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宁夏银川市第二中学2016届高三上学期统练(一)数学(理)试题


银川二中 2015-2016 学年第一学期高三年级统练一 数 学 试 卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.已知集合 A={ 0 ,1 , 2 , 3 },B={ x | x 2 ? x ? 0 },则集合 A ∩B 的子集个数为( A.2 B.4 C.6 D.8 (

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
1.1



2. “lg x >lg y ”是“ x > A.充分不必要条件 C.充要条件 3. 设 a = log37,b = 2 A.b<a<c

y ”的

)

,c = 0.8 ,则( B.c<a<b

3.1

) C. c<b<a D.a<c<b

3 4.已知 ? 是第二象限角,且 sin( ? ? ? ) ? ? ,则 tan2 ? 的值为( ) 5

A.

4 5

B. ?

23 7

C. ?

24 7

D. ?

24 9

5.下图所示的是函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的一部分,则其函数解析式是( π? A.y ? sin? ?x+3 ? π? C.y ? sin? ?2x+6? π? B.y ? sin? ?x-3 ? π? D.y ? sin? ?2x-6? ) D.3

).

6. 函数 f ( x) ? 2 x ? x 3 ? 2 在区间(0,1)内的零点个数是( A.0 7. 函数 y = B.1 x3 的图象大致是 3x-1 C.2 ( )

A

B

C

D

8.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240, x∈N),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本的最低产量是 ( ) A.100台 B.120台 C.150台 D.180台 2 9.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f (x)=x +2x,若 f (2-a2)>f (a), 则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,-1)∪(2,+∞) C.(-2,1) 10.若函数 f ( x) ? ? ) B.(-1,2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

1 ?x ? 2?2 ? a ln x 在 (1,??) 上是减函数,则实数 a 的取值范围是( 2
B ?? ?,?1? C (1,??) D.



A.

?? 1,???

?? ?,1?
)

11.设函数 f ( x) ? ?

?(a ? 2) x, ( x ? 2)
x ?2 ? 1, ( x ? 2)

是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为(

A.(2,+∞)

B.( ? ? ,

7 ] 2

C. (2,

7 ) 2

D.(2, ]

7 2

12.已知函数 f ( x) 满足 f ( x) = 2 f ( ) ,当 x ? [1,3], f ( x) = ln x, 若在区间[ , 3] 内, 函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 与 x 轴有 3 个不同的交点,则实数 a 的取值范围是( A. (0, ) )

1 x

1 3

1 e

B. (0,

1 ) 2e

C. [

ln 3 1 , ) 3 e

D. [

ln 3 1 , ) 3 2e

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13. 已知偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0.若 f (x-1)>0,则 x 的取值范围是________.

14. 已知 ? 是第三象限角 , cos ? ? ?

4 ,则 5

1 ? tan 1 ? tan

? ?
2 的值为___________;

2

3 2 15. 若函数 f ( x) 在 R 上可导, f ( x) ? x ? x f ?(1) ,则

?

1

?1

f ( x)dx ? _________;

16. 已知函数 f ( x) ? cos x ? sin x ,给出下列五个说法中,其中正确说法的序号是 ① f(

1921? 1 )? ; 12 4

②若 f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) ,则 x1 ? ? x 2 ;

③ f ( x) 在区间 ??

? ? ? ?? 0) 成中心对称; , ? 上单调递增; ④ f ( x) 的图象关于点 (? , 4 ? 6 3?
3? 1 个单位可得到 y ? cos 2 x 的图象; 2 4

⑤将函数 f ( x) 的图象向右平移

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答 写在答卷纸的相应位置上)

17. (本小题满分 12 分) 已知角 A、B、C 为△ ABC 的三个内角,其对边分别为 a、b、c, 若 a2=b2+c2+bc,且 a=2 3. (Ⅰ)若△ ABC 的面积 S= 3,求 b+c 的值; (Ⅱ)求 b+c 的取值范围.

? ?? x ? 1, ( x ? ?2) ? 1 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = ? ? x ? 3, (?2 ? x ? ) 2 ? 1 ? 5 x ? 1, ( x ? ) ? 2 ?
(1) 求函数 f ( x) 的最小值;
2 (2) 已知 m ? R ,命题 p : 关于 x 的不等式 f ( x) ? m ? 2m ? 2 对任意 m ? R 恒成立;

命题 q :函数 y ? (m 2 ? 1) x 是增函数。若” p 或 q ”为真,” p 且 q ”为假, 求实数 m 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = 2 3 sin x cos x ? 3sin x ? cos x ? 2 .
2 2

(1)当 x ? [0,

?
2

] 时,求 f ( x ) 的值域; b ? 3, a

(2)若 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足

sin(2 A ? C ) ? 2 ? 2 cos( A ? C ) ,求 f ( B ) 的值. sin A
20.(本题满分 12 分) 已知函数

f ( x) ? x 2 ? b sin x ? 2 (b ? R) , g ( x) ? f ( x) ? 2 且 g ( x) 是偶函数.
f ( x) 的解析式; f ( x) ? 2( x ? 1) ? a ln x 在区间 ( 0 , 1 ) 上单调,求实数 a 的取值

(1)求函数

(2) 已知函数 h( x) ? 范围.

