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甘肃省兰州一中2017届高三数学第一次月考试题



甘肃省兰州一中 2017 届高三数学第一次月考试题
第 I 卷 (选择题 共 60 分)

一、选择题: (本大题共 12 小题 ,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 ) 1.设集合 A={x|x>a},集合 B={-1,1,2},若 A∩B=B,则实数 a 的取值范围是 A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)

2.已知复数

a?i 为纯虚数,那么实数 a ? 1? i
(B) ?

(A) ?1

1 2

(C) 1

(D)

1 2

3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和如图 2 所示,为了了解该地区中小学生的近视 形成原因,用分层抽样的方法抽取错误!未找到引用源。的学生进行调查,则样本容量和抽取的高 中生近视人数分别为( )
近视率/%

小学生 3500名

高中生 2000名

50 30

初中生 4500名 图1

10 O 小学 初中 图2 高中 年级

A.错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。
到引用源。

B.错误!未找到引用源。 ,错误!未找 D.错误!未找到

C.错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。

引用源。 ,错误!未找到引用源。 4. 已知等差数列错误!未找到引用源。前 9 项的和为 27,错误!未找到引用源。,则错误!未找到 引用源。 ( (A)100 ) (B)99 (C)98 (D)97 , f (?2) ? f (log2 12) ? ( )

5. 设函数 f ( x) ? ? A.3 B.6

?1 ? log 2 (2 ? x), x ? 1,
x ?1 ?2 , x ? 1,

C.9

D.12

6. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的的体积 为( )

1

A.

8 ? 2? 3

B.

8 ?? 3

C. 4 ? 2?

D. 4 ? ?

7. 已知直线 l:x+ay-1=0(a ? R)是圆 C: x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 的对称轴.过点 A(-4,a)作 圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|= A、2 B、 4 2 ( ) C、6 D、 2 10 )

8. 执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出的 s 的值是 (

A.1

B.2

C.4 )

D.7

9. 甲、乙、丙三人站在一起照相留念,乙正好站在甲丙之间的概率为( A.

1 2

B.

1 3


C.

1 4

D.

1 6

10. 函数 y ? x sin x ? cos x 的图象大致为(

2

11. 已知抛物线 y ? 8 x 的焦点到双曲线 E :
2

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线的距离不大于 a2 b2

3 ,则双曲线 E 的离心率的取值范围是(
A. (1, 2 ] B. (1,2]

) D. [2,??)

C. [ 2 ,??)

12. 设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ,且当 x ? [?2, 0] 时, f ( x) ? ?

?1? ? ? 1 .若在区间 ? ?2, 6? 内关于 x 的方程 f ( x) ? log a ( x ? 2) ? 0(a ? 1) 恰有 3 个不 ?2?
) (C) 1, 3 4

x

同的实数根,则实数 a 的取值范围是( (A)

?

3

4, 2

?

(B) ? 2, ?? ?

?

?

(D) ?1, 2 ?

第 II 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 设向量 a=(m,1),b=(1,2),且|a+b| =|a| +|b| ,则 m=
?x ? y ≤ 0 , ? 14. 若 x , y 满足 ? x ? y ≤ 1 , 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?x ≥ 0 , ?
2 2 2

.

15. 在 (1 ? 2 x) 的展开式中, x 的系数为__________________.(用数字作答)
6

2

16. 若等比数列错误!未找到引用源。的各项均为正数,且错误!未找到引用源。,则错误!未找 到引用源。 .

