当前位置:首页 >> 理学 >>

第二节离散型随机变量的概率分布(分布律)


第二节

离散型随机变量的概率分布(分布律)

一.离散型随机变量的分布律

引例

如图中所示,从中任取 3 个球 取到的白球数 X 是一个随机变量 X可能取的值是0,1,2

取每个值的概率为: 1 1 2 3 C32C2 6 C3 C 2 3 C3 1 P( X ?1)? 3

? P( X ?2)? 3 ? P ( X ?0)? 3 ? C5 10 C5 10 C5 10

且:
概率统计

? P( X ? i ) ? 1
i ?0

2

1.定义: 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为

? X ? xk ? 的概率为:
P ( X ? xk ) ? pk

xk , k ? 0,1,2?其各个可能取值 即事件
k ? 0,1, 2??

则 称 P ( X ? xk ) ? pk 为离散型 随机变量

X 的 概率分布 或 分布律.
注: 分布律可以列表给出

X

x0
p0

x1
p1

x2 ?? xn ??
p2 ?? pn ??

Pk

概率统计

2. 性 质

(1). pk ? 0, k ? 0,1, 2?
(2).

?p
k ?0

?

k

?1

用这两条性质判断 一个函数是否是 概率函数

注 ▲ 一般:求分布律时需验证这两条性质。若成 立则称得上是分布律,否则说明分布律求错.
▲ 具有离散型随机变量才具有分布律

概率统计

例1. 设在15只同类型的零件中有两只次品,现从中

抽取3只,以 X 表示取出3只中所含次品的个数. 求:X的分布律. 解: X 的可能取值: 0, 1, 2. X 的各种可能取值的概率如下:

C C 12 C C 22 P ( X ? 1) ? ? P ( X ? 0) ? ? 3 3 C15 35 C15 35
C C 1 P ( X ? 2) ? ? 3 C15 35
概率统计
1 13 2 2

3 13

0 2

2 13

1 2

所以其 分布律为: ( 显然每个Pk 图形:
22 35
12 35 1 35

X Pk
2 k ?0

0
22 35

1
12 35

2
1 35

pk

? 0, ? Pk ? 1)
亦称概率 分布图

0

1

2

xk

概率统计

思考题: 从中抽取3只,求次品数不大于1只 例2. 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9, 的概率有多大? 求:他两次独立投篮投中次数 X 的概率分布. 12 22 答案: P ( X ? 1) ? P ( X ? 0) ? P ( X ? 1) ? ? 解: X 可能取值为 0、1、2 则: 35 35

P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01 P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18 P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81 且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1
故得其分布律为:

X Pk

0
0.01

1
0.18

2
0.81

概率统计

例3. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红 绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其它信号灯 为红或绿相互独立,且红绿两种信号灯显示的时间相 等. 以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口 的个数,求:X 的概率分布. 解: 依题意, X 可取值 0, 1, 2, 3



Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3

路口3

路口2

路口1

则:P(X=0)=P(A1)=1/2
概率统计


X表示该汽车 首次遇到红灯 前已通过的路 口的个数

Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3

路口3

路口2

路口1

1 1 P(X=1)=P( A1 A2) ? ? = 1/4 2 2



Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3

路口3

路口2

路口1

1 1 1 P(X=2)=P( A1 A2 A3 ) ? ? ? =1/8 2 2 2
概率统计

X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数



Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3

路口3

路口2

路口1

1 1 1 P(X=3)= P( A1 A2 A3 )? ? ? =1/8 2 2 2
于是得其分布律为:

X Pk
概率统计

0
1 2

1
1 4

2
1 8

3
1 8

显 然,

? P( X ? i ) ? 1
i ?0

3

例4. 某加油站替公共汽车站代营出租汽车业务,
每出租一辆汽车,可从出租公司得到 3元. 因代营 业务,每天加油站要多付给职工服务费 60元. 设 每天出租汽车数 X 是一个随机变量,它的概率分 布如下:

X 10 Pk 0.15

20

30

40

0.25

0.45

0.15

求: 因代营业务得到的收入大于当天的额外 支出费用的概率.

概率统计

分析: 加油站代营每出租一辆车,可得3元.

