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【精品资料】高一数学正弦函数 余弦函数的图象与性质二


高一数学正弦函数 余弦函数的图象与性质二 教学目标: 知识目标: 周期函数的定义、周期函数的周期和最小正周期的定义,正弦函数和余弦函数的 周期的求法。 能力目标: 1.理解周期函数与(最小正)周期的意义,并通过正弦曲线、余弦曲线了解正 弦函数、余弦函数的性质; 情感目标: 使学生进一步了解从特殊到一般,从一般到特殊的辨证思想方法和分析、探索、 化归、类比的科学研究方法在解决数学问题中的应用。 教材分析: 重点: 周期函数的定义、周期函数的周期和最小正周期的定义,正弦函数和余弦函数的周 期的求法。 难点:周期函数与(最小正)周期的意义。 教学方法: 启发式教学法。 教学设备: 投影仪。 教与学过程设计: (一)复习与引入 教师在黑板上用五点法画出函数 y=sinx,y=cosx 的图象。 (二)新课 一、正余弦函数的周期性 函数 y=sinx,y=cosx 的周期(最小正周期)均为 2π,换句话说,自变量 x 只要并且至少 要增加到 x+2π,正余弦函数的值才能重复取得。 1、周期性是三角函数的一个特殊性质,正是由于这个特殊性质的存在,使得正弦、余弦函 数的图象、性质呈现出一种不断重复的特性。正是由于周期性,对三角函数的某些性质的解释 也就顺理成章了。 (极值、单调性的反复出现) 2、正余弦函数的周期性(突破重点与难点) 正余弦函数的这种特性可由诱导公式 sin(x+2kπ)=sinx,cos(x+2kπ)=cosx(k∈Z)来解释, 正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复取得的,我们作图也是按此性质画出的。像 正弦、余弦这种函数我们称为周期函数。若记 f(x)=sinx,上式如何表达? (f(x+2kπ)=f(x) ,其中 2kπ就是周期)同学们能不能用一条数学式子将周期函数表达出 来? 教师引导:对于任一个函数 f(x) ,若它是周期函数,周期为 T。则它在定义域内的任一点 x 上的函数值与它在此基础上过了一个周期的函数值是相等的,即 f(x)=f(x+T)。下面请同学们 给出周期函数的定义: 一般地,对于函数 f(x) ,如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时, 都有 f(x+T) = f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数。非零常数 T 就叫做这个函数的周期。 例如,2π,4π,…-2π,-4π…等都是正弦函数和余弦函数的周期,事实上,任何一个 常数 2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是这两个函数的周期。对于一个周期函数,如果在它所有的周期中, 存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期。例如正余弦函数的最小 正周期就是 2π。今后如不加特别说明,周期即指最小正周期。 周期函数的定义与奇函数、偶函数的定义有类似的地方: 函数 f ( x) 对于定义域内的每一个值,都有: f(-x)=-f(x) ,则为奇函数;f(-x)=f(x) ,则为偶函数;f(x+T)=f(x) ,则为周期 函数。 例3 判断下列语句的正误,并说明理由: 用心 爱心 专心 121 号编辑 1 ? ? ? (错,对定义域内的每一个值 x ? ) ? sin ,∴函数 y=sinx 的周期为 ; 4 2 4 2 3? ? 3? 都要满足 f(x+T) =f(x),只个别满足不能说 T 是它的周期,如 sin( ) ? ) ? sin 4 2 4 (1)∵ sin( (2)任何周期函数均有最小正周期; (错,反例:常数函数 f(x)=c) (3)若 T(T≠0)是函数 f(x)的周期,则 nT(n∈Z 且 n≠0)也是它的

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