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2011年高考试题分类考点48 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差


考点 48 离散型随机变量及其分布列、 离散型随机变量的均值与方差
一、填空题 1.(2011·浙江高考理科·T15)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,

2 ,得到乙、丙两公司面试的概率均为 p ,且三个公司是否让其面 3 1 试是相互独立的.记 X 为该毕业生得到面试的公司个数.若 P( X ? 0) ? ,则随机变量 X 的数学期望 12
假定该毕业生得到甲公司面试的概率为

E( X ) ?

.

【思路点拨】先由相互独立的事件同时发生的概率求出 p ,进而求出其他情况的概率,再求出 E ( X ) . 【精讲精析】由 P( X ? 0) ? (1 ? )(1 ? p)(1 ? p) ?
2 2

2 3

1 1 可得 p ? , 12 2
2 1?1? 2 ?1? 5 P( X ? 2) ? ? C2 ? ? ? (1 ? ) ? ? ? ? , 3 3 ? 2 ? 12 ?2?
2 2

2 ?1? 2 1 1?1? 从 而 P( X ? 1) ? ? ? ? ? (1 ? ) ? C2 ? ? ? , 3 ?2? 3 ?2? 3 2 ?1? 1 P ( X ? 3) ? ? ? ? ? . 3 ?2? 6
所以 E ? X ? ? 1? ? 2 ? 【答案】
2

1 3

5 1 5 ? 3? ? . 12 6 3

5 3

二、解答题 2. (2011·安徽高考理科·T20)工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务,每次只派一个 人进去,且每个人只派一次,工作时间不超过 10 分钟.如果有一个人 10 分钟内不能完成任务则撤出,再 派下一个人.现在一共只有甲、乙、丙三个人可派,他们各自能完成任务的概率分别为 p1,p2,p3,假设 p1,

p2,p3 互不相等,且假定各人能否完成任务的事件相互独立.
(Ⅰ)如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人,求任务能被完成的概率.若改变三个人被派出的先后 顺序,任务能被完成的概率是否发生变化? (Ⅱ)若按某指定顺序派人,这三个人各自能完成任务的概率依次为 q1,q2,q3,其中 q1,q2,q3 是 p1,p2,p3 的一个排列,求所需要派出人员数目 X 的分布列和均值(数学期望)E(X) ; (Ⅲ)假定 l>p1>p2>p3,试分析以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员数目的均值(数学期 望)达到最小. 【思路点拨】 (Ⅰ)利用间接法可以比较容易得出结论; (Ⅱ)直接利用相互独立事件及分布列知识解决; (Ⅲ)先分析抽象概括得出结论,再证明.
-1-

【精讲精析】 (I)无论以怎样的顺序派出人员,任务不能被完成的概率都是 1 - p1) ? p2 )(1 ? p3 ) ,所以 ( (1 任务能被完成的概率与三个人被派出去的先后顺序无关,都等于

( (1 1- 1 - p1) ? p2 )(1 ? p3 ) = p1 ? p2 ? p3 ? p1 p2 ? p2 p3 ? p1 p3 ? p1 p2 p3.
(II)当依次派出去的三个人各自完成任务的概率分别为 q1,q2,q3,随机变量 X 的分布列为 X P 1 q1 2 3

( - q1)q2 1

(1 ? q1 )(1 ? q2 )

所需派出的人员数目的均值(数学期望)E(X)是

E ( X ) ? q1 ? 2 1 - q1)q2 ? 3 (1 ? q1 )(1 ? q2 ) = 3 - 2q1 ? q2 ? q1q2 . (
(III)由(II)得结论可知,当以甲最先,乙次之,丙最后的顺序派人时,

E ( X ) ? 3 - 2 p1 ? p2 ? p1 p2 .
根据常理,优先派出完成任务概率大的人,可减少所需派出的人员数目的均值. 下面证明:对于 p1,p2,p3 的任意排列 q1,q2,q3,都有

3 - 2q1 ? q2 ? q1q2 ? 3 - 2 p1 ? p2 ? p1 p2 .
事实上, ? ? 3 - 2q1 ? q2 ? q1q2) ( 3 - 2 p1 ? p2 ? p1 p2 ) ( -

? (p1 ? q1) ( p2 ? q2 ) ? p1 p2 ? q1q2 2 ?
? (p1 ? q1) (p2 ? q 2 ) ? (p1 ? q1 )p 2 ? q1 (p 2 ? q 2 ) 2 ?

