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金版学案2016


第1章

立体几何初步

1.1 空间几何体 1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球

[情景导入] 在我们生活的世界中,从土木建筑到家 居装潢,从机械设计到商品包装,从航空测绘到零件视 图……无不存在着形状各异的物体, 它们蕴含着形状各异 的圆柱、圆锥、圆台和球等空间图形.每种空间图形各自 具有不同的几何结构特征,与我们的生活息息相关,因此 对空间图形的研究和应用非常重要.

[学习目标] 1.感知并认识圆柱、圆锥、圆台和球的 结构特征,初步形成空间观念(难点).2.了解圆柱、圆锥、 圆台和球的概念,能画出圆柱、圆锥、圆台和球的示意图 (重点).3.能用运动变化的观点认识圆柱、圆锥、圆台和球 的辩证关系.

1.将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一 边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴, 旋转一周所形成的几何体, 分别叫作圆柱、 圆锥、 圆台. 这 条旋转轴叫作轴,垂直于轴的直角边旋转而成的圆面叫 作底面,斜边旋转而成的曲面叫作侧面,斜边叫作母线. 2.圆柱、圆锥、圆台和球的表示方法:圆柱 OO′, 圆锥 SO,圆台 OO′和球 O.

3.圆柱、圆锥、圆台的性质:①平行于底面的截面 都是圆;②轴截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等 腰梯形. 4.半圆弧绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成 的曲面叫作球面.半圆绕着它的直径所在的直线旋转一 周而形成的几何体叫作球体,简称球. 5.球的性质:球的任意截面都是圆.

6.一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线 旋转所形成的曲面称为旋转面.封闭的旋转面围成的几 何体称为旋转体. 7.由一些简单几何体组合而成的几何体叫作简单组 合体,通常包括多面体与多面体的组合,多面体与旋转 体的组合,旋转体与旋转体的组合.

圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 1.圆柱的结构特征:①两底面是全等的圆面;②所 有母线长相等且互相平行;③过圆柱的轴截面都是全等 矩形;④圆柱沿着它的一条母线剪开后的侧面展开图是 矩形.

2.圆锥的结构特征:①平行于底面的截面都是相似 的圆;②所有母线长相等且相交于一点;③过圆锥的轴 截面都是全等的等腰三角形;④圆锥沿它的一条母线剪 开的侧面展开图是扇形. 3.圆台的结构特征:①平行于底面的截面都是相似 的圆;②所有母线长相等且延长线相交于一点;③过圆 台的轴截面都是全等的等腰梯形;④圆台沿它的一条母 线剪开后的侧面展开圆是扇环.

4.球的结构特征:①过球心的截面都是全等的圆; ②球的直径垂直截面,所截得的都是相似的圆.

题型 1 旋转体的概念的理解与应用 [典例 1] 有下列命题: ①圆柱的母线长等于它的两底面圆心相连线段的 长; ②连接圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的线段是 它的母线;

③连接圆台两底面圆心的线段是它的轴; ④连接圆台两底面圆上各一点的线段是它的母线. 其中真命题的是________(填序号). 分析:本题主要考查圆柱、圆锥、圆台的概念,抓住 其特征即可解决.

解析:由概念知①②是真命题;轴是直线,故③是假 命题;圆台的母线延长后与轴相交,故④是假命题. 答案:①②

规律总结 圆柱、圆锥、圆台和球都是由一个平面图形绕着它的一 条特定边所在直线旋转而成的几何体——旋转体,研究旋转 体问题要抓住其定义的实质,尤其要关注母线和底面圆.

[变式训练] 1.下列命题正确的是________(只填序号). ①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得 的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的 旋转体是圆台; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;

④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴, 其余各边旋转 180°形成的曲面围成的几何体是圆锥. ⑤球面上四个不同点一定不在同一平面内.

解析: ①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋 转一周才可以得到圆锥; ②以直角梯形垂直于底边的一腰 所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台;

③它们的底面为圆面;④正确;作球的一个截面,在 截面的圆周上任意取四个不同的点,则这四点就在球面 上,故⑤错误. 答案:④

题型 2 简单组合体的组合与分割 [典例 2] 图中平面图形从下往上依次由等 腰梯形、矩形、半圆、圆、等腰三角形对接形成, 若将它绕直线 l 旋转一周后形成一个组合体, 下面说法不正确的是________(填序号).
(1)该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球; (2)该组合体中的圆锥和球只有一个公共点; (3)该组合体中的球和半球只有一个公共点.

解析:易知得到的组合体从上到下依次为圆锥、球、 半球、圆柱、圆台. 答案:(1)

规律总结 1.对于简单组合体的构成,必须明白该组合体是由 简单几何体拼接、截去还是挖去一部分而成的,因此,要 仔细观察简单组合体的组成,并充分结合柱、锥、台、球 的几何结构特征进行识别.

2.几何体的分割有利于我们将复杂几何体简单化, 也为以后几何体的表面积、体积的计算提供方便.分割时 要做到不重不漏,适当添加辅助线能达到事半功倍的效 果.

[变式训练] 2.如图所示的几何体的结构特征是_____________, 它是由________中的平面图形旋转得到的(把你认为正确 的图序填上).

解析: 由图可知该几何体是由圆锥和圆台拼接而成的 组合体.由圆锥、圆台的形成过程可知:平面图形的上半 部分应为一直角三角形的斜边(一条直角边垂直于轴),下 半部分应为一直角梯形的上底和腰(非直角腰),其下底与 直角三角形垂直于轴的直角边重合(没有这条边),观察可 知只有图①正确.
答案:由圆锥和圆台拼接而成的组合体 图①

题型 3 旋转体中相关量的计算 [典例 3] 用平行于底面的平面截圆锥所得圆台上、 下底面的面积之比为 1∶16,已知圆锥母线长是 3,求圆 台母线的长. 分析:本题应充分利用圆台的性质,特别是轴截面中 的有关比例关系.

解:设圆台上、下底面半径分别为 r,R, π r2 1 r 1 则 2= ? = , πR 16 R 4 3-l r 1 9 设圆台母线长为 l,则 =R= ?l= . 3 4 4

规律总结 解决有关圆台的基本元素问题, 一般先画出圆台的轴 截面或将圆台还原为圆锥, 有关元素之间的关系就体现出 来了.

[变式训练] 3. 圆锥被截所得的圆台上、 下底面半径之比是 1∶4, 截得的小圆锥的母线长和高分别是 3 cm,1 cm,求圆台 的高和母线的长.

解:截得的小圆锥的母线长和高分别是 3 cm,1 cm. 设圆台的高为 h, 1 1 由相似三角形的性质,得 = ,解得 h=3(cm), h+1 4 同理,可求圆台的母线长 l=9(cm).


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