 的图像

1 x 2 x 1 sin x 2

0 0 0

π

π
2π 0

π

2

1 2

3π 2 3π 1 ? 2

2π 4π 0

y
2 1

O
?1 ?2

π







x

结论:一般的,函数 y = sin ω x , ( x ∈ R, ω > 0, ω ≠ 1) 的图像,可以 看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短 ω > 1) 或伸长 (0 < ω < 1) 到原 ( 来的
1

ω

倍而得到。

ω 决定函数 y = A sin x 的周期,故这种变换叫做周期变换
小结:以上两种变换叫做伸缩变换,即

y = f ( x) ? y = f (ω x) , y = f ( x) ? y = Af ( x)
3.相位变换 函数 y = sin( x + ? ) 的图像与函数 y = sin x 的图像的关系

例 3.画出函数 y = sin( x +

π

) 和 y = sin( x ? ) 的图像 3 4

π

问题:能否通过 y = sin x 的图像来得到?

学生思考回答:可 通过平移变换得到

f ( x) = sin x → f ( x + ) = sin( x + ) 3 3 f ( x) = sin x → f ( x ? ) = sin( x ? ) 4 4 y
2 1
?

π

π

π

π

π O
3

π
4

π

5π 3



9π 4

x

?1 ?2

问题:如何由 y = sin( x +

π

) 的图像得到 y = sin( x ? ) 的图像? 3 4

π

结论:一般的,函数 y = sin( x + ? ) , ( x ∈ R, ? ≠ 0) 的图像,可以看作 把正弦曲线上所有点的向左( ? > 0) 或向右 (? < 0) 平移 | ? | 个单位而 得到。 ? 决定函数 y = sin( x + ? _ 的初相,故这种变换叫做相位变换 例 4.如何通过 y = sin x 的图像得到 y = sin(2 x ?

π
3

) 的图像?

平移变换 周期变换 y = sin x ???? y = sin( x ? ) ???? y = sin(2 x ? ) → → 3 3

π

π

周期变换 平移变换 y = sin x ???? y = sin 2 x ???? y = sin(2 x ? ) → → 完成例题 4, 然后让 3 1 π 学生总结 练习:用“五点作图法”作出函数 y = sin(3 x ? ) 的图像,并回答 2 4

π

学生分成两组思考

如何由 y = sin x 的图像变换得到。 四、课堂练习 五、课堂小结
振幅变换 y = sin x ???? y = A sin x → 周期变换 y = sin x ???? y = sin ω x → 相位变换 y = sin x ???? y = sin( x + ? ) → 综合变换 y = sin x ???? y = A sin(ω x + ? ) →

习题 4.9:1 题(书上)2、3 题(作业本上) 六、课外作业

完成巩固练习

七、课后反思
1、 这是我在上学期上的一节课如果利用传统教学手段本节课内容在 1 课时内只能很好的完成振 幅变换和周期变换 2 项内容, 并且当堂课只能有 60%的学生理解并掌握, 而采用信息技术与课程整 合的教学设计进行课堂教学后可以完成振幅变换、周期变换、相位变换的同时还有充足时间进行综 合变换的实例练习,可以使 85%的学生当堂理解并掌握,达到了超预期的效果。 2、整节课以“问题情境——分析探究——实践验证——总结升华”为主线,使学生亲身体验三 角函数图像变换的探索和验证过程,努力做到由传统的数学课堂向研究性课堂转变. 3、本堂课中,学生能根据教师的引导,在多媒体教室由于学生能很直观的从动画资料中分析所 学知识,所以学习的主动性更高,对知识理解的更快,掌握的更好。

教学流程图: 教学流程图:
开始上课

引入课题

振幅变换

多媒体演示

周期变换

多媒体演示

相位变换

多媒体演示

综合变换

多媒体演示

课堂练习

课堂小结

布置作业

下课

结束

y=Asin( x+φ 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象基础训练
1. 已知右图是函数 y=2sin(ωx+φ)(|φ|< A. ω=

π
2

的图象,那么(



10 11

φ=

π π
6

B.ω=

11 10

φ=-

π

C. ω=2 φ=

6

D. ω=2 φ=-

π
6

6

1

2. 函数 y=-xcosx 的部分图像是( )

11π 12

3.下列函数中,最小正周期为π的偶函数是( A.y=sin2x



x B.y=cos 2

C .sin2x+cos2x

1 ? tan 2 x D. y= 1 + tan 2 x

4.

