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2014-2015学年湖南省株洲二中高三(下)第11次月考数学试卷(文科)


2014-2015 学年湖南省株洲二中高三 (下) 第 11 次月考数学试卷 (文科)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 A={1,2,3,5},B={2,4,6},则(CuA) ∩B=( ) A. {2} B. {4,6} C. {l,3,5} D. {4,6,7, 8} 2.某中学有高中生 3500 人,初中生 1500 人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法 从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本,已知从高中生中抽取 70 人,则 n 为( ) A. 100 B. 150 C. 200 D. 250

3.已知向量 =(x,2) , =(2,x) ,则“x=2”是“ ∥ ”的( A. 充分不必要条件 C. 充要条件



B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
2

4.实数 m 是[0,6]上的随机数,则关于 x 的方程 x ﹣mx+4=0 有实根的概率为( A. B. C. D.



5.已知双曲线 ( ) A. B.

的离心率为

,则双曲线的渐近线方程为

C. y=±2x

D.

6.三棱锥 S﹣ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱 SB 的长为(



A. 2

B. 4

C.

D. 16 )

7.执行如图所示的程序框图,若输出 S 的值是 11,则输入 n 的值是(

A. 7 8.在△ABC 中 A. ﹣1

B. 6 , B.

C. 5 =3 C. ,D,则

D. 4 =( D. 1 )

9.已知函数 f(x)=lnx,x1,x2∈(0, ) ,且 x1<x2,则下列结论中正确的是(



A. (x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0 C. x1f(x2)>x2f(x1)
2 2

B.( f

) <( f



D. x2f(x2)>x1f(x1)

10. 已知圆 O: x +y =1 和定点 A (2, 1) , 由圆 O 外一点 P 向圆引切线 PQ, 且满足|PQ|=|PA|, 若以 P 为圆心所作的圆 P 与圆 O 有公共点,则圆 P 半径的最小值为( ) A. ﹣1 B. 1 C. 2 D.

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上) 11.复数 z= 的虚部为 .

12.已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x +2x,则 f(﹣1)=

2



13.已知直线 l1: k= .

(t 为参数)与直线 l2:

(s 为参数)垂直,则实数

14.设 x,y 满足约束条件

若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为

8,则 ab 的最大值为
k k k k



15.记 Sk=1 +2 +3 +…+n ,当 k=1,2,3,…时,观察下列等式: S1= S2= S3= S4= S5=An + … 可以推测,A﹣B= .
6

n, n, , n, ,

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 16.已知数列{an}是递增等比数列,且 a1,a3 是方程 x ﹣10x+16=0 的两根. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列 bn=2log2an﹣1,记数列 整数 n 的值. 17.已知某保险公司每辆车的投保金额均为 2800 元,公司利用简单随机抽样的方法,对投 保车辆进行抽样,样本中每辆车的赔付结果统计如下: 赔付金额(元) 0 1000 2000 3000 4000 车辆数 500 150 200 100 50 (1)试根据样本估计赔付金额大于投保金额的概率; (2)保险公司在赔付金额为 2000 元、3000 元和 4000 元的样本车辆中,发现车主是新司机 的比例分别为 1%、2%和 4%,现从新司机中任取两人,则这两人的赔付金额之和不小于投 保金额之和的概率是多少? 18.如图,在直角梯形 ABCD 中,BC∥AD,BC=CD= AD=2,E 为 AD 中点,现将△ABE 沿 BE 折起,使平面 ABE⊥平面 BCDE. (1)求证:BE⊥AD (2)若 F 为 AD 的中点,求三棱锥 B﹣ACF 的体积. 的前 n 项和为 Sn,求使 Sn> 成立的最小正
2

19. 如图, 在半径为 , 圆心角为 60°的扇形的弧上任取一点 P, 作扇形的内接矩形 PNMQ, 使点 Q 在 OA 上,点 N,M 在 OB 上,设矩形 PNMQ 的面积为 y,∠POB=θ. (Ⅰ)将 y 表示成 θ 的函数关系式,并写出定义域; (Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 y 取最大值时 A=θ+ a= ,cosB= ,D 为 AC 中点,求 BD 的值. ,且

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的右焦点 F2 是抛物线 y =4x 的焦点,过点 F2 垂直