? (2 ? p2(p1 ? q1) (1 ? q1 )( p2 ? q2 ) ) ? ? (1 ? q1 )[( p1 ? p2 ) ? (q1 ? q2 )]

?0,
即 3 - 2q1 ? q2 ? q1q2 ? 3 - 2 p1 ? p2 ? p1 p2 . 3.(2011·福建卷理科·T19)某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 X 依次为 1,2,?,8,其 中 X≥5 为标准 A,X≥3 为标准 B,已知甲厂执行标准 A 生产该产品,产品的零售价为 6 元/件;乙厂执行 标准 B 生产该产品,产品的零售价为 4 元/件,假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. (I)已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示:
X1

5 0.4

6

7 b

8 0.1

p

a
-2-

且 X1 的数字期望 EX1=6,求 a,b 的值; (II)为分析乙厂产品的等级系数 X2,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系数组成一个样 本,数据如下: 3 6 8 5 3 3 3 4 4 3 7 3 8 5 4 5 3 4 5 4 7 6 8 5 3 5 6 4 3 7

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数 X2 的数学期望. (Ⅲ)在(I)(II)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理 、 由. 注: (1)产品的“性价比”= 产品的等级系数的数学期望 ;
产品的零售价

(2)“性价比”大的产品更具可购买性. 【思路点拨】 (I)利用期望公式和 EX 1 ? 6 以及分布列中的所有概率和为 1,联立关于 a, b 的方程组,解 方程组求得 a, b 的值; (II)根据题中提供的数据,列等级系数 X 2 的概率分布,再利用公式求期望; (Ⅲ)根据“性价比”公式求两工厂的产品的性价比,“性价比”大的产品更具可购买性. 【精讲精析】 (I)因为 EX1 =6,所以 5 ? 0.4 ? 6a ? 7b ? 8 ? 0.1 ? 6, 即 6a ? 7b ? 3.2 , 又由 X 1 的概率分布列得 0.4 ? a ? b ? 0.1 ? 1, 即 a ? b ? 0.5 . 由?

?6a ? 7b ? 3.2, ? a ? 0.3, 解得 ? ? a ? b ? 0.5, ?b ? 0.2,

(II)由已知得,样本的频率分布表如下:

X2
f

3 0.3

4 0.2

5 0.2

6 0.1

7 0.1

8 0.1

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数 X 2 的概率分布列如下:

X2
P

3 0.3

4 0.2

5 0.2

6 0.1

7 0.1

8 0.1

-3-

所以 EX 2 ? 3 ? 0.3 ? 4 ? 0.2+5 ? 0.2+6 ? 0.1+7 ? 0.1+8 ? 0.1 4.8 , = 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8. (Ⅲ)乙厂的产品更具有可购买性,理由如下: 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 6,价格为 6 元/件,所以其性价比为 =1 . 因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8,价格为 4 元/件, 所以其性价比为 更具可购买性. 4. (2011·新课标全国高考理科·T19)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质 量越好,且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做 试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果: A 配方的频数分布表 指标值分组 频数

