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高中数学苏教版选修2-1课件:第3章 空间向量与立体几何3.1.5


阶 段 一

阶 段 三

3.1 3.1.5
阶 段 二

空间向量及其运算 空间向量的数量积
学 业 分 层 测 评

1.理解空间向量的夹角的概念,理解空间向量的数量积的概念、性 质和运算律.(重点) 2.掌握空间向量的数量积及应用.(重点、难点) 3.理解向量夹角与直线所成角的区别.(易错点)

[ 基础· 初探] 教材整理 1 空间向量的夹角

阅读教材 P91~P92 上半部分,完成下列问题. → → ∠AOB a, b 是空间两个非零向量, 过空间任意一点 O, 作OA=a, OB=b, 则________

〈a,b〉,?a,b?的范围是________ [0,π] ,如 叫做向量 a 与向量 b 的夹角,记作________
π 互相垂直 ,记作______. a⊥b 果〈a,b〉=2,则称 a 与 b___________

→ → 如图 3125,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,求向量BC1与AC夹角的大小.
【解】 → → ∵AD1=BC1,

→ → ∴∠CAD1 的大小就等于〈BC1,AC〉 . ∵△ACD1 为正三角形, π π → → ∴∠CAD1=3,∴〈BC1,AC〉=3. π → → ∴向量BC1与AC夹角的大小为3.
图 3125

教材整理 2 空间向量的数量积 阅读教材 P92 例 1 以上的部分,完成下列问题. 1.数量积的定义
|a||b|· cos〈a,b〉 叫做向量 a,b 设 a,b 是空间两个非零向量,我们把数量________________

|a||b|cos〈a,b〉 的数量积,记作 a· b,即 a· b=______________ .

规定:零向量与任一向量的数量积为___. 0

2.数量积的性质

a· b |a||b| (a,b 是两个非零向量). (1)cos?a,b?=______

(2)a⊥b?a· b=0(a,b 是两个非零向量).
a2 (3)|a|2=____ a· a =___.

3.数量积的运算律
b· a ; (1)a· b=______ λ(a· b) (λ∈R); (2)(λa)· b=______

a· b+a· c (3)a· (b+c)=_________.

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若 a· b=0,则 a=0 或 b=0.( → → (2)在△ABC 中, 〈AB,BC〉=∠B.( ) ) ) )

(3)两个向量的数量积是数量,而不是向量.(

(4)若 a,b 均为非零向量,则 a· b=|a||b|是 a 与 b 共线的充要条件.(

【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×

2 2 2.已知|a|= 2,|b|= 2 ,a· b=- 2 ,则 a 与 b 的夹角为________. 【导学号:09390075】

【解析】

a· b cos〈a,b〉=|a||b|=

2 -2

2 =- 2 ,又∵〈a,b〉∈[0,π] , 2 2× 2

3π ∴〈a,b〉= 4 .

3π 【答案】 4

教材整理 3

数量积的坐标表示

阅读教材 P93~P94 例 3 以上的部分,完成下列问题. 1.若 a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则
x1x2+y1y2+z1z2 (1)a· b=_________________.
x1x2+y1y2+z1z2=0 (a≠0,b≠0). (2)a⊥b?a· b=0?____________________
2 2 2 x + y + z (3)|a|= a· a=_______________. 1 1 1

x1x2+y1y2+z1z2 2 2 2 2 2 2 x + y + z · x + y + z 1 1 1 2 2 2 (a≠0,b≠0). (4)cos〈a,b〉=______________________
2.空间两点间距离公式

?x1-x2?2+?y1-y2?2+?z1-z2?2 设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 AB=__________________________.

1.若 a=(-1,0,2),b=(x,y,1),且 a⊥b,则 x=______. 【解析】 ∵a⊥b,∴a· b=-x+2=0,解得 x=2. 【答案】 2 2.与向量 a=(1,2,2)方向相同的单位向量是________.

a 1 【解析】 |a|= 1 +2 +2 =3,故与 a 方向相同的单位向量是|a|=3(1,2,2)
2 2 2

?1 2 2? =?3,3,3?. ? ?

【答案】

?1 2 2? ? , , ? ?3 3 3?

[ 质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 2:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 3:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

[ 小组合作型]
求空间向量的数量积

已知长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=4,E 为侧面 AA1B1B 的中心,F 为 A1D1 的中点.求下列向量的数量积. → → (1)BC· ED1; → → (2)BF· AB1.