若设每天出租汽车数为X,则因代营业 务得到的收入为 3X 元. 每天加油站要多付给职工服务费60元, 即当天的额外支出费用. 因代营业务得到的收入大于当天的额外 支出费用的概率为: P{3X>60} 即 : P{X>20}

概率统计

注意到:

X 10 Pk 0.15

20
0.25

30
0.45

40
0.15

所以得: P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6 也就是说,加油站因代营业务得到的收入大于 当天的额外支出费用的概率为 0.6. 故其经营决策者应该考虑是否继续代营此项业 务或应该考虑是否调整当天的额外支出费用.

概率统计

二. 几种常见的离散型随机变量的分布
1.(0 1)分布

若随机变量X只能取 0 与 1 两个值,它的分布律为:

P ( X ? k ) ? p (1 ? p)
k

(1? k )

k ? 0,1. 0 ? p ? 1

则称 X 服从 (0--1)分布,记为: X ~ (0,1) 列表:

X
Pk

0 1? p

1 p

概率统计

例4. 某次射击,已知某射手的命中率为0.8.
求:射击一次命中目标次数X的分布律. 解:

?

?

它只发一弹,要么打中,要么打不 中,分别记为 1与 0 分布律为:

X
Pk

0 0.2

1 0.8

注: ( 0—1 )分布的应用很广,比如: 检查产品的质量(正品与次品) 有奖储蓄券是否中奖(中与不中) 对婴儿性别进行登记(男与女) 高射炮射击敌机是否击中等等.
概率统计

2. 二项分布 (1).贝努利概型
0 .

1

n 次相互独立试验: 重复进行n次试验,若各次试 验的结果互不影响,即每次试验结果出现的概

率都不受其它各次试验结果的影响. 则 称 这 n
次试验是相互独立的. 说明: 把在相同的条件下重复进行n 次独立试验的

概率模型, 称为 n 次独立试验模型.

概率统计

2 贝努利概型: 设随机试验 E 只有两种可能的结果
P ( A) ? p, P ( A) ? 1 ? p ? q (0 ? p ? 1)
且在每次试验中 A与A 出现的概率 为:

0 .

则称这样的 n 次重复独立试验概型 为:n 重贝努利概型. 例5. 设生男孩的概率为 p, 生女孩的概率为 q=1-p, 令 X 表示随机抽查出生的4个婴儿 中“男孩”的个数.

求: X 的概率分布.
概率统计

X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数, 生男孩的概率为 p.

X=0

X =1

X =2

X =3

男 女 X =4

X可取值 0, 1, 2, 3, 4. X的概率函数是:

P { X ? k } ? C p (1 ? p )
k 4 k

4? k

,

k ? 0,1, 2, 3,4

概率统计

例6. 将一枚均匀骰子抛掷 3 次, 令:X 表示 3 次中出现“4”点的次数

求: X的概率函数
解: 显然, X的概率函数是:

1 k 5 3? k P {X ? k } ? C ( ) ( ) , 6 6
k 3

k ? 0 ,1, 2 , 3

概率统计

3

0 .

定理

设一次试验中事件A发生的概率为 p , (0 ? p ? 1)
则在 n 次贝努利试验中事件A 恰发生 k 次概率为:

Pn ( k ) ? C p (1 ? p)
k n k

n? k

( k ? 0,1, 2?? n)

证明: 按独立事件的概率计算公式可知,n 次试验 中事件A 在某 k 次 ( 例如前 k 次) 发生而其余 n-k 次不发生的概率应为:

p ? p?? p ? (1 ? p)(1 ? p)?(1 ? p) ? pk (1 ? p)n? k ?? ? ????????? ?? ? ?
k n? k

概率统计

由于现在只考虑事件A 在n 次试验中发生 k 次而不论
k C n 种不同的发生方式. 在哪 k 次发生,所以它应有

而且它们是相互独立的,故在 n 次试验中A发生 k 次的概率 ( 依概率的加法定理) 为:

Pn ( k ) ? C p (1 ? p)
k n k

n? k

( k ? 0,1, 2?? n)

概率 Pn ( k ) 就等于二项式 [(1 ? p) ? px ]n 的展开式中 x k 注 ▲ 显然它满足: 的系数,这也是二项分布的名称的 P ( X ? k ) ? 0, 由来.
k C n p k (1 ? p)n? k ? ( p ? q )n ? 1 ? k ?0 n

概率统计

例7. 设某炮手射击的命中率为 0.8,为炸毁某个目 标, 经预测只要命中两发就够炸毁.

