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变化率与导数变化率问题


1.1.1《变化率与导数 -变化率问题》

教学目标
? 了解函数的平均变化率 ? 教学重点: ? 函数的平均变化率

导数研究的问题

变化率问题

研究某个变量相对于另一个变量变化 的快慢程度.

1.1.1变化率问题
? 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的 过程,可以发现,随着气球内空气容量的增 加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度 ,如何描述这种现象呢?
? 气球的体积V(单位:L)与半径r 4 3 (单位:dm)之间的函数关系是 V (r ) ? ? r

3 3V 3 ? 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 r (V ) ? 4?

我们来分 析一下:
3V r (V ) ? 4?
3

问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球 的过程,可以发现,随着气球内空气容 量的增加,气球的半径增加越来越慢. 从数学角度,如何描述这种现象呢?

? 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r (1) ? r (0) ? 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为 r (1) ? r (0)
1? 0 ? 0.62(dm / L)

? 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r (2) ? r (1) ? 0.16(dm) 气球的平均膨胀率为 r (2) ? r (1) 显然
2 ?1 ? 0.16(dm / L)
0.62>0.16

思考?
? 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平 均膨胀率是多少?

r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1

问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面 的高度h(单位:米)与起跳后的时间t(单 位:秒)存在函数关系 h 2+6.5t+10. h(t)=-4.9t 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?

请计算

o

t

0 ? t ? 0.5和1 ? t ? 2时的平均速度v :

请计算 0 ? t ? 0.5和1 ? t ? 2时的平均速度v :
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
h

o

t

平均变化率定义:
f ( x2 ) ? f ( x1 ) 表示 ?上述问题中的变化率可用式子 x2 ? x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率

? 若设Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2 同样Δy=f(x2)-f(x1)

则平均变化率为

?y ? ?x

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

思考?
? 观察函数f(x)的图象

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 平均变化率 ?x x2 ? x1
y

Y=f(x)

表示什么?

f(x2)

B f(x2)-f(x1)=△y A

f(x1)

直线AB 的斜率

x2-x1=△x x x1 x2

O

做两个题吧!
? 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点 A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( D ) A 3 B 3Δx-(Δx)2 C 3-(Δx)2 D 3-Δx ? 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。

2x0+Δx

练习:
1.质点运动规律s=t +3,则在时间(3,3+?t)中
2

相应的平均速度为( A ) A. 6+?t C.3+?t 9 B. 6+?t+ ?t D.9+?t

2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线 运动,求在4s附近的平均变化率.

25 ? 3?t

小结:
1.函数的平均变化率

?y ? ?x

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1);

?y ? (2)计算平均变化率 ?x

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

1.1.2《变化率与导数 -导数的概念》

教学目标
? 了解导数概念的实际背景,体会导数的思 想及其内涵 ? 教学重点: ? 导数概念的实际背景,导数的思想及其内 涵

问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的 高度h(单位:米)与起跳后的时间t(单位:秒 )存在函数关系 h h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?
o t

65 计算运动员在0 ? t ? 这段时间里的平均速度, 49
65 h( ) ? h(0) ? 10 49

?h v? ?0 ?t

思考下面问题; 1)运动员在这段时间里是静止的吗?
2)你认为用平均速度描述运动员的状态有什么问题吗?

瞬时速度.
? 在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映 他在这段时间里运动状态. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速 度.
又如何求 瞬时速度呢?

当Δt趋近于0时,平均 如何求(比如t=2时的)瞬时速度? 速度有什么变化趋势?

通过列表看出平均速度的变化趋势 :

瞬时速度
? 我们用
?t ? 0

lim h(2 ? ?t ) ? h(2) ? ?13.1
?t

表示 “当t=2, Δ t趋近于0时,平均速度趋于确 定值-13.1”.
局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过 取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

? 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?

h(t0 ? ?t ) ? h(t0 ) lim ?t ? 0 ?t

导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:

问题:
? 求函数y=3x2在x=1处的导数.

分析:先求Δy=f(1+Δx)-f(1) =6Δx+(Δx)2 再求 再求

?y lim ?6 ? x ?0 ? x

?y ? 6 ?? x ?x

应用:
1 2 s 例1 物体作自由落体运动,运动方程为: ? 2 gt 其 2

中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s .求: (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度; (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度; (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度. 分析:
1 ?s ? s (t0 ? ?t ) ? s (t0 ) ? 2 g ?t ? g (?t ) 2 2 __ ?s s (t0 ? ?t ) ? s (t0 ) 1 v? ? ? 2 g ? g ( ?t ) ?t ?t 2

解:

__

?s 1 v? ? 2 g ? g ( ?t ) ?t 2

O s(2) s(2+?t)

(1)将 Δ t=0.1代入上式,得: __

v ? 2.05g ? 20.5m / s.

?s

(2)将 Δ t=0.01代入上式,得: __

v ? 2.005g ? 20.05m / s.
__

( 3)当?t ? 0,2 ? ?t ? 2, 从而平均速度 的极限为: v __ ?s v ? lim v ? lim ? 2 g ? 20m / s. ?t ? 0 ?t ? 0 ? t

s

应用:
? 例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品,需要对原油进行冷却和加热。如果第 x(h) 时,原油的温度(单位:0C)为y=f(x)=x27x+15(0≤x≤8).计算第2(h) 和第6(h)时,原油温 度的瞬时变化率,并说明它们的意义。
?y 关键是求出: ? 2 x ?? x ? 7 ?x

?y 再求出lim ? 2x ? 7 ? x ?0 ? x

它说明在第2(h)附近,原油 温度大约以3 0C/h的速度下降; 在第6(h)附近,原油温度大 约以5 0C/h的速度上升。

应用:
? 例3.质量为10kg的物体,按照s(t)=3t2+t+4的 规律做直线运动, (1)求运动开始后4s时物体的瞬时速度;

1 2 (2)求运动开始后4s时物体的动能。 ( E ? mv ) 2
?s 25?t ? 3?t 2 v ? lim ? lim ? lim (25 ? 3?t ) ? 25 ?x ? 0 ?t ?x ? 0 ?x ? 0 ?t 1 2 1 E ? mv ? ? 10 ? 252 ? 3125( J ) 2 2

小结:
1.求物体运动的瞬时速度:

(1)求位移增量Δ s=s(t+Δ t)-s(t)

(2)求平均速度 v ? ? s ; ?t ?s (3)求极限 lim ? lim s(t ??t ) ? s(t ) .
? x ?0

?t

? x ?0

?t

2.由导数的定义可得求导数的一般步骤: (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)

(2)求平均变化率 (3)求极限 f ' ( x0 ) ? lim ? y
? x ?0

?y ?x

?x


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