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2016高三数学总复习9-5线面、面面垂直的判定与性质109张(人教A版)


第九章

立体几何

第九章
第五节 线面、面面垂直的判定与性质

基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

/>
基础梳理导学

重点难点

引领方向

重点:线面、面面垂直的定义、判定定理、性质定理. 难点:线面、面面垂直的判定、性质定理的灵活应用.

夯实基础 稳固根基 1.直线与平面垂直 (1)定义: 如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直, 则这条直线和这个平面垂直.

(2)判定方法 ①用定义. a⊥b ? ? ? a⊥c ? b∩c=A?? a⊥α ? b?α ? ? c?α ?

②判定定理:

.

a⊥α ③推论: a∥b

? ? ??b⊥α. ? ?

α∥β? ? ?? a⊥β . ④ a⊥α? ?

(3)性质 a⊥α? a⊥α? ? ? ?? a⊥b . ② ?? a∥b . ① b?α? b⊥α? ? ?

2.两个平面垂直 (1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二 面角,就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理 a?α? ? ??α⊥β. a⊥β? ?

(3)性质 ①性质定理 α⊥β ? ? α∩β=l? ??a⊥β. a?α ? ? a⊥l ? ②重要结论 α⊥β ? ? ? α∩β=l ??A∈l. P∈α ? PA⊥β垂足为A? ?

α⊥β ? ? α∩β=l? ??PA?α. P∈α ? PA⊥β ? ?

3.线面角和二面角 (1)线面角: 平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的角. 直线与平面所成角 θ 的范围是[0° ,90° ]. θ=0° 时,直线在平面内或与平面平行. θ=90° 时,直线与平面垂直.

(2)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 叫做二面角,在二面角的棱上任取一点 O,在两个半平面内 以 O 为垂足作棱的垂线 OA 与 OB, 则∠AOB 叫做二面角的平 面角.二面角的取值范围是[0° ,180° ),θ=0° 时两个半平面共 面; 0° <θ<90° 时为锐二面角; θ=90° 时为直二面角; 90° <θ<180° 时为钝二面角.

疑难误区 点拨警示 a⊥α? a⊥α? a∥b? ? ? ? ??a∥b、 ??α∥β、 ??b∥c, 1. 不要将 b⊥α? a⊥β? a∥c ? ? ? ? α∥β? α⊥β? a∥α? ? ? ? ??β∥γ,错误迁移到 ??β∥γ、 ??a∥b、 及 α∥γ ? α⊥γ ? b∥α? ? ? ? a⊥b? a⊥b? α⊥β? ? ? ? ??b⊥c、 ??b∥c 及 ??β⊥γ 致误. a⊥c ? a⊥c ? α⊥γ ? ? ? ?

2.不要将“经过一点有且仅有一条直线与平面垂直”; “经过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直”;“经过平 面外一点有无数条直线与已知平面平行,这无数条直线在同 一个平面内,即经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平 面平行”; “经过直线外一点有且仅有一条直线 l 与已知直线 平行,有无数个平面与已知直线平行,这无数个平面的交线 为 l”弄混错用.

3.a⊥b,a⊥c,b?α,c?α?a⊥α 是错误的,b 与 c 相 交的条件不能少. 4.两平面垂直 时,从一个平面内一点向另一个平面作垂 .. 线,则垂足必落在交线上.

思想方法技巧

一、特殊点在平面上的射影 1.△ABC 所在平面外一点 P 在平面 ABC 内射影为 O, (1)若 PA=PB=PC,则 O 为△ABC 外心; (2)若 P 到△ABC 三边距离相等, 则 O 为△ABC 内心或旁 心; (3)若 PA、PB、PC 两两垂直,则 O 为△ABC 的垂心.

2.∠ACB 所在平面外一点 P 在平面 ACB 内射影为 O (1)若∠PCA=∠PCB,则 O 在∠BCA 的平分线上; (2)若 P 到∠BCA 两边距离相等, 则 O 在∠BCA 的平分线 上.