5π )的图像的一条对轴方程是( ) 2 π π π 5π A. x=B. x=C .x= D.x= 2 4 8 4 π 1 5.满足 sin(x- )≥ 的 x 的集合是( ) 4 2
函数 y=sin(2x+ A. ? x | 2kπ +

? ?

5π 13 ? ≤ x ≤ 2kπ + π , k ∈ Z ? 12 12 ? 5 6 ? ?
? ?

B. ? x | 2kπ ?

? ?

π
12
? ?

≤ x ≤ 2kπ +
? ?

7 ? π,k ∈ Z? 12 ?

C. ?x | 2kπ + ≤ x ≤2kπ + π,k ∈Z?

? ?

π

6

D. ?x | 2kπ ≤ x ≤ 2kπ + , k ∈Z? ∪ ?x | 2kπ +

π

6

5π ? ≤ x ≤ 2(k +1)π, k ∈Z? 6 ?

6. 要得到函数 y=cos( A.向左平移

π
2

x π x ? )的图象,只需将 y=sin 的图象( 2 4 2
B.同右平移

) 个单位 D.向右平移

个单位

π

2

个单位

C.向左平移

π

π
4

4

个单位

7.若函数 y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,再将整个图象沿 x 轴向左平 移

π
2

个单位,沿 y 轴向下平移 1 个单位,得到函数 y=

1 π sin( 2 x + ) + 1 2 2 4π 8.把函数 y=cos(x+ )的图象向右平移φ个单位,所得的图象正好关于 y 对称,则φ的最小正值为 3
A.y= 9. y = 3 sin( ?2 x + 10.

1 sinx 的图象 则 y=f(x)是( ) 2 1 π 1 π 1 π B.y= sin( 2 x ? ) + 1 C.y= sin( 2 x + ) + 1 D. sin( 2 x ? ) + 1 2 2 2 4 2 4
新疆 王新敞
奎屯

π

3

) 的振幅为

初相为

,由此最高点到相邻的最低点间曲线与 x 轴交于一点(6,0) ,求函数解 已知曲线上最高点为(2, 2 ) 析式,并求函数取最小值 x 的值及单调区间
新疆 王新敞 奎屯

教学评价设计
教学评价 教学评价既有形成性评价,也有总结性,定性与定量相结合,分课堂学习成果评价量表、课堂表现评价表与 作业量化评价三个层面进行,分值分别为总分的 40% 、20%、40%。 课堂学习成果评价量表( 课堂学习成果评价量表(40 分) 学习成果评价量表 班级:高一(5)班 评价项 目 姓名: _ 评价内容及方法 优秀 通过活动掌握课堂新内容 知 识与 技能 通过提问加深理解 结合练习加深理解, 培养学生思考与探讨能力 通过提问能够锻炼学生用数学语言进行表达, 清晰解题思路 操作 技能 搜集并能与同学交流有关三解函数图像的变 换,提高信息搜集与处理能力 正确有效的解题,加深理解,巩固知识 理解三解函数图像的变换 利用精选练习对学生进行逻辑思维训练。 情感 态度 小组协作交流情况:小组成员间配合默契,彼 此协作愉快,互帮互助 通过学习本课时激发学生热爱科学、 乐于观察 和探究的兴趣 课堂调查: 书面写出你在学习本节课时所遇到的困难, 向 教师提出较合理的教学建议。 把自己的小发明讲给同学们 听。 10 10 10 8 10 10 8 8 10 8 良好 8 8 8 6 8 8 6 6 8 6 一般 5 5 5 4 5 5 4 4 5 4 较差 3 3 3 2 3 3 2 2 3 2 得分:___ 等级(权重)分 自评 小 组 评 教 师 评

8

6

4

2

我这样评价我自己:在本课的教学中我使学生明确地了解三解函数图像的变换的内容,更是利用多种形式 的练习设计,对学生进行了扎实的巩固练习。 在课堂中我设计同桌合作探究。在练习中,我又让学生在 练习的同时,用数学语言进行表述,让他们在众人面前勇于展现自我。通过活动,使学生得到了主动和谐 全面的发展。 伙伴眼里的我: 老师的话:我在课前认真钻研了教材。课堂教学语言清晰流利,简练畅达,教态亲切自然,教学过程层次 分明,课时任务目标明确,较好地体现了教师的引领作用,整堂课有以下几处亮点:1、注重引导学生积累 知识;2、能准确把握“阶段目标” ,落实《课标》的要求;3、加强了课内与课外的联系,拓宽了数学学习 的空间: 注:1.得分为自评、互评、教师评总分之均值;2.“我这样评价我自己”、“伙伴眼里的我”以及“老师的话” 都是针对课堂学习情况的概括性评判和描述。