2

于 x 轴的直线被椭圆 C 所截得的线段长度为 3. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设动直线 l: y=kx+m 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P, 且与直线 x=2 相交于点 Q. 请 问:在 x 轴上是否存在定点 M,使得 在,请说明理由. 21.已知函数 f(x)=mx﹣αlnx﹣m,g(x)= (1)求 g(x)的极值; (2)设 m=1,α<0,若对任意的 x1,x2∈[3,4](x1≠x2) ,|f(x2)﹣f(x1)|<| ﹣ ,其中 m,α 均为实数. 为定值?若存在,求出点 M 的坐标;若不存

|恒成立,求 a 的最小值;

(3)设 α=2,若对任意给定的 x0∈(0,e],在区间(0,e]上总存在 t1、t2(t1≠t2) ,使得 f (t1)=f(t2)=g(x0)成立,求 m 的取值范围.

2014-2015 学年湖南省株洲二中高三(下)第 11 次月考 数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 A={1,2,3,5},B={2,4,6},则(CuA) ∩B=( ) A. {2} B. {4,6} C. {l,3,5} D. {4,6,7, 8} 考点:交、并、补集的混合运算. 专题:计算题. 分析:由全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 A={1,2,3,5},B={2,4,6},知 CUA={4,6,7,8},由此能求出(CuA)∩B. 解答: 解:∵全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8}, 集合 A={1,2,3,5},B={2,4,6}, ∴CUA={4,6,7,8}, ∴(CuA)∩B={4,6}. 故选 B. 点评:本题考查交、并、补集的混合运算,是基础题,解题时要认真审题,仔细解答,注意 合理地进行等价转化. 2.某中学有高中生 3500 人,初中生 1500 人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法 从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本,已知从高中生中抽取 70 人,则 n 为( ) A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 考点:分层抽样方法. 专题:概率与统计. 分析:计算分层抽样的抽取比例和总体个数,利用样本容量=总体个数×抽取比例计算 n 值. 解答: 解:分层抽样的抽取比例为 总体个数为 3500+1500=5000, ∴样本容量 n=5000× =100. = ,

故选:A. 点评:本题考查了分层抽样方法,熟练掌握分层抽样方法的特征是关键.

3.已知向量 =(x,2) , =(2,x) ,则“x=2”是“ ∥ ”的( A. 充分不必要条件



B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:平面向量及应用;简易逻辑. 分析:根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:若 ∥ ,则 2×2﹣x =0, 即 x =4,解得 x=2 或 x=﹣2, 即“x=2”是“ ∥ ”的充分不必要条件, 故选:A 点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据向量关系的等价条件是解决本题的关 键. 4.实数 m 是[0,6]上的随机数,则关于 x 的方程 x ﹣mx+4=0 有实根的概率为( A. B. C. D.
2 2 2



考点:几何概型. 专题:概率与统计. 分析:根据几何概型计算公式,首先求出方程有实根的 m 的范围,然后用符合题意的基本 事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度,即可得到所求的概率. 解答: 解:∵方程 x ﹣mx+4=0 有实根, 2 ∴判别式△=m ﹣16≥0, ∴m≤﹣4 或 m≥4 时方程有实根, ∵实数 m 是[0,6]上的随机数,区间长度为 6,[4,6]的区间长度为 2, ∴所求的概率为 P= = . 故选:B. 点评:本题着重考查了几何概型计算公式及其应用的知识, 给出在区间上取数的事件, 求相 应的概率值.关键是明确事件对应的是区间长度或者是面积或者体积.
2

5.已知双曲线 ( ) A. B.

的离心率为

,则双曲线的渐近线方程为

C. y=±2x

D.

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:双曲线离心率为 ,根据双曲线的离心率公式算出 b= 式即可得到该双曲线的渐近线方程.

a,结合双曲线的渐近线公

解答: 解:∵双曲线的方程为



∴c=



结合离心率为

,得 e= =

= ,即

,化简得 b=

a

∴该双曲线的渐近线方程为 y=±

故选:B 点评:本题给出双曲线的离心率, 求它的渐近线方程, 着重考查了双曲线的标准方程与简单 几何性质等知识,属于基础题. 6.三棱锥 S﹣ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱 SB 的长为( )

A. 2

B. 4

C.