二、线面角与二面角的找法 1. 求平面 α 的斜线 l 与平面 α 所成的角, 可从斜线上找(或 取)一点 P,过该点作平面 α 的垂线,连结斜足 A 和垂足 B, 则∠PAB 即所找的线面角,找垂足的位置时,常根据面面垂 直的性质定理找.

2.二面角的平面角的找法 (1)在二面角的棱上取一点,过该点分别在二面角的两个 半平面内作棱的垂线,两射线的夹角,即二面角的平面角. (2)作棱的垂面,垂面与两个半平面的交线夹角,即二面 角的平面角. (3)在二面角的一个半平面内取一点 A,过 A 向另一个半 平面所在平面作垂线,垂足为 B,再由 B 向棱作垂线,垂足 为 C,则∠ACB 就是二面角的平面角或其补角.

考点典例讲练

线面位置关系的命题真假判断

[例 1]

已知 α,β 表示两个互相垂直的平面,a,b 表示 )

一对异面直线,则 a⊥b 的一个充分条件是( A.a∥α,b⊥β C.a⊥α,b∥β B.a∥α,b∥β D.a⊥α,b⊥β

b⊥β? ? ??b∥α 或 b?α,又 a∥α,此时 a 与 b 位置 解析: α⊥β? ? 关系不确定,排除 A;设 α∩β=l,当 a∥b∥l 时,排除 B; ? a⊥α? ? ??a∥β或a?β? α⊥β? ??a⊥b, ? ? b⊥β ?

同 A 的讨论一样可排除 C;

故 D 正确.

答案:D

点评:解答此类问题,关键是熟悉各种线面位置关系的 定义、判定定理和性质定理,明确其特殊性及易混易错点.另 外要注意充分条件与必要条件的区分.

(2011· 安徽省合肥市质检)设 a、b 是两条不同的直线,α、 β 是两个不同的平面,则下列命题错误的是( A.若 a⊥α,b∥α,则 a⊥b B.若 a⊥α,b∥a,b?β,则 α⊥β C.若 a⊥α,b⊥β,α∥β,则 a∥b D.若 a∥α,a∥β,则 α∥β )

解析:对于选项 D,可能会出现 α∥β 或 α 与 β 相交.故 选项 D 错误.
答案:D

点评:对于 A,过 b 作平面 δ∩α=b1,则∵b∥α,∴b∥ b1,∵a⊥α,∴a⊥b1,∴a⊥b;对于 B,∵a⊥α,b∥a,∴b ⊥α,∵b?β,∴α⊥β;对于 C,∵a⊥α,α∥β,∴a⊥β,又 ∵b⊥β,∴a∥b.

线面垂直的判定与性质

[例 2]

(2012· 安徽文, 19)如图, 长方体 ABCD-A1B1C1D1

中,底面 A1B1C1D1 是正方形,O 是 BD 的中点,E 是棱 AA1 上任意一点.

(1)证明:BD⊥EC1; (2)如果 AB=2,AE= 2,OE⊥EC1,求 AA1 的长.

分析:(1)通过证明 BD⊥平面 ACC1A1 来证 BD⊥EC1.(2) 设出 AA1 的长,在 Rt△EA1C1,Rt△OCC1 中分别应用勾股定 理,求得 AA1 的长.

解析:(1)证明:连接 AC,A1C1. 由底面是正方形知,BD⊥AC. 因为 AA1⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD, 所以 AA1⊥BD. 又由 AA1∩AC=A,所以 BD⊥平面 AA1C1C. 再由 EC1?平面 AA1C1C 知,BD⊥EC1.

