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人教A版必修三优质课件:几何概型


一、知识回顾

古典概型
古典概型的特点及其概率公式:

? ? (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; ?1、古典概型的特点 ? ? (2)每个基本事件出现的可能性相等。 ? ? 古典概型 ? A包含基本事件的个数 ?2、事件A的概率公式:P( A) ? 基本事件的总数 ? ? ?

二、问题情境
问题1 飞行棋游戏

“ 飞行棋游戏”是我们都熟悉的 一种游戏 . 规则规定参与者轮到掷骰 子的时候,掷到6的时候飞机才能 “起飞” . 请问能“起飞”的概率有 多大? 这是古典概型吗?为什么?
你有没有 因为老是掷不到6而苦恼,怎 样改规则可以容易一点“起飞” ?为什么?

二、问题情境 问题1 飞行棋游戏 如果用转盘做两个“起飞器”(如图),指 你还能发现能“起飞”的概 弧长、圆心角等 针自由转动,规定当指针停下时指向 B区域飞机才 率与哪个比例是一致的呢? 能“起飞”.请你猜想一下能“起飞”的概率分别 有多大?解释一下你的猜想

(1)

(2)

二、问题情境 问题1 飞行棋游戏

结论:

(1)

(2)

(1)此实验不是古典概型 (2)实验的结果有无限多个,且出现可能性相同
B区域的长度(面积) (3)P(B) ? 圆的长度(面积)

(4)事件发生的概率只与构成事件的区域的长度(面积)成比例

二、问题情境 问题2 定格蜜蜂照
有一个长方体的空房间,屋顶上装了一个射灯,射灯 照明的范围大概是一个圆锥体(如图),现有一只蜜蜂飞入 该房间,设它在房间的每一个点都是等可能的,现在定格拍 一张照片,求蜜蜂在光照处能被拍下的概率是多少?
结论:
(1)此实验不是古典概型 (2)实验的结果有无限个,且出 现的可能性相同

象这些可以借用几何图形的长 光照区域的体积 ( 3 ) P (A) ? 度、面积、体积等的比例求概 整个房间的体积 率的模型称为几何概型
(4)事件发生的概率只与构成事 件的区域的体积成比例

三、基本概念
类比古典概型描述几何概型 (一)几何概型的定义

长度(面积 每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 或体积) 成比例,则称这样的概率模型为 几何概型

(二)几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个 (2)每个基本事件出现的可能性相等

(三)在几何概型中,事件A的概率的计算公式:

构成事件A的区域长度(面积或体积) P( A) ? 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

四、体会概念
举例说明生活中常见的几何概型 (转盘抽奖问题)幸运大转盘,转到几打几折 提问:估计转到 7 的 概率有多大?

免费抽奖
如果转到 1 免费得到 一部MP3,否则按转 到几打几折必须买一 部MP3,你愿意参加 吗?

四、体会概念
举例说明生活中常见的几何概型 (交通灯问题)一个路口的交通灯,红灯的时间为30秒,黄灯 的时间为5秒,绿灯的时间为40秒。当你到达路口时,看见下列 三种情况的 概率各是多少?

(1)红灯;
(2)黄灯; (3)不是红灯。

四、体会概念
举例说明生活中常见的几何概型

(飞镖游戏)

四、体会概念
收获与认识 几何概型并不是只研究与几何有关的概率模型, 实际上有的例子与几何没有直接的关系,而是通过几 何图形去合理的描述转化,然后用几何知识解决这个 问题,所以把它称为几何概型。 因此很多与实际生活有关的概率问题,只要满足 几何概型的两个特点,都可以用几何概型去刻画,关 键是找出实际问题的本质。

五、讲解例题 例1. 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收 音机,想听电台报时,求他等待的时间不多 于10分钟的概率.

(约定:所说报时为整点报时,午觉醒来的 时刻可能是下午任一时刻.)
分析: 收音机每小时报时一 次,某人午觉醒来的时刻在 两次整点报时之间都是等可 能的,且醒来的时刻有无限 多个,符合几何概型条件.

五、讲解例题
例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听 电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.

解:设A={等待的时间不多于10分钟}.事件A恰好 是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内发生。 法一:(利用[50,60]时间段所占的面积):

A所在扇形的面积 10 1 P( A) ? ? ? ; 整个圆的面积 60 6
1 答:等待的时间不多于10分钟的概率为 6

五、讲解例题
例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听 电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.

解:设A={等待的时间不多于10分钟}.事件A恰好 是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内发生。

法二:(利用利用[50,60]时间段所占的弧长):

A所在扇形区域的弧长 1 P( A) ? ? ; 整个圆的弧长 6
1 答:等待的时间不多于10分钟的概率为 6

五、讲解例题 例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听 电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.

解:设A={等待的时间不多于10分钟}.事件A恰好 是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内发生。 法三:(利用[50,60]时间段所占的圆心角):

1 ? ? 360 A所在圆心角的大小 6 1 P( A) ? ? ? ; ? 圆周角 360 6

1 答:等待的时间不多于10分钟的概率为 6

五、讲解例题 例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听 电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.