D. 16

考点:简单空间图形的三视图. 专题:空间位置关系与距离. 分析:由已知中的三视图可得 SC⊥平面 ABC,底面△ABC 为等腰三角形,SC=4,△ABC 中 AC=4,AC 边上的高为 2 ,进而根据勾股定理得到答案. 解答: 解:由已知中的三视图可得 SC⊥平面 ABC, 且底面△ABC 为等腰三角形, 在△ABC 中 AC=4,AC 边上的高为 2 , 故 BC=4, 在 Rt△SBC 中,由 SC=4, 可得 SB=4 , 故选 B 点评:本题考查的知识点是简单空间图象的三视图, 其中根据已知中的视图分析出几何体的 形状及棱长是解答的关键. 7.执行如图所示的程序框图,若输出 S 的值是 11,则输入 n 的值是( )

A. 7

B. 6

C. 5

D. 4

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:由已知中的程序框图,可知:该程序的功能是计算并输出变量 S 的值,模拟程序的 运行过程,分析出各变量的变化情况,可得答案. 解答: 解:当 i=1,S=1 时,不满足输出条件,故进行循环,执行完循环体后,S=1,i=2; 当 i=2,S=1 时,不满足输出条件,故进行循环,执行完循环体后,S=2,i=3; 当 i=3,S=2 时,不满足输出条件,故进行循环,执行完循环体后,S=4,i=4; 当 i=4,S=4 时,不满足输出条件,故进行循环,执行完循环体后,S=7,i=5; 当 i=5,S=7 时,不满足输出条件,故进行循环,执行完循环体后,S=11,i=6; 当 i=6,S=11 时,满足输出条件, 故进行循环的条件应为:i≤5, 即输入 n 的值是 5, 故选:C 点评:本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的 方法解答. 8.在△ABC 中 A. ﹣1 B.



=3 C.

,D,则

=( D. 1



考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:将 , 分别用 , 表示,然后进行平面向量的数量积运算求值. =1, = , ,

解答: 解:由已知得到 =3 ,



=

=

=

=﹣1;

故选:A. 点评:本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积的运算; 关键是正确利用向量 表示所求,进行数量积的运算. 9.已知函数 f(x)=lnx,x1,x2∈(0, ) ,且 x1<x2,则下列结论中正确的是(



A. (x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0 C. x1f(x2)>x2f(x1)

B.( f

) <( f



D. x2f(x2)>x1f(x1)

考点:对数函数的单调性与特殊点. 专题:函数的性质及应用. 分析: 根据函数的单调性可得 A 不正确;根据函数的图象是下凹的,可得 B 不正确; 利 用导数判断函数 在(0,+∞)上是增函数,故有 > ,

化简可得 x1f(x2)>x2f(x1) ,故 C 正确、且 D 不正确. 解答: 解:由于已知函数 f(x)=lnx 在定义域(0,+∞)上是增函数,x1,x2∈(0, ) , 且 x1<x2 ,可得[f(x1)﹣f(x2)]<0, 故(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0,故 A 不正确. 由于已知函数 f(x)=lnx 的增长速度较慢,图象是下凹型的,故有 f( )>f



) ,故 B 不正确.

∵已知函数 f(x)=lnx,x1,x2∈(0, ) ,且 x1<x2 ,则 ′= = >0,

∴函数

在 (0, +∞) 上是增函数, 故有



, 化简可得 x1f (x2)

>x2f(x1) ,故 C 正确、且 D 不正确. 故选 C. 点评:本题主要考查导数的运算法则的应用, 利用导数研究函数的单调性, 函数的单调性的 应用,属于中档题.

10. 已知圆 O: x +y =1 和定点 A (2, 1) , 由圆 O 外一点 P 向圆引切线 PQ, 且满足|PQ|=|PA|, 若以 P 为圆心所作的圆 P 与圆 O 有公共点,则圆 P 半径的最小值为( ) A. ﹣1 B. 1 C. 2 D.

