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广东省广州市七区2012学年第二学期期末教学质量监测试卷高二数学理科


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广州市七区 2012 学年第二学期期末教学质量监测试卷

高二数学(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 参考公式与数据: 1.在 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件 A 发生的次数,若每次试验中事件 A 发生的 概率为 p ,则 P( X ? k ) ? Ck pk (1 ? p)n?k , k ? 0,1,2,?, n. n 2. 0.99 ? 0.387,0.910 ? 0.349, 0.911 ? 0.314 . 第一部分选择题(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.若 i 为虚数单位,则复数 z ? A.第一象限 【解析】选 D. z ? B.第二象限

2?i 在复平面内对应的点所在象限为( 2?i
C.第三象限 D.第四象限

)

(2 ? i)2 3 4 ? ? i ,所以 z 对应的点在第四象限. 5 5 5
)

2.命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定是( ..

A.所有不能被 2 整除的数都是偶数 B.所有能被 2 整除的数都不是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的数是偶数 D.存在一个能被 2 整除的数不是偶数 【解析】选D.把全称量词改为存在量词,并把结果否定.
2 3.已知随机变量 ? 服从正态分布 N (2, ? ) ,且 P(? ? 0) ? 0. 2 ,则 P(? ? 4) ? (

)

A.0.6

B.0.4

C.0.3

D.0.2

【解析】选 D.由正态分布的规律可知 P(? ? 4) ? P(? ? 0) ? 0.2 . 4.由曲线 y ? x , y ? 0, x ? 1 所围成图形的面积为(
2

) D.

A.

1 2

B.

1 3

C.

1 2
1 2

1 6
1

1 3 1 【解析】选B.由定积分的定义可知,面积为 S ? ? x d x ? x ? . 0 3 0 3
5.双曲线 ? x ? y ? ? 的实轴长是(
? ?

)

第 1 页 共 10 页

A.2

B. ? ?

C.4

D. ? ?

【解析】选 C. ? x? ? y ? ? ? 可变形为

x2 y 2 ? ? 1 ,则 a 2 ? 4 , a ? 2 , 2a ? 4 . 4 8
) D. (-?, ?)

6.若 f ( x) ? x? ? ? x ? ? ln x ,则 f '( x) ? ? 的解集为( A. (?, ??)

( , )( + B. -? ? U ?,?) C. (?, ??)

【解析】选 C.因为 f '( x) ? ? x ? ? ?
2

? ? x? ? ? x ? ? ? ,原函数的定义域为 (0, ??) ,所 x x

以由 f '( x) ? ? 可得 x ? x ? 2 ? 0 ,解得 x ? 2 . 7. 某外商计划在四个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过 2 个,则该外商不同的投资方案有( A.16 种 B.36 种 ) C.42 种 D.60 种

【解析】选 D.有两种情况,一是在两个城市分别投资 1 个项目、2 个项目,此时有
2 C1 ? A4 ? 36 种方案,二是在三个城市各投资 1 个项目,有 A3 ? 24 种方案,共计有 60 种 3 4

方案. 8.设 f ( x) 是定义在正整数集上的函数,且 f ( x) 满足: “当 f (k ) ? k 2 成立时,总可推出 .那么,下列命题总成立的是( f (k ? 1) ? (k ? 1)2 成立” A.若 f (1) ? 1 成立,则 f (10) ? 100 成立 B.若 f (2) ? 4 成立,则 f (1) ? 1 成立 C.若 f (3) ? 9 成立,则当 k ? 1 时,均有 f (k ) ? k 2 成立 D.若 f (4) ? 25 成立,则当 k ? 4 时,均有 f (k ) ? k 2 成立 【解析】选 D.对于 A 选项,原命题的否命题不一定成立;对 B 选项,由原命题与其逆否命
2 题等价可知,应有 f (1) ? 1 ;对 C 选项,只能得出:对于任意的 k ? 3 ,均有 f ? k ? ? k 成立, 2 不能得出:对任意的 k ? 1 ,均有 f ? k ? ? k 成立;对 D 选项,因为 f (4) ? 25 ? 16 ,所以对 2 于任意的 k ? 4 ,均有 f ? k ? ? k 成立.



第二部分非选择题(共 110 分)

第 2 页 共 10 页

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.已知 a ? (1, ?1,1), b ? (?2,3, ?11) ,则 | b ? a |? 【解析】填 13. | b ? a |? 10.在 (2 x ?
2

?

?

? ?



? ?

(?2 ? 1) 2 ? (3 ? 1) 2 ? (?11 ? 1) 2 ? 169 ? 13 .