(2)设 AA1 的长为 h,连接 OC1. 在 Rt△OAE 中,AE= 2,AO= 2, 故 OE2=( 2)2+( 2)2=4. 在 Rt△EA1C1 中,A1E=h- 2,A1C1=2 2,
2 2 故 EC2 = ( h - 2) + (2 2) . 1 2 在 Rt△OCC1 中,OC= 2,CC1=h,OC1 =h2+( 2)2. 2 因为 OE⊥EC1,所以 OE2+EC2 1=OC1,

即 4+(h- 2)2+(2 2)2=h2+( 2)2,解得 h=3 2, 所以 AA1 的长为 3 2.

点评:本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与 平面的位置关系判定,利用勾股定理求线段的长等基础知识 和基本技能,考查空间想象能力,推理论证能力和运算求解 能力.

如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为菱形,PA ⊥平面 ABCD,∠ABC=60° ,E 是 BC 的中点.证明:AE⊥ PD.

解析: 由四边形 ABCD 为菱形, ∠ABC=60° , 可得△ABC 为正三角形. 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥BC. 又 BC∥AD,因此 AE⊥AD. 因为 PA⊥平面 ABCD,AE?平面 ABCD, 所以 PA⊥AE. 而 PA?平面 PAD,AD?平面 PAD 且 PA∩AD=A, 所以 AE⊥平面 PAD. 又 PD?平面 PAD.所以 AE⊥PD.

面面垂直的判定与性质

[例 3] B1C⊥A1B.

如图, 棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形,

(1)证明:平面 AB1C⊥平面 A1BC1; (2)设 D 是 A1C1 上的点, 且 A1B∥平面 B1CD, 求 A1D DC1 的值.

分析:(1)证明面面垂直,一般通过线面垂直来证明,已 知 B1C⊥A1B,只要再在平面 A1BC1 内找一条直线与 B1C 垂直 或在平面 AB1C 内找一条直线与 A1B 垂直即可, 考虑条件“侧 面 BCC1B1 是菱形”可知 B1C⊥BC1,则可获证. (2)已知 A1B∥平面 B1CD,应用性质找一个经过 A1B 的平 面与平面 B1CD 相交,注意观察图形可以发现 A1C1 和 BC1 都 与平面 B1CD 相交,设 B1C∩BC1=E,则 DE 为平面 A1BC1 与 平面 B1CD 的交线,问题迎刃而解.

解析:(1)因为侧面 BCC1B1 是菱形,所以 B1C⊥BC1, 又已知 B1C⊥A1B,且 A1B∩BC1=B, 所以 B1C⊥平面 A1BC1,又 B1C?平面 AB1C 所以平面 AB1C⊥平面 A1BC1 .

(2)设 BC1 交 B1C 于点 E,连结 DE,则 DE 是平面 A1BC1 与平面 B1CD 的交线. 因为 A1B∥平面 B1CD,A1B?平面 A1BC1,平面 A1BC1∩ 平面 B1CD=DE,所以 A1B∥DE. 又 E 是 BC1 的中点, 所以 D 为 A1C1 的中点. 即 A1D:DC1=1:1.

(文)在空间中,用 x、y、z 表示不同的直线或平面,若命 题“x⊥y,x⊥z,则 y∥z”成立,则 x、y、z 分别表示的元素 是( ) A.x、y、z 都是直线 B.x、y、z 都是平面

C.x、y 是平面,z 是直线 D.x 是直线,y、z 是平面

解析:垂直于同一条直线的两直线不一定平行故 A 错; 垂直于同一个平面的两个平面不一定平行,故 B 错;一条直 线与一个平面都和同一个平面垂直时,直线可能在平面内, 故 C 错.由线面垂直的性质知,D 正确.
答案:D

(理)(2012· 江苏,16)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, A1B1=A1C1,D,E 分别是棱 BC,CC1 上的点(点 D 不同于点 C),且 AD⊥DE,F 是 B1C1 的中点.

求证:(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE. 分析:(1)要证面面垂直利用判定定理,可证 AD⊥平面 BCC1B1;(2)可证 A1F⊥平面 BCC1B1,从而 A1F∥AD.