6 6

4.8 = , 1.2 所以乙厂的产品 4

?90,94 ? ?94,98 ? ?98,102 ? ?102,106 ? ?106,110?
8 20

42

22

8

B 配方的频数分布表 指标值分组 频数

?90,94 ? ?94,98 ? ?98,102 ? ?102,106 ? ?106,110?
4 12
42
32 10

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

? ?2,   t ? 94, ? y ? ?2,    ? t ? 102, 94 ? 4,   t ? 102. ?
从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列及数学期望.(以试验结果 中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率) 【思路点拨】第(Ⅰ)问分别用 A 配方、 B 配方生产的产品中优质品的频率来估计概率,第(Ⅱ)问分别 求出质量指标落在 ? 90,94 ? , ?94,102 ? , ?102,110? 上的频率作为概率,明确 X 的对应取值,列分布列, 用期望公式求期望即可. 【精讲精析】 (Ⅰ)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质品的频率为 产的产品的优质品率的估计值为 0.3. 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为
-4-

22 ? 8 =0.3 ,所以用 A 配方生 100

32 ? 10 ? 0.42 ,所以用 B 配方生产的产品的优质 100

品率的估计值为 0.42. (Ⅱ)用 B 配方生产的 100 件产品中,其质量指标值落入区间 ?90,94 ? , ?94,102 ? , ?102,110? 的频率分别为 0.04,0.54, 0.42,因此 X 的可能值为-2,2,4, P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 即 X 的分布列为 X P -2 0.04 2 0.54 4 0.42

?X 的数学期望为 EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68.
5. (2011·辽宁高考文科·T19)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品 种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2n 小块地中,随机选 n 小块地种植品种甲,另外 n 小块地种植品种乙. (I)假设 n=2,求第一大块地都种植品种甲的概率; (II)试验时每大块地分成 8 小块地,即 n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公 顷产量(单位:kg/hm )如下表:
2

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪种品 种? 附:样本数据 x1,x2,?,xn 的样本方差 s ?
2

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] ,其中 x 为样本平 n

均数. 【思路点拨】 (I)先编号,再逐一列出所有的基本事件,最后根据古典概型求解; (II)先求平均数,再 求方差,最后下结论. 【精讲精析】 (I)设第一大块地中的两小块地编号为 1,2,第二大块地中的两小块地编号为 3,4.令事 件 A 为“第一大块地都种品种甲” . 从 4 小块地中任选 2 小块地种植品种甲的基本事件共 6 个: (1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4) , , , , , . 而事件 A 包含 1 个基本事件: (1,2) . 所以 P( A) ?

1 . 6

(II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

-5-

1 x甲 ? (403 ? 397 ? 390 ? 404 ? 388 ? 400 ? 412 ? 406) ? 400 , 8 1 2 2 s甲 ? [32 ? -3)(-10)? 42 ? (-12)2 ? 02 ? 122 ? 62 ] ? 57.25 . ( 2? 8
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

1 x乙 ? (419 ? 403 ? 412 ? 418 ? 408 ? 423 ? 400 ? 413) 412 , ? 8

1 2 s乙 ? [72 ? -9)? 02 ? 62 ? -4)? 112 ? (-12) 2 ? 12 ] ? 56 . ( 2 ( 2 8
由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本方差差异不大,故 应该选择种植品种乙. 6.(2011· 广东高考文科·T17)在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分.用 xn 表示编号为 n(n=1,2,?,6)的同学所得的成绩,且前 5 位同学的成绩如下: 编号 n 成绩 xn 1 70 2 76 3 72 4 70 5 72

(1)求第 6 位同学的成绩 x6,及这 6 位同学成绩的标准差 s; (2)从前 5 位同学中,随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的概率. 【思路点拨】(1)由平均数的计算公式列出关于 x6 的方程,求出 x6 ,由标准差的计算公式求标准差; (2)由古典概型概率计算公式直接求解. 【精讲精析】 (1)由题意
70 ? 76 ? 72 ? 70 ? 72 ? x6 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? x6 ? 75 ,解得 x6 ? 90 ; ? 75 ,即 6 6

标准差s=

( ? 75 2 ? 76 ? 75 2 ? 72 ? 75 2 ? 70 ? 75 2 ? 72 ? 75 2 ? 90 ? 75 2 ? 7 70 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 6

(2)从前5位同学的成绩中随机地选2位同学的成绩,有10种可能,分别是(70,76)(70,72)(70, , , 70)(70,72)(76,72)(76,70)(76,72)(72,70)(72,72)(70,72). , , , , , , , 恰有一位同学成绩在区间(68,75)中,有4种可能,分别是(70,76)(76,72)(76,70)(76,72). , , ,

4 2 设事件A=“恰有1位同学成绩在区间(68,75)中” ,则P(A) ? 10 ? 5 .
答:恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的概率是

2 5

.