1 5 ) 的二项展开式中,第 4 项的系数为 x

3 【解析】填 ?40 .因为 T4 ? T3+1 =C5 (2x2 )5-3 ? ( ? x?1 )3 ? ?22 C3 x ? ?40x ,所以第 4 项 5

的系数为 ?40 . 11. 一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了 1 枚劣币, 国王怀疑大臣作弊, 他用在 10 箱子中各任意抽查的方法来检测,国王能发现至少一枚劣币的概率为 【解析】填 0.651 .每箱的选中劣币的概率为 .

1 ,10 箱子中一枚劣币也不能检测出的概 10

0 率 为 C10 (0.1)0 (0.9)10 , 所 以 国 王 能 发 现 至 少 一 枚 劣 币 的 概 率 为 0 1 ? C10 (0.1)0 (0.9)10 ? 0.651.

12.已知某生产厂家的年利润 y (单位:万元)与年产量 x (单位:万件)的函数关系 式为 y ? ?

1 3 x ? 81x ? 234 ,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 3

万件.

【解析】填9.令导数 y ' ? ? x2 ? 81 ? 0 ,解得 0 ? x ? 9 ;令导数 y ' ? ? x2 ? 81 ? 0 , 解得 x ? 9 , 所以函数 y ? ?

1 3 x ? 81x ? 234 在区间 (0,9) 上是增函数,在区间 (9, ??) 上是 3

减函数,所以在 x ? 9 处取极大值,也是最大值. 13.设函数 f ( x) ?

x ( x ? 0) ,已知 x?2

x x x , f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ? , f 3 ( x) ? f ( f 2 ( x)) ? , x?2 3x ? 4 7x ? 8 x f 4 ( x) ? f ( f 3 ( x)) ? , ?? 15 x ? 16 f1 ( x) ? f ( x) ?
根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n ? N ,且 n ? 2 时, f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ?
?

.

【解析】填

x ,观察知四个等式等号右边的分母为 (2 ? 1) x ? 2n
n

第 3 页 共 10 页

x ? 2,3x ? 4,7 x ? 8,15x ? 16 ,即 (2 ?1) x ?2,(4 ? x? 1) 4,(8 1) ?

x? 8,(16 1) ? 16? x
?

,所以

归纳出分母为 f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) 的分母为 (2n ?1) x ? 2n ,故当 n? N 且 n ? 2 时,

fn ( x) ? f ( fn?1 ( x)) ?

x . (2 ? 1) x ? 2n
n

14.抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , A(,) 点 0 2 则 B 到该抛物线焦点的距离为 【解析】填 .

, 若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,

3 p p 2 .点 F 坐标为 F ( , 0) ,点 B 坐标为 B( ,1) ,由抛物线的定义可知 2 4 4

p p p 2 ( )2 ? 1 ? ? ,解得 p ? 2 ,点 B 坐标为 ( ,1) ,所以点 B 到抛物线准线的距离 4 4 4 2


p p 3 3 ? ? p? 2. 4 2 4 4 1 3 x ? 9 x ? 1( x ? R ) 的极值. 3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分)求函数 f ( x ) ? 【解析】因为 f ( x ) ?

1 3 x ? 9 x ? 1( x ? R ) ,所以 3

f '( x) ? x2 ? 9 ? ( x ? 3)( x ? 3) ····································································································· 2 分
令 f '( x) ? 0 ,解得 x ? ?3 ,或 x ? 3 . 由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ?3 ,或 x ? 3 ;由 f '( x) ? 0 ,得 ?3 ? x ? 3 .·································· 4 分 当 x 变化时, f '( x) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f '( x)
f ( x)

(??, ?3)

?3
0 19

(?3,3)

3 0
?17

(3, ??)

?
单调递增 ?

?
单调递减 ?

?
单调递增 ?

····························································································································································· 8 分 因此当 x ? ?3 时, f ( x ) 有极大值,极大值为 f (?3) ? 19 ; ················································· 10 分

第 4 页 共 10 页

当 x ? 3 时, f ( x ) 有极小值,极小值为 f (3) ? ?17 . ······························································ 12 分 16.(本小题满分 12 分)已知动点 M 在直线 l : y ? 2 的下方,点 M 到直线 l 的距离与 定点 N (0, ?1) 的距离之和为 4,求动点 M 的轨迹方程. 【解析】设动点 M 的坐标为 M ( x, y ) . .................................................................................... 1 分 因为点 M 在直线 l : y ? 2 的下方,所以 y ? 2 ,依题意有

x 2 ? ( y ? 1) 2 ? | y ? 2 |? 4 ........................................................................................................... 4 分
2 2 因为 y ? 2 ,所以 x ? ( y ? 1) ? y ? 2 .................................................................................... 6 分

1 2 ( x ? 3) ·············································································································· 8 分 2 1 2 因为 y ? 2 ,所以 ( x ? 3) ? 2 ,解得 ? 7 ? x ? 7 ··························································· 10 分 2 1 2 所以所求的轨迹方程为 y ? ( x ? 3)(? 7 ? x ? 7) .··························································· 12 分 2
平方化简得 y ? 17. (本小题满分14分)设 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(?? ? ? ? 0), f ( x) 图像的一条对称轴是

x?