学生课堂表现评价量表( 学生课堂表现评价量表(20 分)

项目

A级

B级

C级

个人评 价

同学评 价

教师评 价

认真

上课认真听讲,作业 认真, 参与讨论态度 认真 积极举手发言,积极 参与讨论与交流,阅 读完了 大胆提出和别人不同 的问题,大胆尝试并 表达自己的想法 善于与人合作,虚心 听取别人的意见 能有条理地表达自己 的意见,解决问题的 过程清楚,做事有计 划 具有创造性思维,能 用不同的方法解决问 题,独立思考。

上课能认真听讲,作 业依时完成,有参与 讨论 能举手发言,有参与 讨论与交流 有提出自己的不同看 法,并作出尝试

上课无心听讲,经常 欠交作业,极少参与 讨论 很少举手,极少参与 讨论与交流 不敢提出和别人不同 的问题,不敢尝试和 表达自己的想法 缺乏与人合作的精 神,难以听进别人的 意见 不能准确在表达自己 的意思,做事缺乏计 划性,条理性,不能 独立解决问题 思考能力差,缺乏创 造性,不能独立解决 问题

A

A

A

积极

A

A

A

自信

A

A

A

善于与 人合作

能与人合作,接受别 人的意见 能表达自己的意见, 有解决问题的能力, 但条理性差些

B

A

B

思维的 条理性

B

A

A

思维的 创造性

能用老师提供的方法 解决问题,有一定的 思考能力和创造性

A

B

B

我这样评价自己:在本课的教学中我使学生掌握了三解函数图像的变换,更是利用多种形式的练习设计,对学 生进行了扎实的应用和巩固训练。 在课堂中我设计同桌合作探究。在练习中,我又让学生在练习的同时,用 数学语言进行表述,让他们在众人面前勇于展现自我。通过活动,使学生得到了主动和谐全面的发展。 伙伴眼里的我:本节课同学们能够认真倾听老师讲课,积极参与课堂学习。通过学习我们明白了古人在数学方 面的成就。 老师的话:这一课,让我们感受到了新课程理念下新课堂的精彩,整堂课,教师重视学习方法的指引与独立学 习能力的培养,积极推行了自主合作探究的学习新方式,学生是学习的主人,老师注意了创设情景,激发了学 生的学习兴趣。 注:1.本评价表针对学生课堂表现情况作评价,用于课堂中评价 2.本评价分为定性评价部分和定量评价部分 3.定量评价部分总分为 100 分,最后取值为教师评、同学评和自评分数按比例取均值。

课外作业量化评分表( 课外作业量化评分表(40 分)
评 层 次 价 评 价 依 据 及 标 准 权重 (分) 自 评 同桌 评 教师 评

知识 A 层 生

理解三解函数图像的变换; 合作探究在生活中的应用实例; 感悟用数学思想思考问题的方法。

20

技能 情感 态度

掌握三解函数图像的变换,能够熟练地运用 通过验证过程中数与形的结合,体会数形结合的思想 以及数学知识之间的内在联系,每一部分知识并不是孤立 的。

10

10

B 层 生

知识 掌握,能够熟练地运用三解函数图像的变换 技能 20

通过探究三解函数图像的变换,渗透数形结合的思想 方法,增强逻辑思维能力。 通过了解我国古代在三解函数图像的变换研究方面的 成就,激发热爱祖国,热爱祖国悠久文化的思想感情。

10

情感 态度 C 层 生 知识

10

掌握三解函数图像的变换,能够熟练地运用三解函数 图像的变换 通过探究三解函数图像的变换的发现与证明,渗透数 形结合的思想方法,增强逻辑思维能力。 通过了解我国古代在三解函数图像的变换研究方面的 成就,热爱祖国悠久文化的思想感情。

20

技能

10 10

情 感 态度

还需改进的地方:课文除了教给学生需要懂得的知识外,数学学科的特点如何来体现?是不是通过一节课 的讲解学生就能完全掌握本课时内容?本课时内容很少,难点在于学生通过探究对三解函数图像的变换的 理解与探讨。通过学习我们明白了古代在三解函数图像的变换方面的成就,同时培养学生热爱数学的学习 态度。因此课后还应该补充大量的习题,使学生在课后得以巩固。


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