7.(2011·广东高考理科·T17)为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产 的产品中分别抽取14件和5件,测量产品中微量元素x,y的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的
-6-

测量数据: 编号 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

x
y

(1)已知甲厂生产的产品共98件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素x,y满足x≥175且y≥75时,该产品为优等品,用上述样本数据估计乙厂生产的 优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随机抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数 ? 的分布列及其均值 (即数学期望). 【思路点拨】 (1)由已知求出抽取比例,从而求得乙厂生产的产品数量; (2)由表格中数据估计乙厂生产的优等品率,然后估计乙厂生产的优等品的数量; (3)先确定 ? 的所有取值,逐个算其概率,列出分布列,再求期望值.

14 1 【精讲精析】 (1)由题意知,抽取比例为 98 ? 7 ,则乙厂生产的产品数量为 5 ? 7 ? 35 (件) ;
(2)由表格知乙厂生产的优等品为2号和5号,所占比例为

2 5

.由此估计乙厂生产的优等品的数量为

35 ? 2 ? 14 (件) ; 5
(3)由(2)知2号和5号产品为优等品,其余3件为非优等品. ? 的取值为0,1,2.

C2 C 1C 1 6 3 1 3 ? =0)= 2 ? 10 , P( ? =1)= 3 2 2 ? 10 ? 5 , P( ? =2)= 2 ? 10 . P( C5 C5 C5
2 C3

2

从而分布列为
?

0
3 10

1
3 5

2
1 10

P

数学期望 E( ? )= 0 ?

3 3 1 4 ? 1? ? 2 ? ? . 10 5 10 5

8.(2011·山东高考理科·T18)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A,B,C 进行围棋比赛,甲对 A,乙对 B,丙对 C 各一盘.已知甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立. (Ⅰ)求红队至少两名队员获胜的概率; (Ⅱ)用 ? 表示红队队员获胜的总盘数,求 ? 的分布列和数学期望 E? .

-7-

【思路点拨】 (Ⅰ)本题考查的是相互独立事件发生的概率,红队至少两人获胜的概率等于红队只有两人 获胜的概率和红队有三人获胜的概率之和. (Ⅱ)本题考查的是随机变量的分布列及数学期望,先列出 ? 的所有值,并求出每个 ? 值所对应的概率,列出分布列,然后根据公式求出数学期望. 【精讲精析】 (Ⅰ)记甲对 A、乙对 B、丙对 C 各一盘中甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 分别为事件 D, E , F ,则甲 不胜 A、乙不胜 B、丙不胜 C 分别为事件 D, E , F ,根据各盘比赛结果相互独立可得 红队至少两名队员获胜的概率为 P ? P( DEF ) ? P( DEF ) ? P( DEF ) ? P( DEF )

? P( D) P( E ) P( F ) ? P( D) P( E ) P( F ) ? P( D) P( E ) P( F ) ? P( D) P( E ) P( F )

? 0.6 ? 0.5 ? (1 ? 0.5) ? 0.6 ? (1 ? 0.5) ? 0.5 ? (1 ? 0.6) ? 0.5 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.55 .
(Ⅱ)依题意可知 ? ? 0,1, 2,3 ,

P(? ? 0) ? P( DEF ) ? P( D) P( E ) P( F ) ? (1 ? 0.6) ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.5) ? 0.1 ; P(? ? 1) ? P( DEF ) ? P( DEF ) ? P( DEF )

