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《数列求和之错位相减法》课件


数列求和之错位相减法

主讲人:杜引娜 咸阳市彩虹学校

复习回顾:

等比数列前n项和的求和公式

问题探究:

数列 {a n }的通项公式 a n ? n ,数列 {b n }的通项公式 b n ? 2 n , 求数列 {a n ? bn }的前 n 项和。

观察:所求数列的通项公式是由等差数列与等比

数列的积组成。即“等差×等比”型

问题探究:
解:an bn ? n ? 2 n Sn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn

错位相减法: 乘公比,错位,相减

即Sn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ?? ? (n ? 1) ? 2 n ?1 ? n ? 2 n ①
2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ????? ? (n -1) ? 2n ? n ? 2n?1
①-②得 ②

? Sn ? 1? 2 ? ( 1? 22 ? 1? 23 ? ???? ? 1? 2n) ? n ? 2n?1
即 ? Sn ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? 2 n ? n ? 2 n?1
2 ? 2n ? 2 ? ? n ? 2n?1 ? (1 ? n)2n?1 ? 2 1? 2

故Sn ? 2 ? (1 ? n)2 n?1

当堂练习:

求和: 1? 3 ? 3 ? 32 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n
解: 记Sn ? 1? 3 ? 3 ? 32 ? ? ? (2n ? 3) ? 3n?1 ? (2n ? 1) ? 3n

3Sn ? 1? 32 ? 3 ? 33 ? ??? ? (2n ? 3) ? 3n ? (2n ? 1) ? 3n?1
两式相减得

? 2S n ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? ?????? ? 2 ? 3n ? (2n ? 1) ? 3n?1

? 2Sn ? 3 ? 2 ? ( 32 ? ? ? 3n ) ? (2n ? 1) ? 3n?1
32 ? 3n ? 3 ? 3? 2? ? (2n ? 1) ? 3 n ?1 ? ?6 ? (2 ? 2n) ? 3n?1 1? 3

故Sn ? 3 ? (1 ? n) ? 3n?1

1.写求和展开式时习惯算出每一项。 2.出现某些项的遗漏现象。 3.项数的计算错误(使用
a1 - an q 1- q

进行计算)

4.两式相减时,最后一项前面的系数出错。

1.学会辨别。能够使用错位相减法的通项公式是由 等差数列与等比数列的积组成。 2.能够正确写出解答错位相减法求前n项和的三个步 骤。

3.能够避免使用错位相减法过程中的几个易错点。

作业:
4 6 2n 1、求和:( 1 )1? 2 ? 3 ?? ? n 2 2 2
(2)1 ? 3x ? 5x 2 ? ? ? (2n ?1) x n?1

2、求数列 {2n ? 3n }的前n项和


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