【精彩点拨】

法一(基向量法):

→ → → → → → → → BC与ED1, BF与AB1的夹角不易求, 可考虑用向量AB, AD, AA1表示向量BC, → → → ED1,BF,AB1,再求结论即可. 法二(坐标法): 建系→求相关点坐标→向量坐标→数量积.

【自主解答】

→ → → 法一(基向量法):如图所示,设AB=a,AD=b,AA1=c,则|a|=|c|=2,|b| =4,a· b=b· c=c· a=0.
?1 ? → → → → → ? ?c-a?+b?=|b|2=42=16. (1)BC· ED1=BC· (EA1+A1D1)=b· 2 ? ?

? 1 ? → → → → → → (2)BF· AB1=(BA1+A1F)· (AB+AA1)=?c-a+2b?· (a+c)=|c|2-|a|2=22-22= ? ?

0. 法二(坐标法):以 A 为原点建立空间直角坐标系,如图所示,则 B(2,0,0), C(2,4,0),E(1,0,1),D1(0,4,2),F(0,2,2),A(0,0,0),B1(2,0,2), → → → → ∴BC=(0,4,0),ED1=(-1,4,1),BF=(-2,2,2),AB1=(2,0,2), → → (1)BC· ED1=0×(-1)+4×4+0×1=16. → → (2)BF· AB1=-2×2+2×0+2×2=0.

解决此类问题的常用方法 1.基向量法:首先选取基向量,然后用基向量表示相关的 向量, 最后利用数量积的定义计算. 注意: 基向量的选取要合理, 一般选模和夹角都确定的向量. 2.坐标法:对于建系比较方便的题目,采用此法比较简单, 只需建系后找出相关点的坐标,进而得向量的坐标,然后利用数 量积的坐标公式计算即可.

[ 再练一题] → → 1.在上述例 1 中,求EF· FC1.
【解】
? 1 ?1 ? 1 ? ?1 → → ?1 ? b+a?= (-a+b+c)· ? b+a? 法一:EF· FC1=?2?c-a?+2b?· 2 2 2 ? ?? ? ? ?

1 2 1 2 =-2|a| +4|b| =2. 法二:以 A 为原点建立空间直角坐标系,则 E(1,0,1),F(0,2,2),C1(2,4,2), → → ∴EF=(-1,2,1),FC1=(2,2,0), → → ∴EF· FC1=-1×2+2×2+1×0=2.

利用数量积求夹角和距离

如 图 3126 所 示 , 在 平 行 六 面 体 ABCDA′B′C′D′中,AB=4,AD=3,AA′=5,∠ BAD=90° ,∠BAA′=∠DAA′=60° . (1)求 AC′的长; → → (2)求AC′与AC的夹角的余弦值.
图 3126 【精彩点拨】 求线段长,要利用向量的方法求解,关键是找到表示 AC′

的基向量,只要模与夹角均可知,则问题可求解,求夹角问题则是向量数量积 的逆用.

【自主解答】

→ → → → (1)∵AC′=AB+AD+AA′,

→ 2 → → → 2 ∴|AC′| =(AB+AD+AA′) →2 →2 → 2 → → → → → → =|AB| +|AD| +|AA′| +2(AB· AD+AB· AA′+AD· AA′) =42+32+52+2(0+10+7.5)=85. → ∴|AC′|= 85. → → (2)法一:设AC′与AC的夹角为 θ, → ∵ABCD 是矩形,∴|AC|= 32+42=5. 由余弦定理可得 AC′2+AC2-CC′2 85+25-25 85 cos θ= = = 10 . 2AC′· AC 2· 85· 5

→ → → 法二:设AB=a,AD=b,AA′=c, → → 依题意得AC′· AC=(a+b+c)· (a+b) =a2+2a· b+b2+a· c+b· c =16+0+9+4×5×cos 60° +3×5×cos 60° 15 85 =16+9+10+ 2 = 2 , 85 → → AC′· AC 2 85 ∴cos θ= = = 10 . → → 85×5 |AC′|· |AC|

1.求两点间的距离或某线段的长度,就是把此线段用向量 表示,然后用|a|2=a· a,即|a|= a· a通过向量运算求|a|. a· b 2.对于空间向量 a,b,有 cos〈a,b〉= . |a||b| 利用这一结论,可以较方便地求解异面直线所成角的问题, 由于向量的夹角的取值范围为[0,π] ,而异面直线所成的角的取
? ? π? π? 值范围为?0,2?,故〈a,b〉∈?0,2?时,它们相等;而当〈a, ? ? ? ? ?π ? b〉∈?2,π?时,它们互补. ? ?