? 0.6 ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.6) ? 0.5 ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.6) ? (1 ? 0.5) ? 0.5 ? 0.35 ;
P(? ? 2) ? P( DEF ) ? P( DEF ) ? P( DEF )

? 0.6 ? 0.5 ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.6) ? 0.5 ? 0.5 ? 0.6 ? (1 ? 0.5) ? 0.5 ? 0.4 ; P(? ? 3) ? P( DEF ) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.15 .故 ? 的分布列为

?
P

0 0.1

1 0.35

2 0.4

3 0.15

故 E? ? 0 ? 0.1 ? 1? 0.35 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.15 ? 1.6 . 9.(2011·辽宁高考理科·T19)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品 种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2n 小块地中,随机选 n 小块地种植品种甲,另外 n 小块地种植品种乙. (I)假设 n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为 X,求 X 的分布列和数学期望; (II)试验时每大块地分成 8 小块,即 n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量 (单位:kg/hm )如下表:
2

-8-

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品 种? 附:样本数据 X1 ,?, X n 的样本方差 s 2 ? 数. 【思路点拨】 (I)先根据古典概型结合排列组合的知识求分布列,再利用公式求数学期 望; (II)先求平均数,再求方差,最后下结论. 【精讲精析】(Ⅰ) X 可能的取值为 0,1,2,3,4, 且

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] ,其中 x 为样本平均 n

P( X ? 0) ?

1 1 , ? 4 C8 70

P( X ? 1) ?
2 2 C 4 C 4 18 ? , 35 C84

1 3 C4C4 8 ? , 4 35 C8

P( X ? 2) ?

3 1 C4 C4 8 P ( X ? 3) ? ? , 4 35 C8

P( X ? 4) ?

1 1 ? . 4 C8 70

即 X 的分布列为

X
P

0

1

2

3

4

1 70

8 35

18 35

8 35

1 70

X 的数学期望为
E( X ) ? 0 ?

1 8 18 8 1 +1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 2. 70 35 35 35 70

(Ⅱ)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

1 x甲 ? (403 ? 397 ? 390 ? 404 ? 388 ? 400 ? 412 ? 406 ) ? 400 , 8 1 2 s甲 ? [32 ? (?3) 2 ? (?10) 2 ? 42 ? (?12) 2 ? 02 ? 122 ? 62 ] ? 57.25. 8
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

1 x乙 ? (419 ? 403 ? 412 ? 418 ? 408 ? 423 ? 400 ? 413) ? 412 , 8
-9-

1 2 s乙 ? [72 ? -9) ? 02 ? 62 ? -4) ? 112 ? -12)? 12 ] ? 56 . ( 2 ( 2 ( 2 8
由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本方差差异不大,故 应该选择种植品种乙. 10.(2011·北京高考理科·T17)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一 个数据模糊,无法确认,在图中以 X 表示. 甲组 9 9 1 1 乙组 X 8 0

0 1

9

(Ⅰ)如果 X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (Ⅱ)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数 Y 的分布列和数学 期望. (注:方差 s ?
2

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 ,?, xn 的平均数) n

【思路点拨】 (Ⅰ)代入平均数、方差公式进行计算; (Ⅱ)先求出 Y 的所有可能取值,再分别求出概率, 最后计算数学期望. 【精讲精析】 (Ⅰ)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是 8,8,9,10,所以平均数为

8 ? 8 ? 9 ? 10 35 ; ? 4 4 1 35 2 35 2 35 2 35 2 11 2 方差为 s ? [(8 ? ) ? (8 ? ) ? (9 ? ) ? (10 ? ) ] ? . 4 4 4 4 4 16 x?
(Ⅱ)当 X=9 时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵数是:9,9,11,11;乙组同学的植树棵数是 9,8, 9,10.分别从甲、乙两组中随机抽取一名同学,共有 4 ? 4 ? 16 种可能的结果,这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17,18,19,20,21.事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树 9 棵,乙组选出的同学植 树 8 棵” ,所以该事件有 2 种可能的结果,因此 P(Y=17)=

