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高考专题训练七 直线与方程、圆与方程


高考专题训练七
班级_______ 姓名_______

直线与方程、圆与方程
时间: 分钟 45 分值: 分 75 总得分________

一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小 题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项填在答题卡上. 1.直线 y=kx+3 与圆(x-2)2+(y-3)2=4 相交于 M、N 两点, 若|MN|≥2 3,则 k 的取值范围是( 3 A.[- ,0] 4 C.[- 3, 3] ) B.[- 3 3 , ] 3 3

2 D.[- ,0] 3

解析: 本小题主要考查直线与圆的位置关系、 圆的方程与几何性 质. 如图,记题中圆的圆心为 C(2,3),作 CD⊥MN 于 D,则|CD|= |2k| 2 2 2 , 于 是 有 |MN| = 2|MD| = 2 |CM| -|CD| = 2 1+k 4k2 3 3 ≥2 3,即 4- ≤k≤ . 2≥3,解得- 3 3 1+k 4k2 4- 1+k2

答案:B 2. (2011· 潍坊市)若 PQ 是圆 x2+y2=9 的弦, 的中点是 M(1,2), PQ 则直线 PQ 的方程是( )

A.x+2y-3=0 C.2x-y+4=0

B.x+2y-5=0 D.2x-y=0

1 解析: 由圆的几何性质知 kPQ·OM=-1, OM=2, PQ=- , k ∵k ∴k 2 1 故直线 PQ 的方程为 y-2=- (x-1),即 x+2y-5=0. 2 答案:B x y 3. (2011· 日照市)若直线a+b=1 经过点 M(cosα, sinα), 则( A.a2+b2≤1 1 1 C. 2+ 2≤1 a b B.a2+b2≥1 1 1 D. 2+ 2≥1 a b )

解析:由点 M(cosα,sinα)可知,点 M 在圆 x2+y2=1 上,又直 |ab| x y 2 2 2 2 线a+b=1 经过点 M,所以 2 2≤1?a +b ≥a b ,不等式两边 a +b 1 1 同时除以 a2b2 得 2+ 2≥1,故选 D. a b 答案:D 4. (2011· 临沂市)已知直线 x+ 3y-m=0 与圆 x2+y2=1 交于 A、 → → B 两点,则与OA+OB共线的向量为(
?1 3? A.? ,- ? 3? ?2

)
?1 3? B.? , ? 3? ?2

C.(-1, 3)

D.(1, 3)

→ → → → → 解析:根据题意|OA|=|OB|=1,故(OA+OB)⊥AB,直线 AB 的 斜率为- 3 → → ,故向量OA+OB所在直线的斜率为 3,结合选项知, 3

只有选项 D 符合要求. 答案:D

5. (2011· 烟台市)若圆 x2+y2-ax+2y+1=0 与圆 x2+y2=1 关于 直线 y=x-1 对称,过点 C(-a,a)的圆 P 与 y 轴相切,则圆心 P 的 轨迹方程为( ) B.y2+2x-2y+2=0 D.y2-2x-y-1=0

A.y2-4x+4y+8=0 C.y2+4x-4y+8=0

解析: 由圆 x2+y2-ax+2y+1=0 与圆 x2+y2=1 关于直线 y=x -1 对称可知两圆半径相等,故可得 a=± 2(舍负),即点 C(-2,2),所 以过点 C(-2,2)且与 y 轴相切的圆圆心的轨迹方程为(x+2)2+(y-2)2 =x2,整理即得 y2+4x-4y+8=0,故选 C. 答案:C 6.(2011· 山东省临沂市)已知点 P(x,y)在直线 x+2y=3 上移动,
? 1? ? 1? 1 当 2x+4y 取最小值时,过点 P(x,y)引圆 C:?x-2?2+?y+4?2= 的切 2 ? ? ? ?

线,则此切线长等于( 1 A. 2 C. 6 2

) 3 B. 2 D. 3 2

解析:由于点 P(x,y)在直线 x+2y=3 上移动,得 x,y 满足 x +2y=3,又 2x+4y=2x+22y≥2 2x+2y=4 2,取得最小值时 x=2y,
?3 3? ?1 1? 此时点 P 的坐标为?2,4?.由于点 P 到圆心 C?2 , -4?的距离为 d= ? ? ? ? ?3 1?2 ?3 1?2 2 ? - ? +? + ? = 2, 而圆 C 的半径为 r= , 则切线长为 d2-r2 2 ?2 2 ? ?4 4?



1 6 2- = ,故选 C. 2 2 答案:C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案

填在题中横线上. 7.圆心为原点且与直线 x+y-2=0 相切的圆的方程为 ________. 解析: 本题考查了直线与圆的位置关系, 在解题时应首先求得原 点到直线的距离,即是圆的半径,写出圆的方程即可,题目定位于简 单题. 由题意可知,原点到直线 x+y-2=0 的距离为圆的半径,即 r |0+0-2| = = 2,所以圆的方程为 x2+y2=2. 2 答案:x2+y2=2 8.若不同的两点 P,Q 的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线 段 PQ 的垂直平分线 l 的斜率为________;圆(x-2)2+(y-3)2=1 关 于直线 l 对称的圆的方程为____________________. 解析: 本小题主要考查了直线与圆的知识, 并且考查了圆关于直 线对称的知识点. 由题可知 kPQ= 3-a-b =1,又 klkPQ=-1?kl=-1,圆关于直 3-b-a

线 l 对称,找到圆心(2,3)的对称点(0,1),又圆的半径不变,易得 x2+ (y-1)2=1. 答案:-1 x2+(y-1)2=1 9.(2011· 临沂)已知点 P 在直线 x+2y-1=0 上,点 Q 在直线 x y0 +2y+3=0 上,PQ 中点为 M(x0,y0),且 y0≥x0+2,则 的取值范 x0 围为________. 解析:如下图所示,点 M 在射线 AB 上,射线 AB 的方程为 y= 5? ? 5 1? 1 1? y0 y0 - x- ?x≤-3?,点 A 的坐标是?-3,3?,根据 的几何意义可知 2 2? x0 x0 ? ? ?