2

2

考点:圆的标准方程. 专题:计算题;直线与圆. 分析:由题意可得:|PQ| =|PO| ﹣1=a +b ﹣1,又 PQ=PA,可得 2a+b﹣3=0.因为以 P 为圆 心所作的圆 P 和圆 O 有公共点, 所以圆 P 与圆 O 外切时, 可使圆 P 的半径最小. 又因为 PO=1+ 圆 P 的半径,所以当圆 P 的半径最小即为 PO 最小,即点 O 到直线 2a+b﹣3=0 的距离最小, 进而解决问题. 解答: 解:由题意可得:过圆 O 外一点 P(a,b)向圆 O 引切线 PQ,切点为 Q, 所以|PQ| =|PO| ﹣1=a +b ﹣1. 2 2 2 又因为|PA| =(a﹣2) +(b﹣1) ,并且满足 PQ=PA, 所以整理可得 2a+b﹣3=0. 因为以 P 为圆心所作的圆 P 和圆 O 有公共点, 所以两圆相切或相交, 即圆 P 与圆 O 外切时,可使圆 P 的半径最小. 又因为 PO=1+圆 P 的半径, 所以当圆 P 的半径最小即为 PO 最小, 即点 O 到直线 2a+b﹣3=0 的距离最小,并且距离的最小值为 所以圆 P 的半径的最小值为 ﹣1. ,
2 2 2 2 2 2 2 2

故选:A. 点评:解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆、 圆与圆的位置关系, 以及两点之间的距离 公式. 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上) 11.复数 z= 的虚部为 4 .

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:直接由复数代数形式的除法运算化简,求得 z 后即可求出虚部. 解答: 解:由题意得,z= ∴复数 z= 的虚部为 4, = =3+4i,

故答案为:4. 点评:本题考查了复数代数形式的除法运算:分母实数化,是基础题. 12.已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x +2x,则 f(﹣1)= ﹣3 .
2

考点:函数奇偶性的性质;函数的值. 专题:函数的性质及应用. 分析:结合函数的奇偶性先求出函数 f(x)在 x<0 时的解析式,再将 x=﹣1 代入即可. 解答: 解:令 x<0,则﹣x>0, 2 2 ∴f(﹣x)=(﹣x) +2(﹣x)=x ﹣2x, 又∵f(x)是奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) , 2 ∴f(x)=﹣x +2x, (x<0) , ∴f(﹣1)=﹣1﹣2=﹣3, 故答案为:﹣3. 点评:本题考查了求函数的解析式,函数的奇偶性问题,求出函数的解析式是解题的关键, 本题是一道基础题.

13.已知直线 l1: k= ﹣1 .

(t 为参数)与直线 l2:

(s 为参数)垂直,则实数

考点:直线的参数方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析:把直线 l1、l2 的参数方程化为普通方程,再由 l1 与 l2 垂直,斜率之积为﹣1,求出 k 的值. 解答: 解:直线 l1 的参数方程 (t 为参数)化为普通方程是 y=﹣ x+2;

直线 l2 的参数方程 又 l1 与 l2 垂直, 所以,﹣ ?(﹣2)=﹣1

(s 为参数)化为普通方程是 y=﹣2x+5;

解得 k=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评:本题考查了直线的参数方程的应用问题, 也考查了直线垂直的应用问题, 是基础题目.

14.设 x,y 满足约束条件

若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为

8,则 ab 的最大值为 4 . 考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用.

分析:作出不等式对应的平面区域, 利用 z 的几何意义确定取得最大值的条件, 然后利用基 本不等式进行求则 ab 的最大值. 解答: 解:由 z=ax+by(a>0,b>0)得 ∵a>0,b>0,∴直线的斜率 作出不等式对应的平面区域如图: 平移直线得 距最大,此时 z 最大. 由 ,解得 ,即 A(1,4) , ,由图象可知当直线 经过点 A 时,直线 的截 , ,

此时目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 8, 即 a+4b=8,∴8=a+4b =4 , ∴ 即 ab≤4, 当且仅当 a=4b=4,即 a=4,b=1 时取等号. 故答案为:4

点评:本题主要考查线性规划的基本应用, 以及基本不等式的应用, 利用数形结合求出目标 函数取得最大值的条件是解决本题的关键. 15.记 Sk=1 +2 +3 +…+n ,当 k=1,2,3,…时,观察下列等式: S1= S2= S3= S4= n, n, , n,
k k k k

S5=An + … 可以推测,A﹣B=

6





考点:归纳推理. 专题:计算题;压轴题. 分析:通过观察归纳出: 各等式右边各项的系数和为 1; 最高次项的系数为该项次数的倒数; 列出方程求出 A,B 的值,进一步得到 A﹣B. 解答: 解:根据所给的已知等式得到:各等式右边各项的系数和为 1;最高次项的系数为 该项次数的倒数; 所以 A= , 解得 B= 所以 A﹣B= 故答案为: 点评:本题考查通过观察、归纳猜想结论,并据猜想的结论解决问题,属于基础题. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 16.已知数列{an}是递增等比数列,且 a1,a3 是方程 x ﹣10x+16=0 的两根. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列 bn=2log2an﹣1,记数列 整数 n 的值. 考点:数列的求和;数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 2 分析: (1)由 x ﹣10x+16=0,解得 x=2,8,可得 a1,a3,再利用等比数列的通项公式即 可得出; (2)数列 bn=2log2an﹣1=2n﹣1,可得 = = ,再 的前 n 项和为 Sn,求使 Sn> 成立的最小正
2