证明:(1)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱, 所以 CC1⊥平面 ABC, 又 AD?平面 ABC,所以 CC1⊥AD. 又因为 AD⊥DE,CC1,DE?平面 BCC1B1, CC1∩DE=E, 所以 AD⊥平面 BCC1B1. 又 AD?平面 ADE, 所以平面 ADE⊥平面 BCC1B1.

(2)因为 A1B1=A1C1,F 为 B1C1 的中点, 所以 A1F⊥B1C1. 因为 CC1⊥平面 A1B1C1,且 A1F?平面 A1B1C1, 所以 CC1⊥A1F. 又因为 CC1,B1C1?平面 BCC1B1,CC1∩B1C1=C1, 所以 A1F⊥平面 BCC1B1. 由(1)知 AD⊥平面 BCC1B1, 所以 A1F∥AD.

又 AD?平面 ADE,A1F?平面 ADE, 所以 A1F∥平面 ADE.

点评:本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置 关系,考查空间想象能力和推理论证能力.解决此类题的关 键是熟练掌握线面关系判定定理与性质定理.

点的射影问题

[例 4]

如图所示,已知△ADB 和△ADC 都是以 D 为直

角顶点的直角三角形,且 AD=BD=CD,∠BAC=60° .

(1)求证:BD⊥平面 ADC; (2)若 H 是△ABC 的垂心,求证:H 是 D 在平面 ABC 内 的射影 .

证明:(1)∵∠ADB=∠ADC,DA=DB=DC, ∴AB=AC,

又∵∠BAC=60° , ∴△ABC 为正三角形, ∴AB=BC=AC, ∴△ABD △BCD, ∴∠ADB=∠BDC=90° , ∴BD⊥DC,BD⊥AD, ∴BD⊥面 ADC.

(2)∵H 为△ABC 的垂心, ∴AH⊥BC,设垂足为 M,连结 DM, ∵AD⊥DB,AD⊥DC,∴AD⊥平面 BDC, ∴AD⊥BC,∴BC⊥平面 ADM, ∴BC⊥DH,同理 DH⊥AB. ∴DH⊥平面 ABC. ∴H 为 D 在平面 ABC 内的射影.

在正四面体 P-ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,下面结论中不成立 的是( ... ①BC∥平面 PDF; ②DF⊥平面 PAE; ③平面 PDF⊥平面 ABC; ④平面 PAE⊥平面 ABC; ⑤平面 PDF⊥平面 PAE. )

解析:∵D、F 分别为 AB、CA 中点,∴DF∥BC. ∴BC∥平面 PDF,故①正确.

又∵P-ABC 为正四面体, ∴P 在底面 ABC 内的射影 O 在 AE 上. ∴PO⊥平面 ABC.∴PO⊥DF. 又∵E 为 BC 中点,∴AE⊥BC,∴AE⊥DF. 又∵PO∩AE=O,∴DF⊥平面 PAE,故②正确. 又∵PO?平面 PAE,PO⊥平面 ABC, ∴平面 PAE⊥平面 ABC,故④正确.

∵DF⊥平面 PAE,DF?平面 PDF, ∴平面 PDF⊥平面 PAE,∴⑤正确. ∴不成立的是③.

答案:③

空间中的角

[例 5]

(2012· 天津文, 17)如图, 在四棱锥 P-ABCD 中,

底面 ABCD 是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2 3,PD=CD =2.

(1)求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值; (2)证明平面 PDC⊥平面 ABCD; (3)求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值.

解析:(1)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,因为底面 ABCD 是矩形, 所以 AD=BC 且 AD∥BC, 又因为 AD⊥PD, 故∠PAD 为异面直线 PA 与 BC 所成的角.