问:希望发射5发炮弹就能炸毁目标的可能性有多大?
解: A : 发射 5 发炮弹就炸毁了目标

P ( A) ? P(至少中两发)
=P (恰好中两发) P + (恰好中三发) +P (恰好中四发)+ P (恰好中五发)

? C 52 (0.8)2 (1 ? 0.8)3 ? C 53 (0.8) 3 (1 ? 0.8) 2 ? C (0.8) (1 ? 0.8) ? C (0.8) (1 ? 0.8)
4 5 4 5 5 5 0

? 0.98
概率统计

(2). 二项分布 若用X表示 n 重贝努利概型中事件A 发生的次数, 它的分布 律为:

Pn ( k) ? C p (1 ? p )
k n k

n k ?

k? 0,1,2

?n

则称 X 服从参数为 n, p (0<p<1) 的二项分布,
记为: 列表:

X~B(n, p)

X
Pn ( k )

0

1

2?? n

Pn (0) Pn (1) Pn (2)?? Pn ( n)

概率统计

注 ▲ 特别当n=1时,二项分布即为 ( 0---1 ) 分布 ▲ 二项分布 X~B(n,p) 的图形特点: 对于固定n 及 p,当 k 增加时 ,概率P(X=k) 先是随之增加直至达 到最大值,随后单调 减少.

Pk

0

...
n=10,p=0.7

n

概率统计

当(n+1)p为整数时 概率P(X=k) 在k=(n +1)p 和 k=(n+1)p-1处 达到最大值.

Pk

.. 0

.. n
n=13,p=0.5

当 (n+1)p 不为整数时,概率 P(X=k) 在 k=[(n+1)p] 达到最大值
其中:[x] 表示不超过 x 的最大整数

概率统计

例8 已知100个产品中有5个次品,现从中 有放回地取3次,每次任取1个 求: 在所取的3个中恰有2个次品的概率. 解: 因为这是有放回地取3次,因此这3 次试验 的条件完全相同且独立,它是贝努里试验.

依题意,每次试验取到次品的概率为0.05. 设 X 为所取的3个中的次品数,
则 X ~ B (3, 0.05) 于是,所求概率为:
2 P ( X ? 2 ) ? C3 (0.05)2 (0.95) ? 0.007125

概率统计



古典概型与贝努里概型 有何区别?

若将本例中的“有放回”改为”无放回”,那 么 各次试验条件就不同了,就不是贝努里概型, 此时,只能用古典概型求解. 1 2
C95C5 P ( X ? 2) ? 3 C100

贝努里概型对试验结果没有等可能的要求,但要求: (1)每次试验条件相同,各次试验相互独立

(2)每次试验只考虑两个互逆结果A 或 A
且 P (A) ? p ,
概率统计

P (A) ? ?p 1

例9. 若一年中参加人寿保险者里面每个人死亡的概 率为0.005,现有10000个这类人参加人寿保险. 试求:在未来一年中在这些保险者里面: (1).有10人死亡的概率 (2).死亡人数不超过10人的概率.
解: 这是贝努利概型. 设 X: 在未来一年中这些保险者中的死亡人数. 则: X~B( 10000, 0.005 ) (1).有10人死亡的概率为:

P ( X ? 10) ? C
概率统计

10 10000

(0.005) (0.995)

10

9990

(2). 死亡人数不超过10人的概率是:
k P ( X ? 10) ? ? C10000(0.005)k (0.995)10000? k k ?0 10

这些计算是非常麻烦的,现给出一个当 n 很大,p 很小时的近似计算公式,即二项分布的Possion逼近.
泊松(Possion) 设 X ~ B(n, p), ? ? 0 是一常数 定理 且 ? ? nPn 则对任一固定的非负

整数 k 有:

lim Pn ( k) ?
n??

? e
k

??

k!