三、解答题: (本题共 6 小题,共 70 分,解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤).
x x x 17.已知函数 f ( x) ? 2 sin cos ? 2 sin 2 . 2 2 2

(Ⅰ) 求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ) 求 f ( x) 在区间 [? π ,0] 上 的最小值. 18. 2016 年 1 月 1 日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态 度,某市选取 70 后和 80 后作为调查对象,随机调查了 100 位,得到数据如下表:

3

(Ⅰ) 以这 100 个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率,若从该市 70 后公民中随机 抽取 3 位,记其中生二胎的人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望; (Ⅱ)根据调查数据,是否有 90 0 0 以上的把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由: 参考数据:

(参考公式:

n ? ad ? bc ? K ? ? a ? b ?? a ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

,其中 n ? a ? b ? c ? d )

19. (本小题满分 12 分) 如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD =DC.E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA∥平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD; (3)求二面角 C-PB-D 的大小. 20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)是否存在与椭圆 C 交于 A, B 两点的直线 l : y ? kx ? m(k ? R) ,使得 OA? OB ? 0 成立?若 存在,求出实数 m 的取值范围,若不存在,请说明理由.

1 ,右焦点到右顶点的距离为1 . 2

21.已知函数 f(x)=lnx- ,g(x)=f(x)+ax-6lnx,其中 a∈R. (Ⅰ)当 a=1 时,判断 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 g(x)在其定义域内为增函数,求正实数 a 的取值范围; 22.(本题满分 10 分) 选修 4-1《几何证明选讲》 已知 A、B、C、D 为圆 O 上的四点,直线 DE 为圆 O 的切线, AC∥DE,AC 与 BD 相交于 H 点 (1)求证:BD 平分∠ABC;

a x

4

(2)若 AB=4,AD=6 ,BD=8,求 AH 的长. 23. (本小题满分 10 分)《选修 4—4:坐标系与参数方程》 已知直线 l 的参数方程为

x?t ? ? (t 为参数),若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点,Ox 方向为极轴,选择相同的长度 ? 2 ? 3t ?y ? ? 2
π 单位建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标方程为 ρ =2cos(θ - ). 4 (1)求直线 l 的倾斜角和曲线 C 的直角坐标方程;

(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,设点 P(0,

2 ) ,求 PA ? PB . 2

(24) (本小 题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | (Ⅰ)若不等式 f ( x) ? 2 的解集为 [0, 4] ,求实数 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 ?x 0 ? R ,使得 f ( x 0 ) ? f ( x 0 ? 5) ? m ? 4m ,求实数 m 的取
2

值范围.

5

甘肃省兰州一中 2017 届高三第一次月考试题答案 第 I 卷 (选择题 共 60 分)

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 ) 1. D 7.C 2.C 8.C 3.A 9.B 4. 10.D C 5.C 11.B 6.D 12.A

第 II 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ?2 14. 2 15. 60 16. 50

三、解答题: (本题共 6 小题,共 70 分,解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤).
x x x 17.已知函数 f ( x) ? 2 sin cos ? 2 sin 2 . 2 2 2

(Ⅰ) 求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ) 求 f ( x) 在区间 [? π ,0] 上的最小值. 【答案】 (1) 2? , (2) ?1 ?

2 2

(Ⅰ)

f(x ) ?

2 sin

x
2

cos

x
2

?

2 sin2

x
2

?

2?

1 sin x ? 2

2?

1 ? cos x ? 2

?

2 2 2 ? 2 sin x ? cos x ? ? sin(x ? ) ? ???6 分 2 2 2 4 2

(1) f (x )的最小正周期为T ?

2? ? 2? ; 1

(2)? ?? ?

x ? 0,? ?

3? ? ? ? ? 3? ? x ? ? ,当 x ? ? ? ,x ? ? 时, 4 4 4 4 2 4
2 2
???12 分

f(x )取得最小值为: ?1 ?

18. 2016 年 1 月 1 日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态 度,某市选取 70 后和 80 后作为调查对象,随机调查了 100 位,得到数据如下表:

6

(1)以这 100 个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率,若从该市 70 后公民中随机 抽取 3 位,记其中生二胎的人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望; (2)根据调查数据,是否有 90 0 0 以上的把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由: 参考数据:

(参考公式:

n ? ad ? bc ? K ? ? a ? b ?? a ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

,其中 n ? a ? b ? c ? d )

???6 分

??12 分 19. (本小题满分 12 分) 如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD, PD =DC.E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F.