PD 在 Rt△PDA 中,tan∠PAD= =2. AD 所以,异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值为 2. (2)证明:由于底面 ABCD 是矩形,故 AD⊥CD,又由于 AD⊥PD,CD∩PD=D,因此 AD⊥平面 PDC,而 AD?平面 ABCD,所以平面 PDC⊥平面 ABCD.

(3)在平面 PDC 内,过点 P 作 PE⊥CD,交直线 CD 于点 E,连接 EB. 由于平面 PDC⊥平面 ABCD,而直线 CD 是平面 PDC 与 平面 ABCD 的交线, 故 PE⊥平面 ABCD. 由此得∠PBE 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角. 在△PDC 中,由于 PD=CD=2,PC=2 3, 可得∠PCD=30° .

在 Rt△PEC 中,PE=PCsin30° = 3. 由 AD∥BC,AD⊥平面 PDC,得 BC⊥平面 PDC,因此 BC⊥PC. 在 Rt△PCB 中,PB= PC2+BC2= 13. PE 39 在 Rt△PEB 中,sin∠PBE=PB= 13 . 39 所以直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 13 .

(2011· 大连一模)已知三棱锥底面是边长为 1 的等边三角 形,侧棱长均为 2,则侧棱与底面所成角的余弦值为( 3 A. 2 3 C. 3 1 B. 2 3 D. 6 )

解析:由于是正三棱锥,故顶点在底面上的射影是底面 2 3 正三角形的中心, 底面的一个顶点到这个中心的距离是3× 2 3 3 3 3 = ,故侧棱与底面所成角的余弦值为 = . 3 2 6
答案:D

折叠问题

[例 6]

(2011· 潍坊模拟)如图甲, 直角梯形 ABCD 中, AB

⊥AD,AD∥BC,F 为 AD 中点,E 在 BC 上,且 EF∥AB, 已知 AB=AD=CE=2, 现沿 EF 把四边形 CDFE 折起如图乙 使平面 CDFE⊥平面 ABEF.

(1)求证:AD∥平面 BCE; (2)求证:AB⊥平面 BCE; (3)求三棱锥 C-ADE 的体积.

分析: (1)欲证 AD∥平面 BCE, 可利用折起前后 DF∥CE, AF∥BE 的不变性证明平面 ADF∥平面 BCE.(2)欲证 AB⊥平面 BCE,已知 AB⊥BE,只需利用平面 CDEF⊥平面 ABEF 的性 质证明 AB⊥CE,即可获证.

解析:(1)证明:由题意知 AF∥BE,DF∥CE, ∴平面 ADF∥平面 BCE,又 AD?平面 ADF, ∴AD∥平面 BCE. (2)证明:在图甲中,EF∥AB,AB⊥AD,∴EF⊥AD, ∴在图乙中,CE⊥EF, 又∵平面 CDFE⊥平面 ABEF,平面 CDFE∩平面 ABEF =EF,

∴CE⊥平面 ABEF, ∴CE⊥AB, 又∵AB⊥BE,∴AB⊥平面 BCE.

(3)∵平面 CDFE⊥平面 ABEF,AF⊥EF, ∴AF⊥平面 CDFE,∴AF 为三棱锥 A-CDE 的高,AF =1, 1 又∵AB=CE=2,∴S△CDE=2×2×2=2, 1 1 2 ∴VC-ADE=VA-CDE= S△CDE· AF= ×2×1= . 3 3 3

如图 1, 等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC, AB=AD, ∠ABC =60° ,E 是 BC 的中点.将△ABE 沿 AE 折起后如图 2,使二 面角 B-AE-C 成直二面角,设 F 是 CD 的中点,P 是棱 BC 的中点.

(1)求证:AE⊥BD; (2)求证:平面 PEF⊥平面 AECD; (3)判断 DE 能否垂直于平面 ABC,并说明理由.