2 1 ? , 同理可得 16 8 1 1 1 1 P(Y ? 18) ? , P(Y ? 19) ? , P(Y ? 20) ? , P(Y ? 21) ? .所以随机变量 Y 的分布列为: 4 4 4 8
Y P 17 18 19 20 21

1 8

1 4

1 4

1 4

1 8

E(Y ) ? 17 ? P(Y ? 17) ? 18 ? P(Y ? 18) ? 19 ? P(Y ? 19) ? 20 ? P(Y ? 20) ? 21? P(Y ? 21)

1 1 1 1 1 ? 17 ? ? 18 ? ? 19 ? ? 20 ? ? 21? =19. 8 4 4 4 8
- 10 -

11. (2011·湖南高考理科·T18)某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据: 日销售量(件) 频数 0 1 1 5 2 9 3 5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变) ,设某天开始营业时有该商品 3 件,当天营业结束 后检查存货,若发现存货少于 2 件,则当天进货补充至 3 件,否则不进货,将频率视为概率. (Ⅰ)求当天商店不进货的概率; (Ⅱ)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数,求 X 的分布列和数学期望. 【思路点拨】本题主要考查互斥事件、独立事件、对立事件、分布列、数学期望等知识,考查运用概率知 识解决实际问题的能力.解决此类问题要注意根据事件的性质识别概率模型,而能否正确列出分布列则将 直接影响数学期望的求解.它的解题步骤是:一想,想试验和试验的基本事件.二设,设试验的基本事件和 要解决的复合事件.三建,建立目标事件和基本事件的关系.四算,算概率,算的依据是对立事件、互斥事 件和独立事件.五答. 【精讲精析】 (I)P( “当天商店不进货” )=P( “当天商品销售量为 0 件” )+P( “当天商品销售量 1 件” ) =

1 5 3 ? ? . 20 20 10 5 1 ? 20 4

(II)由题意知, X 的可能取值为 2,3.

P(X ? 2) ? P( “当天商品销售量为1件”? )



P(X ? 3) ? P( “当天商品销售量为0件” “当天商品销售量为2件” “当天商品销售 )+P( )+P( 量为3件” ? ) 1 9 5 3 + + ? . 20 20 20 4

故 X 的分布列为

X
P

2

3

3 4 1 3 11 X 的数学期望为 E ( X ) ? 2 ? +3 ? = . 4 4 4
12. (2011·江西高考理科·T16)某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级 别.公司准备了两种不同的饮料共 8 杯,其颜色完全相同,并且其中 4 杯为 A 饮料,另外 4 杯为 B 饮料, 公司要求此员工一一品尝后,从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料.若 4 杯都选对,则月工资定为 3 500 元;若 4 杯选对 3 杯,则月工资定为 2 800 元,否则月工资定为 2 100 元,令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数,假设 此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力. (1)求 X 的分布列;
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1 4

(2)求此员工对月工资的期望. 【思路点拨】 (1)根据超几何分布的概率模型,易得 X 的分布列.(2)结合第一问月工资为 3 500 的概率 对应 X=4 的概率,2 800 对应 X=3 的概率,2 100 对应 X ? 2 的概率,易得此员工对月工资的期望. 【精讲精析】 (1)X 的所有可能取值为:0, 2, 4. 1, 3,

Ci4C4?i 4 P( = i = X ) (i ? 0,1, 2,3, 4) . 4 C8
X 的分布列为: X P 0
1 70

1
16 70

2
36 70

3
16 70

4
1 70

(2)令Y表示新用员工的月工资,则Y的所有 可能取值为2 100, 800, 500, 2 3 则P( = 3 500) P( = 4) Y = X = P( = 2 800) P( = 3) Y = X = 1 , 70

8 , 35 53 P( = 2 100) P( ? 2) Y = X = , 70 1 8 53 EY ? 3 500 ? ? 2 800 ? ? 2 100 ? ? 2 280. 70 35 70 所以此员工对月工资的期望为2 280元.
13. (2011·陕西高考理科·T20)如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2 ,据统计,通过两条路径所用 的时间互不影响,所用时间落在各时间段内的频率如下表: 时间(分钟) 10 ~ 20 20 ~ 30 30 ~ 40 40 ~ 50 50 ~ 60

L1 的频率 L2 的频率

0.1
0

0.2
0.1

0.3
0.4

0.2
0.4

0.2
0.1

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站.

