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1.2.1 平面的基本性质(1)


高中数学 必修2

复习回顾与情境创设:

投影 空间几何体 平面图形

利用平面几何知识研究立体几何,是立体几何中最基本的数学方法和数学

思想现实生活中哪些事物能够给我们以平面的形象,它们的共同特征主要哪些?

问题:平静的湖面,干净的地面,课桌面,黑板面等

画面会给你留下怎样的印象呢?

1.平面的认识.
问题:当我们想象海平面是一平如镜时,它有什么特点? ① 一个平面的面积可以等于100cm2吗? 很大、很平.

无限延展(无边界、无面积)

②通常200页书会比20页书厚一些,那么200个平面

重合在一起时比20个平面重合在一起时厚吗?

没有厚薄之分

以上问题给了我们“平面”的直观形象,平面是一个不加定义的概念,

具有“平”、“无限延展”、“无厚薄”的特点.
本节课除了认识平面外,还要解决以下问题: (1)如何表示平面? (2) 空间的点、直线和平面具有怎样的位置关系? (3)如何用数学语言来表述和研究这些位置关系?

2.平面的画法及表示.
通常我们画出直线的一部分来表示直线;同 样地,我们也可以画出平面的一部分来表示平面. 右图中正方体的底面是什么形状? 为何画成了平行四边形? Ⅰ. 水平放置的平面(通常画成平行四边形) 锐角为45?; D 短边长为长边的一半. C

Ⅱ.平面的表示:
①用顶点字母表示,如平面ABCD.

A

?

B

②平行四边形也可用对角顶点的字母表示.如平面AC.

③用一个小写希腊字母表示(通常标在锐角),如平面?.
Ⅲ. 两个相交平面 被遮住的部分用虚线表示或不画

3.空间点、直线和平面的位置关系.
A1
在长方体ABCD—A1B1C1D1中,正方体的三个 面所在平面A1C1,A1B,BC1分别记作?,?,?. ? ?,D _____ ? ?; ? ?,C1 _____ ① A1??,B1_____ 1 ? ?,A1 _____ ? ?,B1 _____ ? ?; ② A??,B _____ BB1 ,?∩?=_____. B1C1 ④ ?∩?=A1B1, ?∩?=_____

D1

C1 B1

D
A B

C

3.空间点、直线和平面的位置关系.
(1)点与直线位置关系

自然语言
点A在直线l上

图形语言 A l

符号语言 A?l

点A不在直线l上

A

l

A?l

(2)点与平面位置关系
点A在平面?内

自然语言
?

图形语言

符号语言 A?? A??

?
A

A

点A不在平面?内

3.空间点、直线和平面的位置关系. (3)直线与直线位置关系(平面内)

自然语言
直线l1与直线l2相交

图形语言 A l1

符号语言

l2
l1

l1∩l2=A
l1∥l2

直线l1与直线l2平行

l2 图形语言

(4)直线与平面位置关系

自然语言
直线l与平面?交于P点

符号语言

?
A ?

P

l∩?=P B
B AB∥? AB??

直线AB与平面?平行
直线AB在平面?内

A?

类似地,还有平面与平面的位置关系

4.平面的基本性质.
如图,P??,Q??,则直线PQ与平面?的位置关系为 PQ∩?=P P

?
Q

公理1: 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这
条直线上所有的点都在这个平面内. A 用符号语言可表示为 B

?
或表示为
A?l A?? B?l B??

A??
B??

? AB??

? l??.

公理1利用点与平面的位置关系确定直线与平面的位置关系 或利用直线与平面的位置关系确定点与平面的位置关系

4.平面的基本性质.
公理2: 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这
些公共点的集合是经过此公共点的一条直线 .

符号表示:P??,P?? ? ?∩?=l,P?l .

公理2常用于:

①找两平面的交线;

②判定点在线上: P??,P??,且?∩?=l ? P?l. 即常用于判定三点共线或三线共点.

例1.如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,P为棱BB1的中点,画出由A1, C1,P三点所确定的平面?与长方体表面的交线. D1 C1 因为点P既在平面?内又在平面AB1内, A1 B1 所以点P在平面?与平面AB 的交线上.
1

同理点A1在平面?与平面AB1的交线上.
因此,PA1就是平面?与平面AB1的交线

P

D
A B

C

同理,连结PC1,A1C1,它们都是
平面?与长方体表面交线的一部分.

公理3:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面. 有——存在性 只有——惟一性

公理3可表述为:不在同一条直线上的三点,可以确定一个平面.

例2:已知△ABC在平面?外,它的三边所在直线分别交?于P,Q,R. 求证:P,Q,R三点共线. A

三点共线 ? 点在线上
B C Q

P

?

R

找两个平面的交线:
如图,点P是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上一点(不同于端点A、 B),试画出由D1,C,P三点所确定的平面?与长方体表面的交线. D1

A1
B1

C1

R
D A P B C

Q

练习:
1.下列叙述中,正确的是_______. ①因为P??,Q??,所以PQ??; ②因为P??,Q??,所以?∩?=PQ; ③因为AB??,C?AB,D?AB,所以CD??; ④因为AB??,AB??,所以?∩?=AB.

2.用符号表示下列语句,并画出图形: (1) 点A在平面?内,点B在平面?外;

(2)直线l 经过平面?外一点P和平面?内一点Q;
(3) 直线l在平面?内,直线m不在平面?内; (4) 平面?和?相交于直线AB;

(5) 直线l是平面?和?的交线,直线m在平面?内,l 和m相交于点P.

作业:
课本22页练习1-5题.


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