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第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布(理)第四节(理) 第一节(文) 随机事件的概率


第十章 计数原理、概率、随机变量及其分 布(理)

第十章 概

率(文)

第四节(理)

第一节(文) 随机事件 的概率

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第十章 概 率(文)

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第十章 概 率(文)

一、事件

1.确定事件
一定会发生 的事件,叫做相对于条件S的 (1)在条件S下,___________ 必然事件.

一定不会发生 的事件,叫做相对于条件S (2)在条件S下,______________
的不可能事件.

(3)必然事件和不可能事件统称确定事件.

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第十章 概 率(文)

2.随机事件

可能发生也可能不发生 的事件,叫做相对于 在条件S下,_____________________
条件S的随机事件. 3.事件 确定事件 和 __________ 随机事件 统称为事件,一般用大写字母 __________ A,B,C?表示. 二、概率和频率
1.在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出 现,称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数, nA 称事件 A 出现的比例 fn(A)=____ n 为事件 A 出现的频率.

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第十章 概 率(文)

2.对于给定的随机事件 A,由于事件A发生的频率fn(A)随 着试验次数的增加稳定于概率 P(A),因此可以用频率fn(A)来估 计概率P(A). 三、事件的关系与运算 定义 发生 ,则事件B 如果事件A_____ 包含 一定发生 __________,这时称事件B包含事件 关系 A(或称事件A包含于事件B) A?B ,那么称事件A与 相等 若B?A,且______ 关系 事件B相等 符号表示 B ?A(或A?B) ____________

______ A=B

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第十章 概 率(文)

并事件 (和事件)
交事件 (积事件)

当且仅当事件A发生或 若某事件发生____________________ 事件B发生 ,则称此事件为事件A与 _____( A∪B 或A+B) ___________ 事件B的并事件(或和事件)
当且仅当事件A发生且 若某事件发生____________________ 事件B发生 ,则称此事件为事件A与 ______ AB ) A∩B (或___ ___________ 事件B的交事件(或积事件) A∩B=?

不可能 事件,那么称事件 若A∩B为_______ 互斥事件 A与事件B为互斥事件 不可能 事件,A∪B为 若A∩B为_______ 必然事件 ,那么称事件A与事件B 对立事件 __________ 互为对立事件

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第十章 概 率(文)

四、概率的几个基本性质

1.概率的取值范围:___________. 0≤P(A)≤1
2.必然事件的概率:P(E)=__. 1 3.不可能事件的概率:P(F)=___. 0

4.互斥事件概率的加法公式 P(A)+P(B) . (1)如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=___________
(2)若事件A与事件B互为对立事件,则P(A)=_________ 1-P(B) .

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第十章 概 率(文)

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)“某人购买的彩票中奖”是随机事件.(
(2)事件发生的频率与事件发生的概率相同.(

)
) )

(3)概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小;概 率的定义实际上也是求一个事件的概率的基本方法.( (4) 已 知 事 件 A 和 事 件 B , 则 A + B 表 示 两 个 事 件 都 发

生.(
件.(

)
)

(5)“事件A、B互斥”是“事件A、B对立”的必要不充分条

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第十章 概 率(文)

[答案及提示]

(1)√
(2)× 频率与概率有本质的区别,不可混为一谈.频率随 着试验次数的改变而变化,概率却是一个常数,它是频率的科 学抽象.当试验次数越来越多时,频率向概率靠近,只要次数 足够多,所得频率就可以近似地当作随机事件的概率.

(3)√
(4)× A+B表示事件A、B至少有一个发生. (5)√ 对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必

是对立事件,“互斥”是“对立”的必要不充分条件,而“对
立”则是“互斥”的充分不必要条件.

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第十章 概 率(文)

2 .一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中

靶”的互斥事件是(
C.只有一次中靶 解析:选D 中靶”.故选D.

)
B.两次都中靶 D.两次都不中靶

A.至多有一次中靶

“至少一次中靶”的互斥事件是“两次都不

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第十章 概 率(文)

3 . 从一箱产品中随机抽取一件,设事件 A = { 抽到一等

品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知
P(A) = 0.7, P(B) = 0.2 , P(C) = 0.1 ,则事件“抽到的不是一等 品”的概率为( A.0.7 C.0.1 解析: 选 D ) B.0.2 D.0.3 由于 “ 抽到的不是一等品 ” 的对立事件是

“抽到一等品”.又事件A={抽到一等品},且P(A)=0.7,因 此“抽到的不是一等品”的概率是1-0.7=0.3.故选D.