(Ⅰ)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径? (Ⅱ)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(Ⅰ)的选择方案,求 X 的分布 列和数学期望.
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【思路点拨】 (Ⅰ)会用频率估计概率,然后把问题转化为互斥事件的概率; (Ⅱ)首先确定 X 的取值,然 后确定有关概率,注意运用对立事件、相互独立事件的概率公式进行计算,列出分布列后即可计算数学期 望. 【精讲精析】 (Ⅰ)Ai 表示事件 “甲选择路径 L i 时, 分钟内赶到火车站” Bi 表示事件 40 , “乙选择路径 L i 时,50 分钟内赶到火车站” i ? 1 , 2 . , 用频率估计相应的概率,则有:

P( A1 ) ? 0.1 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.6 , P( A2 ) ? 0.1 ? 0.4 ? 0.5 ;
∵ P( A1 ) ? P( A2 ) ,∴甲应选择路径 L 1 ;

P( B1 ) ? 0.1 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.2 ? 0.8 , P( B2 ) ? 0.1 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.9 ;
∵ P( B2 ) ? P( B1 ) ,∴乙应选择路径 L 2 . (Ⅱ)用 A,B 分别表示针对(Ⅰ)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站, 由(Ⅰ)知 P( A) ? 0.6 , P( B) ? 0.9 ,又事件 A,B 相互独立, X 的取值是 0,1,2, ∴ P( X ? 0) ? P( AB) ? P( A) ? P( B) ? 0.4 ? 0.1 ? 0.04 ,

P( X ? 1) ? P( AB ? AB) ? P( A) P( B) ? P( A) P( B) ? 0.4 ? 0.9 ? 0.6 ? 0.1 ? 0.42,

P( X ? 2) ? P( AB) ? P( A) ? P( B) ? 0.6 ? 0.9 ? 0.54 ,
∴X 的分布列为

X
P

0 0.04

1 0.42

2 0.54

∴ E X) 0 ? 0.04 ? 1? 0.42 ? 2 ? 0.54 ? 1.5 . ( ? 14.(2011·天津高考理科·T15)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球, 乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个 球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖. (每次游戏结束后将球放回原箱) (Ⅰ)求在 1 次游戏中, (i)摸出 3 个白球的概率; (ii)获奖的概率; (Ⅱ)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E ( X ) . 【思路点拨】 (Ⅰ)根据古典概率、互斥事件的概率公式求解;
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(Ⅱ)先求出独立事件的概率、再求数学期望. 【精讲精析】 (I) (i)设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai (i ? 0,1, 2,3), 则 P ( A3 ) ? (ii)设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B,则 B = A2 ? A3 ,又
1 1 2 1 C32 C2 C3C2 C2 1 1 1 7 P( A2 ) ? 2· 2 ? 2 · 2 ? , 且 A2,A3 互斥,所以 P( B) = P( A2 ) + P( A3 ) = + = . C5 C3 C5 C3 2 2 5 10 1 C32 C2 1 · 2 ? . C52 C3 5

(II)由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2.

P( X = 0) = (1 -

7 2 9 7 21 7 49 1 7 ) = , P( X = 1) = C2 (1 - ) = , P( X = 2) = ( ) 2 = . 10 100 10 10 50 10 100

所以 X 的分布列是 X P X 的数学期望 E ( X ) ? 0 ? 0 1 2

9 100

21 50

49 100

9 21 49 7 ? 1? ? 2 ? ? . 100 50 100 5

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