[ 再练一题] 2.如图 3127,正四面体 ABCD 中,M,N 分别为 → → → 棱 BC,AB 的中点,设AB=a,AC=b,AD=c. → → (1)用 a,b,c 分别表示向量DM,CN; (2)求异面直线 DM 与 CN 所成角的余弦值.

图 3127

【解】

1 → → → 1 → → → → (1)DM= (DB+DC)= [(AB-AD)+(AC-AD)] 2 2

1 1 = [(a-c)+(b-c)] = (a+b-2c), 2 2 → 1 → → 1 → → → CN= (CB+CA)= [(AB-AC)-AC] 2 2 1 1 = [ (a-b)-b] = (a-2b). 2 2 π (2)设棱长为 1,即|a|=|b|=|c|=1 且〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉= ,则 3 3 → → |DM|=|CN|= . 2

→ → 1 又DM· CN=4(a+b-2c)· (a-2b) 1 2 =4(a +a· b-2a· c-2a· b-2b2+4b· c) 1 =-8, 1 → → -8 DM· CN 1 → → ∴cos〈DM,CN〉= = =-6. → → 3 3 |DM||CN| 2×2 1 ∴异面直线 DM 与 CN 所成角的余弦值为6.

利用数量积解决平行和垂直问题

已知 a=(λ+1,1,2λ),b=(6,2m-1,2). (1)若 a∥b,分别求 λ 与 m 的值; (2)若|a|= 5,且与 c=(2,-2λ,-λ)垂直,求 a.

【精彩点拨】 利用向量平行、垂直、向量的模列方程组求解.
【自主解答】 (1)由 a∥b,得

(λ+1,1,2λ)=k(6,2m-1,2), ?λ+1=6k, ? ∴?1=k?2m-1?, ?2λ=2k, ? 1 ? ?λ=k= , 5 解得? ? ?m=3.

1 ∴实数 λ= ,m=3. 5 (2)∵|a|= 5,且 a⊥c,
2 2 2 ? ??λ+1? +1 +?2λ? =5, ∴? ? ?2,-2λ,-λ?=0, ??λ+1,1,2λ?· 2 ? 5 λ +2λ=3, ? 化简,得? 2 ? 2 - 2 λ =0, ?

解得 λ=-1.

因此,a=(0,1,-2).

向量平行与垂直问题主要有两种题型 1.平行与垂直的判断 2.利用平行与垂直求参数或其他问题,即平行与垂直的应用.

[ 再练一题] 3.如图 3128 所示,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,CA=CB=1,∠BCA= 90° ,棱 AA1=2,M 是 A1B1 的中点.求证:A1B⊥C1M.

图 3128

【证明】

→ → → 如图所示,以CA,CB,CC1为正交基底,建

立空间直角坐标系 Cxyz. 依题意得 B(0,1,0),A1(1,0,2),C1?0,0,2),B1(0,1,2),
? 1 1 → → ?1 1 则 M2,2,2,于是A1B=(-1,1,-2),C1M=?2,2,0?, ? ?

1 1 → → ∴A1B· C1M=-2+2+0=0, → → ∴A1B⊥C1M,故 A1B⊥C1M.

[ 探究共研型]
空间向量数量积的运算特征

探究 1 数量积运算是否满足消去律?
【提示】 对于三个不为 0 的实数 a,b,c,若 ab=

ac,则 b=c.对于三个非零向量 a,b,c,若 a· b=a· c,不 能得出 b=c,即向量不能约分. → 如图,在三棱锥 SABC 中,SC⊥平面 ABC,则 SC⊥AC,SC⊥BC.设CS=a, → → CA=b,CB=c,则 a· b=a· c=0,但 b≠c.

探究 2 数量积运算是否有除法?

【提示】 数量积的运算不满足除法,即对于向量 a,b,若 a· b=k,不能 k? 0 k? ? ? 得到 a=b 或b=a ,例如当非零向量 a,b 垂直时,a· b=0,但 a=b显然是没有 ? ? 意义的.
探究 3 数量积运算满足结合律吗?

【提示】 由定义得(a· b)c=(|a||b|cos 〈a, b〉 ) c, 即(a· b)c=λ1c; a(b· c)=a(|b||c|cos 〈b,c〉),即 a(b· c)=λ2a,因此,(a· b)c 表示一个与 c 共线的向量,而 a(b· c) 表 示一个与 a 共线的向量,而 a 与 c 不一定共线,所以(a· b)c=a(b· c)不一定成立.

