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2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(全国卷,解析版1)


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2013 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. (1)设集合 U ? ?1, 2,3, 4,5? , 集合A ? ?1, 2? , 则?u A ? (A) ?1, 2? (B) ?3, 4, 5? (C) ?1, 2,3, 4,5? (D) ?

(2)已知 a 是第二象限角, sin a ? (A) ?

12 13

5 , 则cosa ? 13 5 5 (B) ? (C) 13 13

(D)

12 13

(3)已知向量 m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2 ? , 若 ? m ? n ? ? ? m ? n ? , 则? = (A) ?4 (B) ?3 (C) -2 (D) -1

-1-

(4)不等式 x ? 2 ? 2的解集是
2

(A)? -1,1?

(B)? -2, 2 ?

(C)? -1, 0 ? ? ? 0,1?

(D)? -2, 0 ? ? ? 0, 2 ?

(5) ? x ? 2 ? 的展开式中x 的系数是
8 6

(A) 28

(B) 56

(C) 112

(D) 224

(6)函数 f ? x ? ? log 2 ?1 ? (A)

? ?

1? -1 ? ? x ? 0 ?的反函数f ? x ? = x?
(C)2 ? 1? x ? R ?
x

1 1 ? x ? 0? (B) x ? x ? 0? 2 ?1 2 ?1
x

(D)2 ? 1? x ? 0 ?
x

-2-

(7)已知数列 ?an ? 满足 3an ?1 ? an ? 0, a2 ? ? , 则?an ?的前10项和等于 (A) -6 1-3

4 3

?

-10

?

(B)

1 ?1-3-10 ? 9

(C) 3 1-3

?

-10

?

(D) 3 1+3

?

-10

?

(8)已知 F1 ? ?1, 0 ? , F2 ?1, 0 ? 是椭圆C的两个焦点, 过F2且垂直于x轴的直线交于

A、B两点, AB ? 3, C 的方程为 且 则
(A)

x2 ? y2 ? 1 2

(B)

x2 y 2 ? ?1 3 2

(C)

x2 y 2 ? ?1 4 3

(D)

x2 y 2 ? ?1 5 4

(9)若函数 y ? sin ?? x ? ? ??? ? 0 ?的部分图像如图,则? = (A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2

-3-

, (10)已知曲线 y ? x ? ax ? 1在点 ? -1 a ? 2 ? 处切线的斜率为8,a =
4 2

(A) 9

(B) 6

(C) -9

(D) -6

(11) 已知正四棱锥 ABCD ? A1 B1C1 D1中,AA1 ? 2 AB, 则CD与平面BDC1所成角的正弦值 等于 (A)

2 3

(B)

3 3

(C)

2 3

(D)

1 3

-4-

(12)已知抛物线 C : y ? 8 x与点M ? ?2, 2 ? , 过 C的焦点,且斜率为k的直线与C交于
2

???? ???? A, B两点,若MA?MB ? 0, 则k ?
(A)

1 2

(B)

2 2

(C) 2

(D) 2

-5-

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)设 f ? x ? 是以2为周期的函数,且当x ? ?1,3? 时,f ? x ? = .

(14)从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖,2 名二等奖,3 名三等奖,则可能的决赛结 果共有 种.(用数字作答)

-6-

? x ? 0, ? (15)若 x、y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 4, 则 z ? ? x ? y的最小值为 ?3 x ? y ? 4, ?

.

(16)已 知 圆 O 和 圆 K 是 球 O 的 大 圆 和 小 圆 , 其 公 共 弦 长 等 于 球 O 的 半 径 ,

3 则球 OK ? ,且圆O与圆K 所在的平面所成角为60?, O 的表面积等于 2

.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 等差数列 ?an ? 中, a7 ? 4, a19 ? 2a9 , (I)求 ?an ? 的通项公式;

-7-

(II)设 bn ?

1 , 求数列?bn ?的前n项和Sn . nan

18. (本小题满分 12 分) 设

?ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, ? a ? b ? c ?? a ? b ? c ? ? ac.

(I)求 B;

sin A sin C ?
(II)若

3 ?1 , 求 C. 4

-8-

19. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD中,?ABC ? ?BAD ? 90 ,BC ? 2 AD, ?PAB与?PAD 都
?

是边长为 2 的等边三角形. (I)证明: PB ? CD; (II)求点 A到平面PCD的距离.

-9-

20. (本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时, 负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为

1 , 各局比赛的结果都相互独立,第 2

1局甲当裁判.
(I)求第 4 局甲当裁判的概率; (II)求前 4 局中乙恰好当 1 次裁判概率.

- 10 -

21. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ? x ? =x ? 3ax ? 3x ? 1.
3 2

(I)求 a ?

2时,讨论 f ? x ?的单调性; ;

(II)若 x ? ? 2, ?? ? 时,f ? x ? ? 0, 求a的取值范围.

- 11 -

22. (本小题满分 12 分) 已知双曲线 C :

x2 y 2 离心率为 3, 直线 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ?的左、右焦点分别为F1,F2, a 2 b2

y ? 2与C的两个交点间的距离为 6.
(I)求 a , b; ; (II) 设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且

AF1 ? BF1 , 证明: AF2 、 、 2 成等比数列. AB BF

- 12 -

- 13 -


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