解:设A={等待的时间不多于10分钟}.事件A恰好 是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内发生。 法四:将时间转化成长60的线段,研究事件A 位于[50,60]之间的线段的概率:
0 10 20 30 40 50 60

60 ? 50 1 P ( A) ? ? . 60 6 1 答:等待的时间不多于10分钟的概率为

6

五、讲解例题
例2. 已知:在一个边长为2的正方形中有一个椭圆 (如图),随机向正方形内丢一粒豆子,若落入椭 圆的概率为0.3, 求椭圆的面积.

解:记“豆子落入椭圆内”为事件A, 豆子落入正方形内任一点的机会都是 等可能的. S椭圆 P( A) ? S正方形

? S椭圆 ? P( A) ? S正方形 ? 0.3 ? 2 ? 1.2
2

答:椭圆面积为1.2.

六、课堂练习
1.下列概率问题中哪些属于几何概型?(口答) ⑴从一批产品中抽取30件进行检查,有5件次品,求正 品的概率。 ⑵箭靶的直径为1m,其中,靶心的直径只有12cm, 任意向靶射箭,射中靶心的概率为多少? ⑶随机地向四方格里投掷硬币50次,统计硬币正面 朝上的概率。 ⑷在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮藏 着石油.假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概 率是多少? (1)(3)属于古典概型;(2)(4)属于几何概型

六、课堂练习

2.(1)在区间[0,10]上任意取一个整数x, 4 则x不大于3的概率为: 11 . (2)在区间[0,10]上任意取一个实数x, 3 则x不大于3的概率为: 10 .
正确区分古典概型与几何概型

六、课堂练习

3.如图,将一个长与宽不等的长方形水平放置,长 方形对角线将其分成四个区域.在四个区域内涂上 红、蓝、黄、白四种颜色,并在中间装个指针, 使其可以自由转动.对于指针停留的可能性,下列 说法正确的是 C A.一样大 B. 黄、红区域大 C. 蓝、白区域大 D. 由指针转动圈数确定


红 黄

注意转化为几何 概型计算时,要 选对比例对象



六、课堂练习 4.(撒豆子问题):如图,假设你在每个图形上随机 撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.

解:记“落到阴影部 分”为事件A,在如图 所示的阴影部分区域 内事件A发生,所以
(1)

(2)

1 ? 2r ? r 阴影部分的区域面积 2 1 (1)P( A) ? ? ? ; 2 整个圆的面积 ?r ? 3 (2)P( A) ? . 8

六、课堂练习
5.取一根长度为30cm的绳子,拉直后在任意位置剪断, 那么剪得两段的长度都不小于10cm的概率有多大?

解:记“剪得两段绳长都 不小于10cm”为事件A. 把 绳子三等分,于是当剪断位 置处在中间一段上时,事件 A发生.由于中间一段的长 度等于绳长的1/3.

1 事件A发生的概率P(A) ? 3

六、课堂练习 6.假设车站每隔10分钟发一班车,随机到达车站, 问等车时间不超过3分钟的概率 ?
解:记“等车时间不超过 3 分钟”为事件A, 由于车站每隔 10 分钟发一班车,当到达车站 在最后三分钟内时,事件A发生,于是

3 事件A发生的概率P(A) ? 10

七、课堂小结
?

几何概型的概率公式.

构成事件A的区域长度(面积或体积) P( A) ? 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

古典概型

几何概型
基本事件发生 的等可能性 基本事件个数 的无限性

相同 区别 求解方法

基本事件发生 的等可能性 基本事件个数 的有限性

列举法

几何测度法

七、课堂小结

用几何概型解决实际问题的方法. (1)选择适当的观察角度,转化为几何概型. (2)把基本事件转化为与之对应区域的 长度(面积、体积) (3)把随机事件A转化为与之对应区域的 长度(面积、体积) (4)利用几何概率公式计算

八、课堂作业

1.必做P142 A组 1、2、3题 2.选做思考题

The End

探究与创新:思考题
注: “抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之 一,阶砖平面是由若干个边长为a的小正 Ⅰ.确定实验的基本事件与对应区域 方形阶砖组成.参与者只须将半径为 r Ⅱ.判断它是否属于几何概型 (2 r<a) 的“金币”,抛向离身边若干 a 距离的阶砖平面上,抛出的“金币”若恰 Ⅲ.计算 好落在任何一个阶砖之内(不与阶砖的边 相碰),便可获奖,求参加者获奖的概率.
S

A

解: 分析: 试验的基本事件是:
金币的中心投在由若干个小正方形组成的阶砖面里. 设事件A={金币不与小正方形边相碰} 不妨先考虑金币与一块阶砖的关系. A={金币的中心要投在绿色小正方形内} 由几何概型的定义知:

a

参加者获奖的概率为:

n个A的面积 A的面积 (a ? 2r ) 2 P( A) ? ? ? n个S的面积 S的面积 a2


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