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第十章 概 率(文)

4.对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹.设A={两 次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一弹击中 飞机 } , D = { 至少有一弹击中飞机 } ,其中彼此互斥的事件是 ________,互为对立事件的是________. 解析: A与 B,A与 C, B与C,B 与D 和对立事件的定义逐一判断. B与D 由互斥事件

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第十章 概 率(文)

5.给出下列三个命题,其中正确命题有________个.
①有一大批产品,已知次品率为 10%,从中任取 100 件,必 有 10 件是次品;②做 7 次抛硬币的试验,结果 3 次出现正面, 3 因此正面出现的概率是7; ③随机事件发生的频率就是这个随机 事件发生的概率.
解析:0 ①中,次品率为 10%的含义是抽取 100 件产品可 3 能有 10 件次品,故错误;②中,7只是这一次试验的频率,故 错误;③中,由频率与概率的关系知错误.

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第十章 概 率(文)

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第十章 概 率(文)

随机事件及其关系的判定 (☆☆☆)

1.一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷 1次,设事件A表示向上的一面 出现奇数点,事件B表示向上的一面出现的点数不超过3,事件

C表示向上的一面出现的点数不小于4,则(
A.A与B是互斥而非对立事件 B.A与B是对立事件 C.B与C是互斥而非对立事件 D.B与C是对立事件

)

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第十章 概 率(文)

解: 选 D

根据互斥与对立的定义作答, A∩B= { 出现点

数1或3},事件A,B不互斥更不对立;B∩C=?,B∪C=Ω(Ω

为必然事件),故事件B,C是对立事件.故选D.

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第十章 概 率(文)

2.某小组有3名男生和2名女生,从中选择2名同学去参加 演讲比赛,有下列四对事件:

①恰有1名男生和恰有2名男生;
②至少有1名男生和至少有1名女生; ③至少有1名男生和全是男生; ④至少有1名男生和全是女生. 其中是互斥事件的是________.

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第十章 概 率(文)

解:①④

①中,在所选的2名同学中,“恰有1名男生”

实际选出的是 “1名男生和1名女生”,它与“恰有2名男生 ” 不可能同时发生,所以是一对互斥事件.②中,“至少有1名 男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结 果,“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都

是女生”两种结果,当事件“有1名男生和1名女生”发生时两
个事件都发生,故不互斥.③中,“至少有1名男生”包括“1 名男生、1名女生”和“2名都是男生”,这与“全是男生”可 能同时发生,因此不互斥.④中,“至少有1名男生”包括“1 名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果,它与“全是 女生”不可能同时发生,故是互斥事件.综上①④中的事件为

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第十章 概 率(文)

判断事件关系的常用方法
(1)利用集合观点判断事件关系; (2)可以写出所有试验结果,看所求事件包含哪几个试验结 果,从而判断事件的关系.

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第十章 概 率(文)

由频率估计随机事件的概率 (☆☆☆)
[典例1] (2012· 陕西高考)假设甲乙两种品牌的同类产品在某 地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种

品牌的产品中分别随机抽取 100个进行测试,结果统计如图所
示:

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第十章 概 率(文)

(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率; (2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估

计该产品是甲品牌的概率.

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第十章 概 率(文)

5+20 1 解:(1)甲品牌产品寿命小于 200 小时的频率为 = , 100 4 1 用频率估计概率, 所以甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率为 . 4 (2)根据抽样结果,寿命大于 200 小时的产品共有 75+70= 145(个),其中甲品牌产品是 75 个,所以在样本中,寿命大于 75 15 200 小时的产品是甲品牌的频率是 = ,用频率估计概率, 145 29 15 所以已使用了 200 小时的该产品是甲品牌的概率为29.

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第十章 概 率(文)

1. 频率是个不确定的数,在一定程度上频率可以反映事 件发生的可能性大小,但无法从根本上刻画事件发生的可能性 大小.但从大量重复试验中发现,随着试验次数的增多,事件 发生的频率就会稳定于某一固定的值,该值就是概率. m 2.概率计算公式 P= n ,其中 n 表示做了 n 次实验,m 表 示事件 A 发生的次数.

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第十章 概 率(文)

1.从某校高二年级的所有学生中,随机抽取 20人,测得

他们的身高(单位:cm)分别为:
162,153,148,154,165,168,172,171,173,150, 151,152,160,165,164,179,149,158,159,175. 根据样本频率分布估计总体分布的原理,在该校高二年级 的所有学生中任抽一人,估计该生的身高在 155.5 cm ~ 170.5 cm之间的概率约为( 2 A.5
2 C.3

)
1 B.2 1 D.3

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第十章 概 率(文)

解析:选 A 从已知数据可以看出,在随机抽取的这 20 位 2 学生中,身高在 155.5 cm~170.5 cm 之间的有 8 人,频率为5, 故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人,其身高在 2 155.5 cm~170.5 cm 之间的概率约为5.故选 A.