21(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=

ln x+k (k 为常数,e 为自然对数的底数),曲线 y=f (x) ex

在点(1,f(1)) 处的切线与 x 轴平行. (1)求 k 的值,并求 f (x)的单调区间; (2)设 g(x)=xf ′(x),其中 f ′(x)为 f(x)的导函数,证明:对任意 x>0,g(x)<1+e 2.


请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 已知 PA 与圆 O 相切于点 A ,经过点 O 的割线 PBC 交 圆 O 于点 B、C , ?APC 的平分线分别交 AB、AC 于 点 D、E .(1)证明: ?ADE ? ?AED ; (2)若 AC ? AP ,求

PC 的值. PA

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

s .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4c o ?
正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,且 AB ? 14 ,求直线的倾斜角 ? 的值.

? x ? 1 ? t cos? ( t 是参数 ) ? y ? t sin ?

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x) = |x + a| + |x-2|. (Ⅰ)当 a =-3 时,求不等式 f (x)≥3 的解集; (Ⅱ)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围.

银川二中 2015-2016 学年第一学期高三年级统练一 数 学 试 卷(理科)参考答案
一、选择题:BABCA BCCCB 14. ? DC

二、填空题 13 (?1,3) 三,解答题

1 2

15. ? 2

16.①⑤

17.【解析】 (1)∵a2=b2+c2+bc,∴ cos A ?

2? 1 又∵A∈(0,π),∴A= 3 . 又由 S△ ABC=2bcsinA= 3,所以 bc=4, 2? 由余弦定理得:12=a2=b2+c2-2bc· cos 3 =b2+c2+bc,

1 b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ? ,即 cosA=-2, 2bc 2

∴16=(b+c)2,故 b+c=4. ………………………6 分 b c a 2 3 ? (2)由正弦定理得:sinB=sinC=sinA= =4,又 B+C=?-A=3, 2? sin 3 ? ? ∴b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin(3-B)=4sin(B+3), 3 ? ? ? 2? ? ∵0<B<3,则3<B+3< 3 ,则 2 <sin(B+3)≤1, 即 b+c 的取值范围是?2 3,4?.………………………12 分 18.(1)图像法得 f ( x) 的最小值为 1………………..4 分 (2)由(1)得 m ? 2m ? 2 ? 1 即 m ? 2m ? 3 ? 0
2 2

解得 ? 3 ? m ? 1 命题 p : ? 3 ? m ? 1 命题 q : 函数 y ? (m 2 ? 1) x 是增函数,则 m ? 1 ? 1 即 m ? 2
2 2

命题 q : m ? ? 2或m ?

2 …………………………..8 分

由 " p或q"为真, " p且q" 为假可知有以下两种情形 解得 ? 2 ? m ? 1 ?? 2 ? m ? 2 ?m ? ?3或m ? 1 若 p 假 q 真 ,则 ? 解得 m ? ?3或m ? 2 ……10 分 ?m ? ? 2或m ? 2 若 p 真 q 假,则 ? 故实数 m 的取值范围 (??,?3) ? [? 2 ,1] ? ( 2 ,??) ……….12 分 19. (本小题满分 12 分) (1) f ( x) ? 2 ? (3sin2 x ? cos2 x ? 2 3sin x cos x)

?? 3 ? m ? 1

? cos2 x ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6 ? ? ? 7? ? 1 ? x ? [0, ],? 2 x ? ? [ , ] , sin(2 x ? ) ? [ ? ,1] , 2 6 6 6 6 2 ……………6 分 ? f ( x) ? [?1,2] (2)由条件得 sin(2 A ? C ) ? 2sin A ? 2sin A cos( A ? C )
sin A cos( A ? C ) ? cos Asin( A ? C ) ? 2sin A ? 2sin A cos( A ? C )
? ? ? 化简得 sin C ? 2sin A ?c ? 2a, b ? 3a, 由余弦定理得 A ? 30 , B ? 60 , C ? 90

?