, ,

利用“裂项求和”、不等式的性质、数列的单调性即可得出. 2 解答: 解: (1)由 x ﹣10x+16=0,解得 x=2,8. 2 ∵a1,a3 是方程 x ﹣10x+16=0 的两根,且 a1<a3. ∴a1=2,a3=8. 2 设等比数列{an}的公比为 q>0,则 8=2q ,解得 q=2. ∴ .

(2)数列 bn=2log2an﹣1=2n﹣1,



=

= +

, +…+ =1﹣ ,其最小正整数 n=3. .

∴数列的前 n 项和为 Sn= 由使 Sn> ,可得

,化为 2n+1>6,解得

∴使 Sn> 成立的最小正整数 n 的值为 3. 点评:本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式、“裂项求和”、不等式的性质、数列 的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 17.已知某保险公司每辆车的投保金额均为 2800 元,公司利用简单随机抽样的方法,对投 保车辆进行抽样,样本中每辆车的赔付结果统计如下: 赔付金额(元) 0 1000 2000 3000 4000 车辆数 500 150 200 100 50 (1)试根据样本估计赔付金额大于投保金额的概率; (2)保险公司在赔付金额为 2000 元、3000 元和 4000 元的样本车辆中,发现车主是新司机 的比例分别为 1%、2%和 4%,现从新司机中任取两人,则这两人的赔付金额之和不小于投 保金额之和的概率是多少? 考点:互斥事件的概率加法公式. 专题:概率与统计. 分析: (1)设 A 表示事件“赔付金额为 3000 元,”B 表示事件“赔付金额为 4000 元”,以 频率估计概率,求得 P(A) ,P(B) ,再根据投保额为 2800 元,赔付金额大于投保金额得 情形是 3000 元和 4000 元,问题得以解决. (2)先计算从新司机中任取两人的方法总数,及这两人的赔付金额之和不小于投保金额之 和方法个数,代入古典概型概率计算公式,可得答案. 解答: 解: (1)设 A 表示事件“赔付金额为 3000 元,”B 表示事件“赔付金额为 4000 元”, 以频率估计概率得 P(A)= P(B)= =0.1, =0.05,

由于投保额为 2800 元,赔付金额大于投保金额得情形是 3000 元和 4000 元,所以其概率为 P(A)+P(B)=0.1+0.05=0.15. (2)由已知,样本车辆中车主为新司机的有 1%×200+2%×100+4%×50=6 人, 计赔付金额为 2000 元、3000 元和 4000 元的分别为:A,B,C,D,E,F, 则从新司机中任取两人共有 =15 种不同的取法,分别为:

AB,AC,AD,AE,AF, BC,BD,BD,BF,CD, CE,CF,DE,DF,EF, 其中这两人的赔付金额之和不小于投保金额之和的事件有: CD,CE,CF,DE,DF,EF,共 6 种,

故这两人的赔付金额之和不小于投保金额之和的概率 P=

=

点评:本题主要考查了用频率来表示概率,古典概率的概率计算公式,难度不大,属于基础 题. 18.如图,在直角梯形 ABCD 中,BC∥AD,BC=CD= AD=2,E 为 AD 中点,现将△ABE 沿 BE 折起,使平面 ABE⊥平面 BCDE. (1)求证:BE⊥AD (2)若 F 为 AD 的中点,求三棱锥 B﹣ACF 的体积.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的性质. 专题:综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)证明 BE⊥平面 AED,即可证明⊥AD (2)若 F 为 AD 的中点,利用等体积转换,即可求三棱锥 B﹣ACF 的体积. 解答: (1)证明:∵AE⊥DE,BE⊥ED,AE∩DE=E ∴BE⊥平面 AED, ∵AD?平面 AED, ∴BE⊥AD (2)解:△ABC 中,AB⊥BC,AB=2 ,BC=2, ∴S△ABC= =2 ,F 为 AD 的中点, , = .

