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天津市蓟县2015-2016学年高一数学下学期期中试题(扫描版)


天津市蓟县 2015-2016 学年高一数学下学期期中试题(扫描版)

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2016 年高一年级第二学期期中考试题 (数学) 一.选择题: 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 C 5 B 6 D 7 B 8 D 9 C 10 B 二.填 空题: 11. 2 三.解答题: 16. 解: (I)设等差数列 {an } 的公差为 d,则 an ? a1 ? (n ? 1)d. 由 a1 ? 1, a2 ? ?3可得1 ? 2d ? ?3. 解得 d=-2 ……………………………………………………………..4 分 ……………………..2 分 12. {x | ?1 ? x ? 0} 13. 120 ? 14.

9 10

1 5. ? 3

从而, an ? 1 ? (n ?1) ? (?2) ? 3 ? 2n. ……………………………………………….6 分 (II)由(I)可知 an ? 3 ? 2n , 所以 S n ?

n[1 ? (3 ? 2n)] ? 2n ? n 2 . …………………………………………………8 分 2

2 进而由 Sk ? ?35 可得 2k ? k ? ?35
2 即 k ? 2k ? 35 ? 0 ,解得 k ? 7或k ? ?5.

又 k ? N , 故k ? 7 为所求。………………………………………………………………12 分
*

17. 解:设公比为 q ,

?a1 ? a1 q 2 ? 10 ? 由已知得 ? 5 3 5 ?a1 q ? a1 q ? 4 ?
解得
3 ②÷①得 q ?

…………………………………………..4 分

1 1 , 即q ? ,………………………………………………… ..6 分 8 2


1 将 q ? 代入①得 a1 ? 8 , 2 1 ? a 4 ? a1 q 3 ? 8 ? ( ) 3 ? 1 ,………………………………………………….8 分 2

11

1 ? ? 8 ? ?1 ? ( ) 5 ? a (1 ? q ) 2 ? 31 ? s5 ? 1 ? ? …………………………………….12 分 1 1? q 2 1? 2
5

18. 解: (Ⅰ)? cos B cos C ? sin B sin C ?

1 2
................................

? cos( B ? C ) ?
...................2 分

1 2

又? 0 ? B ? C ? ? ,? B ? C ?

?
3

?A? B?C ??



?A?

2? . 3

.........................................................4 分

(Ⅱ)由余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A 得

(2 3 ) 2 ? (b ? c) 2 ? 2bc ? 2bc ? cos
........................6 分 即

2? 3

............................



1 12 ? 16 ? 2bc ? 2bc ? (? ) , ..... ........................................ 2
.........................................8 分

? bc ? 4

......................................................... ...... ....................................................10 分

? S ?ABC ?

1 1 3 bc ? sin A ? ? 4 ? ? 3 2 2 2

.......... ..............................

............................12 分
2 19. 解: (Ⅰ)当 a ? 5 时, f ( x) ? x ? 5x ? 6 .



f ( x) ? 0

,



x 2 ? 5x ? 6



0. .......... ........................................................... ........2 分 即 ( x ? 2)(x ? 3) ? 0 . 所以

?3 ? x ? ?2 .

………………6 分 ………………8 分

2 (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 R,则有 ? ? a ? 4 ? 6 ? 0 .

解得 ? 2 6 ? a ? 2 6 ,即实 数 a 的取值范围是 (?2 6,2 6 ) . …… ………………..12

12

分 20. 解: (Ⅰ)在△ABD 中,由已知得 ∠ADB= 60? ,B= 45? . 由正弦定理得

AD ?

AB sin B ? sin ADB

12 6 ? 3 2

2 2 ? 24 .…………………………………………….…6 分

(Ⅱ)在△ADC 中,由余弦定理得
2 C D ?

A2 D ?

A2 2 ? C

A ? D c oA s ,解得 C 3 0 ? CD= 8 3 .

所以 A 处与 D 处之间 的距离为 24 n mile,灯塔 C 与 D 处之间的距离为 8 3 n mile. ………………12 分 21. 解: (I)画出可行域如图:

………………………………………………………4 分 令 z ? x ? y ,可变为 y ? ? x ? z , 作出目标函数线 y ? ? x ,平移目标函数线,显然过点 A 时 z 最大. 由?

?2 x ? y ? 3 ? 0 得 A( 4,5) ,∴ zmax ? 4 ? 5 ? 9 .……………………………..8 分 ?x ? y ? 1 ? 0

(II) x 2 ? y 2 是 点 ( x, y ) 到 原 点 的 距 离 的 平 方 , 故 最 大 值 为 点 A( 4,5) 到 原 点 的 距 离 的 平 方 , 即 | AO |2 ? x 2 ? y 2 ? 42 ? 52 ? 41.………………………………………………10 分

22. 解: (I)由已知得:
sin B(sin A cos C ? cos A sin C ) ? sin A sin C , sin B sin( A ? C ) ? sin A sin C , sin 2 B ? sin A sin C ,

再由正弦定理可得: b 2 ? ac , 所以 a , b, c 成等比数列. …………………………………5 分
13

(II)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b2 ? ac ? 2 , ∴ cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 3 ? , 2ac 4
7 , 4 1 1 7 7 ac sin B ? ? 1 ? 2 ? ? 2 2 4 4

sin C ? 1 ? cos 2 C ?

∴△ ABC 的面积 S ?

…………… ………………10 分

23. 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,则依题意有 q ? 0 且?

?1 ? 2d ? q 4 ? 21, ? …………………………………………………………………….2 分 2 1 ? 4 d ? q ? 13 , ? ?

解得 d ? 2 , q ? 2 . 所以 an ? 1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 ,

bn ? qn?1 ? 2n?1 .………………………………………………………………………..…6 分
(Ⅱ)

an 2n ? 1 ? n?1 . bn 2

3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?2 ? n ?1 ,① 1 2 2 2 2 5 2n ? 3 2n ? 1 2Sn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?3 ? n ? 2 ,②…………………………………………..…8 分 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 ②-①得 S n ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 , 2 2 2 2 Sn ? 1 ?

1 ? 2n ? 1 ? 1 1 ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? ? n?2 ? ? n?1 2 ? 2 ? 2 2

1 n ?1 2n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 2n ? 3 ? 6 ? n ?1 . 2 1?

… …………………………………………………..10 分

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