解析:(1)证明:设 AE 中点为 M, ∵在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC= 60° ,E 是 BC 的中点,∴△ABE 与△ADE 都是等边三角形. ∴BM⊥AE,DM⊥AE. ∵BM∩DM=M,BM、DM?平面 BDM,∴AE⊥平面 BDM. ∵BD?平面 BDM,∴AE⊥BD.

(2)证明:连结 CM 交 EF 于点 N,∵ME 綊 FC,

∴四边形 MECF 是平行四边形. ∴N 是线段 CM 的中点. ∵P 是 BC 的中点,∴PN∥BM. ∵BM⊥平面 AECD,∴PN⊥平面 AECD. 又∵PN?平面 PEF,∴平面 PEF⊥平面 AECD.

(3)DE 与平面 ABC 不垂直. 证明:假设 DE⊥平面 ABC,则 DE⊥AB, ∵BM⊥平面 AECD.∴BM⊥DE. ∵AB∩BM=B, AB、 BM?平面 ABE, ∴DE⊥平面 ABE. ∴DE⊥AE,这与∠AED=60° 矛盾. ∴DE 与平面 ABC 不垂直.

点评:1.“折叠”问题一定要弄清折叠前后,图形的哪些 位置与数量关系发生了变化,哪些没有发生变化. 2.探索某种位置关系是否具备,通常是先假定具备这种 位置关系,然后结合条件进行推理,如果产生矛盾,则不具 备这种位置关系,否则具备这种位置关系.

课堂巩固训练

一、选择题 1.(文)(2011· 惠州调研)设 α,β 为不重合的平面,m,n 为不重合的直线,则下列命题正确的是( A.若 α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m⊥α B.若 m?α,n?β,m⊥n,则 n⊥α C.若 n⊥α,n⊥β,m⊥β,则 m⊥α D.若 m∥α,n∥β,m⊥n,则 α⊥β
[答案] C

)

[解析]

由 n⊥α,n⊥β,可知 α∥β,又 m⊥β,所以 m⊥

α,故 C 正确,选 C.

(理)(2011· 安徽淮南一模)给出命题: (1)在空间里,垂直于同一平面的两个平面平行; (2)设 l, m 是不同的直线, α 是一个平面, 若 l⊥α, l∥m, 则 m⊥α; (3)已知 α,β 表示两个不同平面,m 为平面 α 内的一条 直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件;

(4)a,b 是两条异面直线,P 为空间一点,过 P 总可以作 一个平面与 a,b 之一垂直,与另一个平行. 其中正确命题个数是( A.0
[答案] B

) C.2 D.3

B.1

[解析]

(1)错;(2)正确;(3)“α⊥β”是“m⊥β”的必要

不充分条件,该命题错误;(4)只有异面直线 a,b 垂直时才可 以作出满足要求的平面,故该命题错误.

二、填空题 2.(2011· 合肥模拟)设 m、n 是两条不同直线,α、β、γ 是三个不同平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n ②若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ ③若 m∥α,m∥β,则 α∥β ④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β

其中正确命题的序号是________.

[答案]

①②

[解析]

①过 n 作平面 β∩α=l,则 n∥l,∵m⊥α,∴m

⊥l,∴m⊥n,∴①正确; ②∵α∥β,β∥γ,∴α∥γ,∵m⊥α,∴m⊥γ,∴②正确; ③当 α∩β=l,m?α,m?β,m∥l 时,满足 m∥α,m∥β, ∴③错; ④当 α∩β=l,l⊥γ 时,满足 α⊥γ,β⊥γ,∴④错.

三、解答题 3.(文)如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=1,AA1 =AD=2.点 E 为 AB 中点.

(1)求三棱锥 A1-ADE 的体积; (2)求证:A1D⊥平面 ABC1D1; (3)求证:BD1∥平面 A1DE.