∵E 到平面 ABC 的距离为 ∴F 到平面 ABC 的距离为 ∴三棱锥 B﹣ACF 的体积=

点评:本题考查线面垂直的判定与性质,考查三棱锥 B﹣ACF 的体积,正确转化是关键. 19. 如图, 在半径为 , 圆心角为 60°的扇形的弧上任取一点 P, 作扇形的内接矩形 PNMQ, 使点 Q 在 OA 上,点 N,M 在 OB 上,设矩形 PNMQ 的面积为 y,∠POB=θ. (Ⅰ)将 y 表示成 θ 的函数关系式,并写出定义域; (Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 y 取最大值时 A=θ+ a= ,cosB= ,D 为 AC 中点,求 BD 的值. ,且

考点:函数模型的选择与应用. 专题:三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (Ⅰ)在 Rt△PON 中,PN=OPsinθ= =sinθ.可得 MN=0N﹣0M= y=PN?NM= 可得出. (Ⅱ)当 = 时,y 取得最大值,θ= .由正弦定理可得:

,ON=

cosθ.在 Rt△OQM 中,

.可得矩形 PNMQ 的面积 ,再利用倍角公式、两角和差的正弦公式即

.可得 A=

.由 cosB=

,可得

.利用两角和差的正弦公式可得 sinC=sin .在△ABD 中,由余弦定理可

(A+B)=sinAcosB+cosAsinB.由正弦定理可得: 得:BD =AB +AD ﹣2AB?ADcosA. 解答: 解: (Ⅰ)在 Rt△PON 中,PN=OPsinθ= 在 Rt△OQM 中, = =sinθ. .
2 2 2

,ON=

cosθ.

∴MN=0N﹣0M= ∴矩形 PNMQ 的面积 y=PN?NM=

=3sinθcosθ﹣

= = ﹣ , .

(Ⅱ)当 ∴A= ∵cosB= =

= .

时,y 取得最大值,θ=



,∴ ,

=



由正弦定理可得:



=

=2.

sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 由正弦定理可得: ,

+

=





=

=


2 2 2

在△ABD 中,由余弦定理可得:BD =AB +AD ﹣2AB?ADcosA = +1 ﹣2×
2

×

=13.

∴BD= . D 为 AC 中点,求 BD 的值.

点评:本题综合考查了直角三角形的边角关系、 倍角公式、 两角和差的正弦公式及其单调性、 正弦定理余弦定理,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的右焦点 F2 是抛物线 y =4x 的焦点,过点 F2 垂直

2

于 x 轴的直线被椭圆 C 所截得的线段长度为 3. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设动直线 l: y=kx+m 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P, 且与直线 x=2 相交于点 Q. 请 问:在 x 轴上是否存在定点 M,使得 在,请说明理由. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质. 专题:平面向量及应用;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 为定值?若存在,求出点 M 的坐标;若不存

分析: (Ⅰ)求得抛物线的焦点,由题意可得,椭圆 C 过点(1,± ) ,代入椭圆方程, 解方程可得 a,b,进而得到椭圆方程; (Ⅱ)假设在 x 轴上存在定点 M(x1,0)满足条件,设 P(x0,y0) ,则 Q(2,2k+m) ,联 立直线 l 方程和椭圆方程,运用判别式为 0,求得 m,k 的关系,再由向量的数量积的坐标 表示,化简整理,即可得到定值. 解答: 解: (Ⅰ)抛物线 y =4x 的焦点坐标为(1,0) , 则由题意可得,椭圆 C 过点(1,± ) ,
2



,解得



∴椭圆 C 的方程为

+

=1;

(Ⅱ)假设在 x 轴上存在定点 M(x1,0)满足条件,设 P(x0,y0) , 则 Q(2,2k+m) , 由
2 2

,得(3+4k )x +8kmx+4m ﹣12=0,
2 2

2

2

2

∴△=64k m ﹣4(3+4k ) (4m ﹣12)=0, 2 2 即 3+4k =m ,m≠0. 此时 x0=﹣ ∴ ∴ =(﹣ =﹣ ,y0=kx0+m= ,则 P(﹣ =(2﹣x1,2k+m) ,
2

, ) ,

﹣x1, ) ,

=(﹣

﹣x1) (2﹣x1)+ (2k+m)=(4x1﹣2)? +x1 ﹣2x1+3,
2

∴当 4x1﹣2=0 即 x1= 时,x1 ﹣2x1+3= . ∴存在点 M( ,0) ,使得 为定值 .