1 1 的取值范围是(- ,- ]. 2 5

1 1 答案:(- ,- ] 2 5 10.(2011· 苏锡常镇)如果圆(x-a)2+(y-a)2=4 上总存在两个点 到原点的距离为 1,则实数 a 的取值范围是____________________. 解析:∵(x-a)2+(y-a)2=4,∴圆心坐标为(a,a),半径为 2, 圆心在直线 y=x 上,只需考察圆心与原点之间的距离,先画个单位 圆,由于圆(x-a)2+(y-a)2=4 的半径为 2,当 a= 2 时,单位圆与 2

圆(x-a)2+(y-a)2=4 内切,此时只有切点到原点的距离是 1;当 a 3 2 = 时,单位圆与圆(x-a)2+(y-a)2=4 外切,此时也只有切点到 2 原点的距离是 1;而当 2 3 2 <a< 时,单位圆与圆(x-a)2+(y-a)2=4 2 2 3 2 2

相交于两个点, 且恰有这两个交点到原点的距离为 1; 同理, 当- <a<-

2 时,单位圆与圆(x-a)2+(y-a)2=4 也相交于两个点,且恰 2 2 3 2 3 2 2 <a< 或- <a<- 时, 2 2 2 2

有这两个交点到原点的距离为 1.即当

单位圆与圆(x-a)2+(y-a)2=4 相交于两个点,在圆(x-a)2+(y-a)2 =4 上总存在这两个交点到原点的距离为 1.

答案:

2 3 2 3 2 2 <a< 或- <a<- 2 2 2 2

三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 11.(12 分)已知,如图,⊙O:x2+y2=1 和定点 A(2,1),由⊙O 外一点 P(a,b)向⊙O 引切线 PQ,切点为 Q,且满足|PQ|=|PA|.

(1)求实数 a、b 间满足的等量关系; (2)求线段 PQ 长的最小值; (3)若以 P 为圆心所作的⊙P 与⊙O 有公共点,试求半径取最小 值时⊙P 的方程. 解:(1)连接 OP,∵Q 为切点,PQ⊥OQ,由勾股定理有|PQ|2= |OP|2-|OQ|2. 又由已知|PQ|=|PA|,故|PQ|2=|PA|2, 即(a2+b2)-12=(a-2)2+(b-1)2. 化简得实数 a、b 间满足的等量关系为 2a+b-3=0. (2)由 2a+b-3=0,得 b=-2a+3. |PQ|= a2+b2-1= a2+?-2a+3?2-1 = 5a2-12a+8=
? 6? 4 5?a-5?2+ . 5 ? ?

6 2 故当 a= 时,|PQ|min= 5, 5 5

2 即线段 PQ 长的最小值为 5. 5 (3)设⊙P 的半径为 R, ⊙P 与⊙O 有公共点, ∵⊙O 的半径为 1, ∴|R-1|≤|OP|≤R+1,即 R≥|OP|-1 且 R≤|OP|+1. 而|OP|= a2+b2= a2+?-2a+3?2 =
? 6? 9 5?a-5?2+ . 5 ? ?

6 3 3 故当 a= 时,|PO|min= 5,此时 b=-2a+3= , 5 5 5 Rmin=
? ? 6? ? 3? 3 5-1.则半径取最小值时⊙P 的方程为?x-5?2+?y-5?2 5 ? ? ? ?

?3 ? =?5 5-1?2. ?

12.(13 分)(2011· 福建)已知直线 l:y=x+m,m∈R. (1)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切于点 P, 且点 P 在 y 轴 上,求该圆的方程; (2)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l′,问直线 l′与抛物线 C: x2=4y 是否相切?说明理由. 解:解法一:(1)依题意,点 P 的坐标为(0,m).因为 MP⊥l, 0-m 所以 ×1=-1, 2-0

解得 m=2,即点 P 的坐标为(0,2)从而圆的半径 r=|MP|= ?2-0?2+?0-2?2=2 2.

故所求圆的方程为(x-2)2+y2=8. (2)因为直线 l 的方程为 y=x+m 所以直线 l′的方程为 y=-x-m.
? ?y=-x-m, 由? 2 得 x2+4x+4m=0. ?x =4y ?

Δ=42-4×4m=16(1-m). ①当 m=1,即 Δ=0 时,直线 l′与抛物线 C 相切; ②当 m≠1,即 Δ≠0 时,直线 l′与抛物线 C 不相切. 综上,当 m=1 时,直线 l′与抛物线 C 相切,当 m≠1 时,直 线 l′与抛物线 C 不相切. 解法二: (1)设所求圆的半径为 r,则圆的方程可设为(x-2)2+y2=r2. 依题意,所求圆与直线 l:x-y+m=0 相切于点 P(0,m),则

?4+m =r , ? ?|2-0+m| =r, ? ? 2
2 2

?m=2, ? 解得? ?r=2 2. ?

所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=8. (2)同解法一.


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