[解析]

(1)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,

因为 AB=1,E 为 AB 的中点, 1 所以,AE=2. 又因为 AD=2, 1 所以 S△ADE=2AD· AE 1 1 1 = ×2× = . 2 2 2

又 AA1⊥底面 ABCD,AA1=2, 所以三棱锥 A1-ADE 的体积 1 1 1 1 V=3S△ADE· AA1=3×2×2=3.

(2)证明:因为 AB⊥平面 ADD1A1, A1D?平面 ADD1A1,所以 AB⊥A1D.

因为四边形 ADD1A1 为正方形,所以 AD1⊥A1D. 又 AD1∩AB=A, AD1?平面 ABC1D1, AB?平面 ABC1D1, 所以 A1D⊥平面 ABC1D1.

(3)证明:设 AD1,A1D 的交点为 O,连结 OE. 因为四边形 ADD1A1 为正方形,所以 O 是 AD1 的中点, 在△AD1B 中,OE 为中位线,所以 OE∥BD1. 又 OE?平面 A1DE,BD1?平面 A1DE, 所以 BD1∥平面 A1DE.

(理)(2012· 石家庄市一模)四棱锥 A-BCDE 的正视图和俯 视图如下,其中俯视图是直角梯形.

(1)若正视图是等边三角形,F 为 AC 的中点,当点 M 在 棱 AD 上移动时,是否总有 BF 丄 CM,请说明理由; (2)若 AB=AC,平面 ABC 与平面 ADE 所成的锐二面角 为 45° ,求直线 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值.

[解析]

(1)总有 BF⊥CM,理由如下:

法一:取 BC 的中点 O,连接 AO, 由俯视图可知,AO⊥平面 BCDE,CD?平面 BCDE, 所以 AO⊥CD. 又 CD⊥BC,所以 CD⊥平面 ABC,故 CD⊥BF. 因为△ABC 为正三角形,F 是 AC 的中点, 所以 BF⊥AC.

又 AC∩CD=D,故 BF⊥平面 ACD, 因为 CM?平面 ACD,所以 BF⊥CM.

法二:取 BC 的中点 O,连接 AO,由俯视图可知,AO ⊥平面 BCDE,取 DE 中点 H,连接 OH,OH⊥BC, 以 OC、OH、OA 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角 坐标系 O-xyz.

则 A(0,0, 3),B(-1,0,0),C(1,0,0),D(1,2,0),可求得 1 3 F( ,0, ), 2 2

设点 M 的横坐标为 x,可求得点 M(x,2x, 3(1-x)) 3 → → 3 则BF=(2,0, 2 ),CM=(x-1,2x, 3(1-x)), 3 → → 3 BF· CM=2(x-1)+ 2 · 3(1-x)=0, 故 BF⊥CM.

(2)建系同上,设 A(0,0,a),(a>0), → → 可得ED=(2,1,0),AD=(1,2,-a), 设平面 ADE 的法向量为 m=(x1,y1,z1), → → 则 m· ED=0,m· AD=0,
? ?2x1+y1=0, 可得? ? ?x1+2y1-az1=0,

3 取 x1=1,y1=-2,z1=-a,

3 可得 m=(1,-2,-a).

又平面 ABC 的法向量为 n=(0,1,0), 所以 cos〈m,n〉= -2 9 5+a2 ,

由题设平面 ABC 与平面 ADE 所成的锐二面角为 45° , 可得 2 = ,解得 a= 3, 9 2 5+a2 2

设平面 ABE 的法向量为 p=(x2,y2,z2), → → 又BA=(1,0, 3),BE=(0,1,0),

→ → 故 p· BA=0,p· BE=0,
? ?x2+ 3z2=0, ∴? ? ?y2=0,

取 x2= 3,则 z2=-1,可得 p=( 3,0,-1), → AD · p 2 3 6 → cos〈AD,p〉= = =4. → 2× 8 |AD|· |p| 设直线 AD 与平面 ABE 所成角为 α, 6 → 则 sinα=|cos〈AD,p〉|= 4 .

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