概率统计

k k ? Pn ( k ) ? C n pn (1 ? p)n? k 证明:

n( n ? 1)?( n ? k ? 1) ? k ? n? k ? ? ( ) ? (1 ? ) k! n n ? n (1 ? ) k ? 1 2 k ?1 n ? [1 ? (1 ? ) ? (1 ? )? (1 ? )] ? k k! n n n (1 ? ) n n ? e?? ? ? ? ?? [(1 ? ) ] k ? 1 2 k ?1 n ? [1 ? (1 ? ) ? (1 ? )? (1 ? )] ? k k! n n n (1 ? ) k ?? n ? e

? lim Pn ( k ) ?
n??

k!

概率统计

注: 一般的用

? k e??
k!

去近似二项分布的 Pn ( k ) 当:
见本教材 第二版的 P372的附 表3

n ? 20, p ? 0.05 时近似效果颇佳 n ? 100, np ? 10 时近似效果更好
泊松定理中
? k e??
k!

的值有表可查

例10. 用泊松定理中的近似公式计算例 9

(1) 解: ?

(50)10 ? e ?50 ? P ( X ? 10) ? 10! 10 (50)k e ?50 (2) P ( X ? 10) ? ? k! k ?0

? ? 10000 ? 0.005 ? 50

1万人参加 保险,每人 的死亡率为 0.005. 求:10人死亡 小于10人死 亡的概率

概率统计

注: 这里? ? 50 附表3 没有列入,n 确实很大时更进 一步的计算将在第五章介绍中心极限定理之后 再来解决比较方便.

? 若现将“每个人死亡的概率改为0.0005”,则 ? 5

5 ?e 9765625 ? 0.0067379 P ( X ? 10) ? ? 10! 3628800 ? 0.01813 10 ?5 ? 5 e P ( X ? 10) ? 1 ? P ( X ? 10) ? 1 ? ? k ?10 10! ? 1 ? 0.031828 ? 0.96817
10

?5

概率统计

例11 设有80 台同类型设备,各工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障能由一 个人处理。现考虑两种配备维修工人的方法:其一 是由4人维护,每人负责20台;其二是由3人共同维 护80台. 试比较:这两种方法在设备发生故障时不能及时维 修的概率大小. 解:(1)在第一种配备方法中

Ai : 第 i 人维护的20台中发生故障不能及时维修 X : 第 1 人维护的20台中同一时刻发生故障的台数
则:在80台中发生故障而不能及时维修的概率为:

概率统计

P ( A1 ? A2 ? A3 ? A4 ) ? P ( A1 ) ? P ( X ? 2)
而 X ~ B(20,0.01), ? ? np ? 0.2 ? (0.2)k ? e ?0.2 ? P ( X ? 2) ? ? ? 0.0175231 k! k ?2

即 P ( A1 ? A2 ? A3 ? A4 ) ? 0.0175
(2)在第二种配备方法中 Y : 80台中同一 时刻发生故障的台数

而 Y~B(80,0.01), ? ? np ? 0.8
则在80台中发生故障而不能及时维修的概率为:

概率统计

(0.8) e P (Y ? 4) ? ? k! k ?4

?

k

?0.8

? 0.0091

结论: 经比较,采用第二种配备方法虽然人员减 少,每个人的任务加重(每人平均维护 27台),但 质量不仅没降低,反而提高了,故应采用第二种 配备方法。 3. 泊松分布 定理:若随机变量X 的所有可能取值为: 0,1, 2,?? 而它的分布律(它所取值的各个概率)为:
k ??

?e P( X ? k ) ? k ? 0,1,2, ? k! 其中? ? 0 是常数. 则 称 X 服从参数为 ? 的 泊松分布,记为 X~P (? )
概率统计

注 ▲ 泊松分布满足分布律的两个条件:

P ( X ? k ) ? 0,

? P( X ? k ) ? 1
k ?0

?

▲ 泊松分布 X ~ P (? ) 的图形特点:

概率统计

▲ 二项分布与泊松分布的关系 由泊松分布的定义及泊松定理可知: 当 n ? ? 泊松分布是二项分布的

近似。
(这是1837 年由法国数学家泊松引入的 ) 在实际中,许多随机现象服从或近似 服从泊

松分布。 若把在每次试验中出现概率很小
的事件称作稀有事件。 比如:

概率统计

比如: 地震、火山爆发、特大洪水、

意外事故 等等

由泊松定理,n 重贝努里试验中稀有事件

出现的次数近似地服从泊松分布.
概率统计

▲ 泊松分布产生的一般条件

在自然界和人们的现实生活中,经常要遇 到在随机时刻出现的某种事件.我们把在随机 时刻相继出现的事件所形成的序列,叫做随机 事件流. 若事件流具有平稳性、无后效性、普通性, 则称该事件流为泊松事件流(泊松流) 平稳性:

在任意时间区间内,事件发生k 次(k≥0)的 概率只依赖于区间长度而与区间端点无关.
概率统计

无后效性
在不相重叠的时间段内,事件的发生是相 互独立的. 普通性 如果时间区间充分小,事件出现两次或两 次以上的概率可忽略不计. 例如: 一放射性源放射出的 ? 粒子数
概率统计

例如
某电话交换 台收到的电 话呼叫数 一个售货 员接待的 顾客数

到某机场 降落的飞 机数 一台纺纱机的断头数 ……… 都可以看作泊松流.
概率统计

例12 一家商店采用科学管理,由该商店过去的销售 记录知道,某种商品每月的销售数可以用参数 λ =5 的泊松分布来描述,为了以95%以上的把 握保证不脱销 问:商店在月底至少应进某种商品多少件? 解: 设该商品每月的销售数为X 已知 X 服从参数λ=5 的泊松分布.

设商店在月底应进某种商品 m 件 求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的 m

销售数
概率统计

进货数

求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m. 也即求: P(X>m) ≤ 0.05
? ?5

e 5 ? 0.05 或 ? k! k ? m ?1
查泊松分布表得:

k

e 5 ? k ! ?0.032, k ?10
于是得 m+1=10,
概率统计

?

?5

k

e 5 ? k ! ?0.068 k ?9
即:m=9件

?

?5

k


相关文章:
离散型随机变量及其概率分布
第二节 离散型随机变量及其概率分布 (2 学时) 教学目的 使学生熟练掌握常用离散型的概率分布。 教学重点和难点 本节的重点是两点分布,二项分布,泊松分布。 本...
第三章 多维随机变量及其分布
第三章 多维随机变量及其概率分布 第一节 多维随机变量的概念 一、联合分布函数...第二节 二维离散型随机变量 一、联合分布律 定义 4: 如果二维随机变量 ( X ...
概率统计第二章 随机变量及其分布
? 第二节 离散型随机变量及其分布律一.离散型随机变量及其分布律 1. 离散型...离散型随机变量的概率分布(Probability (mass) function).:离散型随机变量 X 的...
概率论与数理统计
第二节 随机变量及其分布一、随机变量的分布函数(1)离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量 X 的可能取值为 xk(k ? 1,2,3 ? ? ?) 且取各个值的概率...
概率教案
随机变量的个数来分,随机变量可分为一维随机变量和多维随机变量. 3 第二节 ...1,2,? 为离散型随机变量 X 的概率分布列,也称为或分布律,简称分布. 也...
概率论作业1
二、有人来访,他坐火车、汽车和飞机的概率分别为 0.4,第三节 条件概率 一...第五节 1.设离散型随机变量 X 的分布律随机变量的函数的分布 求 Y ? ...
设离散型随机变量X的概率分布为求:(1)2X+1的概率分布;(...
简答题 数学 离散型随机变量的期望与方差 设离散型随机变量X的概率分布为 求...北京师范大学第二附属中学©2016 Baidu 使用百度前必读 | 文库协议 ...
离散型随机变量及其分布律
5.离散型随机变量及其分布律【教学内容】 :高等教育出版社浙江大学盛骤,谢式千,潘承毅编的《概率论与数理统计》 第二章第§2 离散型随机变量及其分布律 【教材...
随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ=k)=a(11-2k)(k=1、2、...
单选题 数学 离散型随机变量及其分布列 随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ=k)=a(11-2k)(k=1、2、3、4、5),其中a是常数,则P()的值为( ) A B ...
概率论与数理统计B教案第二章
第二节 离散型随机变量及其分布函数 内容要点: 一、离散型随机变量及其概率分布...为 X 的概率分布分布律, 也称概率函数. 常用表格形式来表示 X 的概率分布:...
更多相关标签:
离散型随机变量 | 离散型随机变量的方差 | 离散型随机变量的均值 | 离散型概率分布 | 离散型随机变量的期望 | 二维离散型随机变量 | 离散型随机变量分布列 | 离散型随机变量教案 |