7

(1)证明 PA∥平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD; (3)求二面角 C-PB-D 的大小. (1)证明 如图所示, 连接 AC,AC 交 BD 于 O,连接 EO. ∵底面 ABCD 是正方形, ∴点 O 是 AC 的中点. 在△PAC 中,EO 是中位线, ∴PA∥EO. 而 EO? 平面 EDB 且 PA?平面 EDB, ∴PA∥平面 EDB. ???4 分

(2)证明 ∵PD⊥底面 ABCD,且 DC? 底面 ABCD, ∴PD⊥DC.∵PD=DC,可知△PDC 是等腰直角三角形. 而 DE 是斜边 PC 的中线,∴DE⊥PC.① 同样,由 PD⊥底面 ABCD,BC? 平面 ABCD, 得 PD⊥BC. ∵底面 ABCD 是正方形,有 DC⊥BC.又 PD∩CD=D, ∴BC⊥平面 PDC. 而 DE? 平面 PDC,∴BC⊥DE.② 由①和②且 PC∩BC=C 可推得 DE⊥平面 PBC. 而 PB? 平面 PBC,∴DE⊥PB. 又 EF⊥PB 且 DE∩EF=E, ∴PB⊥平面 EFD. (3)解 由(2)知,PB⊥DF. 故∠EFD 是二面角 C-PB-D 的平面角. 由(2)知 DE⊥EF,PD⊥DB. 设正方形 ABCD 的边长为 a, 则 PD=DC=a,BD= 2a, ???8 分

PB= PD2+BD2= 3a, PC= PD2+DC2= 2a,
8

DE= PC=

1 2

2 a, 2

在 Rt△PDB 中,DF=

PD·BD a· 2a 6 = = a. PB 3 3a DE 3 = , DF 2

在 Rt△EFD 中,sin∠EFD= ∴∠EFD=60°.

∴二面角 C-PB-D 的大小为 60°. ???12 分 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)是否存在与椭圆 C 交于 A, B 两点的直线 l : y ? kx ? m(k ? R) ,使得 OA? OB ? 0 成立?若存 在,求出实数 m 的取值范围,若不存在,请说明理由. 解析: (1)设椭圆 C 的方程为

1 ,右焦点到右顶点的距离为1 . 2

c 1 x2 y 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? ,半焦距为 c . 依题意 e ? ? ,由右 2 a 2 a b

2 2 2 焦点到右顶点的距离为 1 ,得 a ? c ? 1 .解得 c ? 1 , a ? 2 .所以 b ? a ? c ? 3 .

所以椭圆 C 的标准方程是

x2 y 2 ? ? 1.???4 分 4 3

(2)解:存在直线 l ,使得 OA? OB ? 0 成立.理由如下:

? y ? kx ? m, ? 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 . ? 1, ? ? 3 ?4

? ? (8km)2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12) ? 0 ,化简得 3 ? 4k 2 ? m2 .
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

8km 4m 2 ? 12 x x ? , . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

若 OA ? OB ? 0 .所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 ,

??? ? ??? ?

(1 ? k ) x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? 0 , (1 ? k ) ?
2 2

2

4m2 ? 12 8km ? km ? ? m2 ? 0 , 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k

2 2 2 化简得, 7m ? 12 ? 12k .将 k ?

7 2 7 m ? 1 代入 3 ? 4k 2 ? m2 中, 3 ? 4( m 2 ? 1) ? m 2 , 12 12

解得, m2 ?

12 3 2 2 2 .又由 7m ? 12 ? 12k ? 12 , m ? , 7 4

9

2 从而 m ?

12 2 2 21 或 m ? ? 21 . ,m ? 7 7 7

所以实数 m 的取值范围是 (??, ?