如图 3129,已知正四面体 OABC 的棱长为 1.求: → → (1)OA· OB; → → → → (2)(OA+OB)· (CA+CB); → → → (3)|OA+OB+OC|.

【精彩点拨】

图 3129 → → → 在正四面体 OABC 中,OA,OB,OC的模和夹角都已知,

→ → → 因此可以先把相关向量用OA,OB,OC线性表示,再结合空间向量数量积的运 算律与运算性质求解即可.

【自主解答】

→ → → 在正四面体 OABC 中,|OA|=|OB|=|OC|=1,

→ → → → → → 〈OA,OB〉=〈OA,OC〉=〈OB,OC〉=60° . → → → → (1)OA· OB=|OA||OB|· cos∠AOB 1 =1×1×cos 60° =2. → → → → (2)(OA+OB)· (CA+CB) → → → → → → =(OA+OB)· (OA-OC+OB-OC)

→ → → → → =(OA+OB)· (OA+OB-2OC) →2 → → → → →2 → → =OA +2OA· OB-2OA· OC+OB -2OB· OC 1 =1 +2×2-2×1×1×cos 60° +12-2×1×1×cos 60°
2

=1+1-1+1-1=1. → → → (3)|OA+OB+OC|= → → → 2 ?OA+OB+OC?

= 12+12+12+?2×1×1×cos 60° ?×3= 6.

[ 再练一题] 4. 已知 a+3b 与 7a-5b 垂直, 且 a-4b 与 7a-2b 垂直, 则 〈a, b〉 =________. 【导学号:09390076】 由条件知,(a+3b)· (7a-5b)=7|a|2+16a· b-15|b|2=0,

【解析】

及(a-4b)· (7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a· b=0. 1 2 两式相减,得 46a· b=23|b| ,∴a· b=2|b| .
2

代入上面两个式子中的任意一个,即可得到|a|=|b|. 1 2 |b| 1 a· b 2 ∴cos〈a,b〉=|a||b|= |b|2 =2. ∵〈a,b〉∈[0° ,180° ] ,∴〈a,b〉=60° .

【答案】 60°

[ 构建· 体系]

1. 已知向量 a=(4, -2, -4), b=(6, -3,2), 则(a+b)· (a-b)的值为________.

【解析】 ∵a+b=(10,-5,-2),a-b=(-2,1,-6), ∴(a+b)· (a-b)=-20-5+12=-13. 【答案】 -13
2. 已知向量 a=(2, -3,0), b=(k,0,3). 若 a, b 成 120° 的角, 则 k=________.

2k 1 a· b 【解析】 cos 〈a,b〉=|a|· |b|= 13 9+k2=-2,得 k=- 39.
【答案】 - 39

3.如图 3130,已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的各条棱长都相等,M 是侧棱 CC1 的中点,则异面直线 AB1 和 BM 所成的角的大小是________.

图 3130

【解析】

→ → → → → → AB1=AB+BB1,BM=BC+CM,设棱长为 1.

→ → → → → → 又∵AB1· BM=(AB+BB1)(BC+CM) → → → → → → → → =AB· BC+BB1· BC+AB· CM+BB1· CM 1 1 =-2+0+0+2=0, → → AB1· BM → → ∴cos〈AB1,BM〉= =0, → → |AB1|· |BM| → → ∴AB1⊥BM, ∴直线 AB1 与 BM 所成的角为 90° . 【答案】 90°

→ → 4.已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则AE· BD=________.

→ → → → 1→ → → → 【解析】 ∵AE=AD+DE=AD+2AB,BD=AD-AB, → → ? 1→? → →2 ?→ ? → ∴AE· BD=?AD+ AB?· (AD-AB)=AD - 2 ? ? → → 1→ → 1→2 AD· AB+2AB· AD-2AB =4-0+0-2=2.
【答案】 2

5.如图 3131 所示,在空间四边形 OABC 中,OA =8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45° ,∠OAB= 60° ,求 OA 与 BC 所成角的余弦值. → → → 【解】 由题意知BC=AC-AB,
→ → → → → → ∴OA· BC=OA· AC-OA· AB → → → → → → → → =|OA||AC|cos 〈OA,AC〉-|OA||AB|cos 〈OA,AB〉 =8×4×cos 135° -8×6×cos 120° =24-16 2,
图 3131

→ → OA· BC 24-16 2 → → ∴cos 〈OA,BC〉= = → → 8×5 |OA||BC| 3-2 2 = 5 , 3-2 2 ∴OA 与 BC 所成角的余弦值为 5 .

我还有这些不足: (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) (2) _________________________________________________ _________________________________________________


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