? f ( B) ? f (60? ) ? 2sin150? ? 1 ……………12 分 20.(本题满分 12 分)
解: (1)由 g ( x) ? x ? b sin x ? 2 ? 2 得 g ( x) ? x ? b sin x
2 2

∵ g ( ? x) ? g ( x)
2 2 ∴ x ? b sin x ? x ? b sin x

∴ b sin x ? 0 ? sin x ? 0 或 b ? 0
故 (2)由

f ( x) ? x 2 ? 2 h( x) ? x 2 ? 2 ? 2( x ? 1) ? a ln x
h?( x) ? 2 x ? 2 ? a x
(x 得

h( x) ? x 2 ? 2x ? a ln x

(x

? 0)

? 0)
∴有 h?( x) ? 0 或 h?( x) ? 0 恒成立

∵ h( x) 在区间 ( 0 , 1 ) 上单调 即

2x 2 ? 2x ? a ? 0 a ? ?2 x 2 ? 2 x

或 或

2x 2 ? 2x ? a ? 0 a ? ?2 x 2 ? 2 x

设 t ? ?2 x ? 2 x
2

当 0 ? x ? 1 时, ? 4 ? t ? 0

a ? 0 或 a ? ?4
所以实数 a 的取值范围是 (??,?4] ? [0,??) ; ln x+k 1-kx-xln x 21.【解析】 : (1)由 f(x)= ,x∈(0,+∞),得 f ′(x)= ,x∈(0,+∞). x e xex 由于曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 x 轴平行.所以 f ′(1)=0,因此 k=1. ……………2



得 f ′(x)=

1 (1-x-xln x),x∈(0,+∞), xex

令 h(x)=1-x-xln x,x∈(0,+∞), 当 x∈(0,1)时,h(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,h(x)<0. 又 ex>0,所以 x∈(0,1)时,f′(x)>0;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0. 因此 f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).………………………6 分 1 (2)因为 g(x)=xf ′(x),所以 g(x)= x(1-x-xln x),x∈(0,+∞), e 由(1)得,h(x)=1-x-xln x,求导得 h′(x)=-ln x-2=-(ln x-ln e 2).


所以当 x∈(0,e 2)时,h′(x)>0,函数 h(x)单调递增;


当 x∈(e 2,+∞)时,h′(x)<0,函数 h(x)单调递减.………………………9 分


所以当 x∈(0,+∞)时,h(x)≤h(e 2)=1+e 2.
- -

1 又当 x∈(0,+∞)时,0< x<1, e 1 - - 所以当 x∈(0,+∞)时,g(x)= x· h(x)<1+e 2,即 g(x)<1+e 2. e 22. (1)∵ PA 是切线,AB 是弦,∴ ∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APD=∠CPE,∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE,∴ ∠ADE=∠AED。 (2)由(1)知∠BAP=∠C,又 ∵ ∠APC=∠BPA, ∴ △APC∽△BPA, ∴

PC CA ? , PA AB

∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP,

由三角形内角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP=180°, ∵ BC 是圆 O 的直径,∴ ∠BAC=90°, ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°, ∴ ∠C=∠APC=∠BAP=

1 ×90°=30°。 3

在 Rt△ABC 中,

CA PC CA ? = 3, ∴ = 3。 AB PA AB

23、(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 解:(1) ( x ? 2) ? y ? 4
2 2

……4 分

(2)将 ?

? x ? 1 ? t cos? 代入圆的方程得 (t cos? ?1) 2 ? (t sin ? ) 2 ? 4 , y ? t sin ? ?
2

化简得 t ? 2t cos? ? 3 ? 0 .

设 A 、 B 两点对应的参数分别为 t1 、 t 2 ,则 ?

?t1 ? t 2 ? 2 cos? , ……6 分 ? t1t 2 ? ?3

? AB ? t1 ? t 2 ?

?t1 ? t 2 ?2 ? 4t1t 2

? 4 cos2 ? ? 12 ? 14 ,
……10 分

? 4 cos2 ? ? 2 , cos? ? ?

2 ? 3? ,? ? 或 . 2 4 4

??2 x ? 5, x ? 2, ? 24.【解析】(Ⅰ)当 a= -3 时, f ( x ) ??| x ? 3 | ? | x ? 2 |? ?1, 2 ? x ? 3, ?2 x ? 5, x ? 3. ?
当 x ? 2 时,由 f(x)≥3 得-2x+5 ? 3;解得 x ? 1; 当 2<x<3 时,f(x)≥3 无解; 当 x ? 3 时,由 f(x)≥3 得 2x-5 ? 3;解得 x ? 4. 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x ≤1}∪{x|x≥4}.………………………5 分 (Ⅱ) f(x) ? x-4 ? x-4 ? x-2 ? x ? a

? x ? a ? -2-a ? x ? 2-a 当 x ??1, 2? 时, x-4 ? x-2 ? x ? a ? 4-x-(2-x)
由条件得-2-a ? 1 且 2-a ? 2,即-3 ? a ? 0. 故满足条件的 a 的取值范围为 ?-3,0? .…………………10



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