2 2 21] ? [ 21, ??) . 7 7

?12 分

21.已知函数 f(x)=lnx- ,g(x)=f(x)+ax-6lnx,其中 a∈R. (1)当 a=1 时,判断 f (x)的单调性; (2)若 g(x)在其定义域内为增函数,求正实数 a 的取值范围; 解:(1)由 f(x)=lnx- ,得 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= 当 a=1 时,f′(x)=

a x

a x

x+a , x2

x+1 >0(x>0),f(x)在(0,+∞)上单调递增.???5 分 x2 a x

(2)由已知得,g(x)=ax- -5lnx,其定义域为(0,+∞),

a 5 ax2-5x+a g′(x)=a+ 2- = . x x x2
因为 g(x)在其定义域内为增函数,所以? x∈(0,+∞),

g′(x)≥0,即 ax2-5x+a≥0,即 a≥


5x . x2+1

5x 5 5 = ≤ ,当且仅当 x=1 时,等号成立, x2+1 1 2 x+ x ???12 分

5 所以 a≥ . 2

22.(本题满分 10 分) 选修 4-1《几何证明选讲》 已知 A、B、C、D 为圆 O 上的四点,直线 DE 为圆 O 的切线, AC∥DE,AC 与 BD 相交于 H 点 (1)求证:BD 平分∠ABC; (2)若 AB=4,AD= 6,BD=8,求 AH 的长. 22. 解 : 证 明 :(1) ∵ AC ∥ DE, ∴ ?CDE=?DCA, 又 ∵ ?DBA=?DCA, ∴ ?CDE=?DBA ∵直线 DE 为圆 O 的切线,∴?CDE=?DBC 故?DBA=?DBC,即 BD 平分∠ABC ?????????????5 分

AH AB (2)∵?CAB=?CDB,且?DBA=?DBC,∴?ABH∽?DBC,∴ = CD BD 又?EDC=?DAC=?DCA,∴AD=DC ???????????8 分

10

AH AB ∴ = , ∵AB=4,AD=6,BD=8∴AH=3 AD BD

???????????10 分

23. (本小题满分 10 分)《选修 4—4:坐标系与参数方程》

x?t ? ? 已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数),若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点,Ox 方向 2 y ? ? 3 t ? ? 2
π 为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标方程为 ρ =2cos(θ - ). 4 (1)求直线 l 的倾斜角和曲线 C 的直角坐标方程;

(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,设点 P(0,

2 ) ,求 PA ? PB . 2



(1)直线 l 倾斜角为

? ?????2 分 3
2 2 2 2 ) +(y- ) =1?????5 分 2 2

曲线 C 的直角坐标方程为(x-

(2)容易判断点 P(0,

2 ) 在直线 l 上且在圆 C 内部,所以 PA ? PB ? AB ?????6 分 2
2 ?????8 分 2

直线 l 的直角坐标方程为 y= 3x+

所以圆心(

2 2 6 10 10 , )到直线 l 的距离 d= .所以|AB|= ,即 PA ? PB ? ?????10 分 2 2 4 2 2

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | (1)若不等式 f ( x) ? 2 的解集为 [0, 4] ,求实数 a 的值; (2)在(Ⅰ)的条件下,若 ?x 0 ? R ,使得 f ( x 0 ) ? f ( x 0 ? 5) ? m ? 4m ,求实数 m 的取值
2

范围. 解: (Ⅰ)∵ | x ? a |? 2 ,∴ a ? 2 ? x ? a ? 2 , ∵ f ( x ) ? 2 的解集为 [0, 4] ,∴ ?

?a ? 2 ? 0 ,∴ a ? 2 .???5 分 ?a ? 2 ? 4

(Ⅱ)∵ f ( x) ? f ( x ? 5) ?| x ? 2 | ? | x ? 3|?| ( x ? 2) ? ( x ? 3) |? 5 ,

11

∵ ?x 0 ? R ,使得 f ( x 0 ) ? f ( x 0 ? 5) ? m ? 4m ,即 f ( x 0 ) ? f ( x 0 ? 5) ? 4m ? m 成立,
2 2

∴ 4m ? m2 ? f ( x)min ,即 4m ? m2 ? 5 ,解得 m ? ?5 ,或 m ? 1 , ∴实数 m 的取值范围是 (??, ?5) ? (1, ??) .???10 分

12


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