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第十章 概 率(文)

互斥事件、对立事件的概率 (☆☆☆☆)

[典例 2] (1)抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为出 1 1 现奇数点,事件 B 为出现 2 点,已知 P(A)=2,P(B)=6,则出 现奇数点或 2 点的概率为________.

2 解析: 3 由题意知“出现奇数点”的概率是事件 A 的概率, “出现 2 点”的概率是事件 B 的概率, 事件 A, B 互斥, 则“出 1 1 2 现奇数点或 2 点”的概率为 P(A)+P(B)=2+6=3.

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第十章 概 率(文)

(2) 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为
0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3. ①求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概 率; ②求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.

解:设“该车主购买甲种保险 ”为事件A;“该车主购买
乙种保险但不购买甲种保险 ” 为事件 B ; “ 该车主至少购买 甲、乙两种保险中的1种”为事件C;“该车主甲、乙两种保险 都不购买”为事件D.

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第十章 概 率(文)

①由题意得P(A)=0.5,P(B)=0.3,又C=A∪B, 所以P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8.②因为D 与C是对立事件,所以P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2.

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第十章 概 率(文)

求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的,求解 时通常有两种方法:

(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件,利用
概率加法公式求解概率; (2) 若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件 时,需要分类太多,而其对立面的分类较少,可考虑利用对立 事件的概率公式,即 “正难则反 ”. 它常用来求 “ 至少 ……” 或“至多……”型事件的概率.

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第十章 概 率(文)

2.某商场有奖销售中,购满100 元商品得1张奖券,多购
多得 .1 000 张奖券为一个开奖单位,设特等奖 1 个,一等奖 10 个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事 件分别为A、B、C,求: (1)P(A),P(B),P(C);

(2)1张奖券的中奖概率;
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.

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第十章 概 率(文)

1 解:(1)由题意知 P(A)=1 000, 10 1 P(B)=1 000=100, 50 1 P(C)=1 000=20. 1 1 1 则事件 A,B,C 的概率分别为1 000,100,20.

(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张

奖券中奖”这个事件为M,则M=A∪B∪C.
因此事件A、B、C两两互斥,

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第十章 概 率(文)

所以P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
1+10+50 61 = 1 000 =1 000. 61 因此 1 张奖券的中奖概率为1 000. (3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N,则 事件 N 与“1 张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件, 所以 P(N)=1-P(A∪B)
? =1-?1 ?

1 1 ? 989 ?= + 000 100? 1 000.

989 故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为1 000.

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第十章 概 率(文)

易错易误系列之?二十四??理? 混淆互斥与对立的概念致误 ?二十二??文?

[典例]

判断下列给出的每对事件,是否为互斥事件,是

否为对立事件,并说明理由.从 40 张扑克牌 ( 红桃、黑桃、方 块、梅花各10张,且点数都是从1~10)中,任取一张.

(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.

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第十章 概 率(文)

[易错分析] 误的判断.

解答本题时常出现的错误是对事件互斥意义

不明确,对事件的互斥与对立之间的关系不清楚,就会出现错
解:(1)是互斥事件,不是对立事件.

原因是:从 40张扑克牌中任意抽取 1张,“抽出红桃 ”和
“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件,但是, 不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或 者“梅花”,因此二者不是对立事件.

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第十章 概 率(文)

(2)既是互斥事件,又是对立事件. 原因是:从 40张扑克牌中任意抽取 1 张, “ 抽出红色牌 ” 与 “ 抽出黑色牌 ” 是不可能同时发生的,但其中必有一个发 生,因为牌不是红色就是黑色,所以它们既是互斥事件,又是

对立事件.
(3)不是互斥事件,也不是对立事件. 原因是:从 40张扑克牌中任意抽取 1 张, “ 抽出的牌点数 为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发 生,如抽的点数为 10. 因此,二者不是互斥事件,当然不可能

是对立事件.

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第十章 概 率(文)

[温馨提示] 防出错.

解答与互斥事件、对立事件有关的问题时一

定要分清二者的关系,解题时一定要仔细斟酌、全面考虑,以

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第十章 概 率(文)

[针对训练]

从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球,那么互
斥而不对立的两个事件是( ) A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” D.“至少有一个黑球”与“都是红球” 解析: 选 C A , B 中事件不互斥, C 中事件互斥但不对 立,D中事件是对立事件.故选C.

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