点评:本题考查椭圆的方程和性质, 主要考查椭圆的焦点和点满足椭圆方程, 同时考查直线 方程和椭圆方程联立,运用判别式为 0 和向量数量积的坐标表示,考查运算能力,属于中档 题. 21.已知函数 f(x)=mx﹣αlnx﹣m,g(x)= (1)求 g(x)的极值; ,其中 m,α 均为实数.

(2)设 m=1,α<0,若对任意的 x1,x2∈[3,4](x1≠x2) ,|f(x2)﹣f(x1)|<|



|恒成立,求 a 的最小值; (3)设 α=2,若对任意给定的 x0∈(0,e],在区间(0,e]上总存在 t1、t2(t1≠t2) ,使得 f (t1)=f(t2)=g(x0)成立,求 m 的取值范围. 考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的概念及应用. 分析: (1)对于第一问非常简单,只需按求解极值的定义求解即可. (2)在所给式子中含绝对值,一般考虑去掉绝对值,x1,x2 是任给的两个数,所以可考虑 用函数单调性.去掉绝对值之后,注意观察式子,你会发现,只要做适当变形,便可利用函 数单调性的定义,得到一个新的函数的单调性,再结合导数求 a 的范围即可. (3)通过第三问的条件,你会得到 f(x)在区间(0,e]不是单调函数的结论,并要求 f(x) 的值域需包含 g(x)的值域便可.接下来就是看怎样让 f(x)的值域包含 g(x)的值域, 即能求出 m 的范围. 解答: 解: (1)g′(x)=
x

,令

,解得 x=1,

∵e >0,∴x∈(﹣∞,1)时,g′(x)>0;x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,根据极大值的 定义知:g(x)极大值是 g(1)=1,无极小值. (2)当 m=1,a<0 时,f(x)=x﹣alnx﹣1,所以在[3,4]上 f′(x)= 在[3,4]上是增函数. 设 h(x)= 上为增函数. 设 x2>x1,则 恒成立,变成 ,所以在[3,4]上 h′(x)= >0,所以 h(x)在[3,4] >0,所以 f(x)

恒成立,即:f(x2)﹣f(x1)<h(x2) ﹣h(x1)恒成立,即:f(x2)﹣h(x2)<f(x1)﹣h(x1) .设 u(x)=f(x)﹣h(x) = ,则 u(x)在[3,4]上为减函数. ≤0 在[3,4]上恒成立.

∴u′(x)=1﹣



恒成立.设 v(x)=x﹣ =

,所以 v′(x)=1﹣ ,因为 x∈[3,4],所以

,所以 v′(x)<0,所以 v(x)为减函数. ∴v(x)在[3,4]上的最大值为 v(3)= ∴a≥ ,∴a 的最小值为: . .

(3)由(1)知 g(x)在(0,1]上单调递增,在(1,e]单调单调递减,又 g(0)=0,g(e) = ,所以 g(x)的值域是(0,1].

∵f(x)=mx﹣2lnx﹣m; ∴当 m=0 时,f(x)=﹣2lnx,在(0,e]为减函数,由题意知,f(x)在(0,e]不是单调函 数;故 m=0 不合题意; 当 m≠0 时,f′(x)= ① 此时 f(x)在(0, )递减,在( ,e]递增; ∴f(e)≥1,即 me﹣2﹣m≥1,解得 所以由①②,得 ; ;② ,由于 f(x)在(0,e]上不单调,所以 ,即 ;

∵1∈(0,e],∴f( )≤f(1)=0 满足条件. 下证存在 t∈(0, ]使得 f(t)≥1; 取 t=e
﹣m

,先证
x

,即证 2e ﹣m>0;③
x

m

设 w(x)=2e ﹣x,则 w′(x)=2e ﹣1>0 在[ ∴w(x)在[ 再证 f(e ∵f 所以 m 的取值范围是:[ ,+∞) .
﹣m

,+∞)时恒成立; >0,所以③成立;

,+∞)上递增,∴w(x)≥

)≥1; ,∴ 时,命题成立.

点评: 本题用到的知识点有:1.极值的定义.

2.用倒数求函数单调区间,判断单调性的方法. 3.单调函数定义的运用. 4.会对式子做适当变形,从而解决问题.


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