?
8

.(1)求 ? 的值; (2)证明:对任意实数 c ,直线 5x ? 2 y ? c ? 0 与函数 y ? f (x) 的

图象不相切. 【解析】 (1)由对称轴是 x ? 即

?
8

,得 sin(

?
4

? ? ) ? ?1 ,

2分

?
4

? ? ? k? ?

?
2

··························································································································· 3分

所以 ? ? k? ?

?
4

? k ? Z ? ················································································································ 4分

3 4 3 3 ' (2)因为 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) .所以 f ( x) ? 2 cos(2 x ? ? ) ? 2 , 8 分 4 4 即曲线的切线的斜率不大于 2 , 5 而直线 5x ? 2 y ? c ? 0 的斜率 k ? ? 2 , ··············································································· 10 分 2
而 ?? ? ? ? 0 ,所以 ? ? ? ? . ································································································ 6 分 所以直线 5x ? 2 y ? c ? 0 不是函数 y ? f (x) 的切线.···························································· 12 分

第 5 页 共 10 页

18.(本小题满分 14 分)如图,在梯形 ABCD 中, AB / / CD , AD ? DC ? CB ? 1 ,

?ABC ? 60o ,四边形 ACFE 为矩形,平面 ACFE ? 平面 ABCD , CF ? 1 .
F

M
C

E

D

B A

(1)求证: BC ? 平面 ACFE ; (2)若点 M 在线段 EF 上移动,试问是否存在点 M ,使得平面 MAB 与平面 FCB 所 成的二面角为 45o ,若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由. 【解析】 (1)证明:在梯形 ABCD 中, AB / / CD , AD ? DC ? CB ? 1 , ?ABC ? 60o , 所以 AB ? 2 , AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos 60? ? 3 , ·············································· 2 分 所以 AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ,所以 AC ? BC , 3 分 又平面 ACFE ? 平面 ABCD , AC 是交线, BC ? 平面 ABCD , 所以 BC ? 平面 ACFE . ··················································································································· 5 分

AC (2) (1) AC , BC , CF 两两互相垂直, C 为坐标原点, , BC , CF 分别为 x, y, z 由 知 以
轴建立空间直角坐标系,如图,

F

M
C

E

D

B A

则 A, B 的坐标分别为 A( 3,0,0), B(0,1,0) ,设 M 的坐标为 M (a,0,1) ,则

??? ? ???? ? AB ? (? 3,1,0), BM ? (a, ?1,1) , ···························································································· 7 分

第 6 页 共 10 页

设 m ? ( x, y, z) 是平面 AMB 的法向量,则

??

?? ??? ? ?m ? AB ? ? 3x ? y ? 0 ? ·············································································································· 9 分 ? ? ?? ???? m ? BM ? ax ? y ? z ? 0 ? ? ?? 取 x ? 1 ,得 m ? (1, 3, 3 ? a) , ······························································································ 10 分
显然 n ? (1,0,0) 是平面 FCB 的法向量,于是 ··········································································· 11 分

?

?? ? cos ? m, n ??

1 4 ? ( 3 ? a) 2

?

2 ·························································································· 12 分 2
13 分

化简得 2 ? ( 3 ? a)2 ? 0

此方程无实数解,

所以线段 EF 上不存在点 M 使得平面 MAB 与平面 FCB 所成二面角为 45? . ···················· 14 分 19. (本小题满分14分) PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为 可入肺颗粒物.我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值,即 PM2.5 日均值在 35 微克 /立方米以下空气质量为一级;在 35 微克/立方米 ? 75 微克/立方米之间空气质量为二级; 在 75 微克/立方米以上空气质量为超标.

某城市环保局从该市市区 2012 年全年每天的 PM2.5 监测 数据中随机的抽取 15 天的数据作为样本, 监测值如茎叶图所示 (十位为茎,个位为叶) . (1)从这 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天 数据,求恰有一天空气质量达到一级的概率; (2)从这 15 天的数据中任取三天数据,记 ? 表示抽到 2 3 4 6 7 8 9

PM2.5 日均值(微克/立方

米) 8 7 4 3 9 6 2 1 5 8 3 5 4 5 3

PM2.5 监测数据超标的天数,求 ? 的分布列和数学期望;
(3) 根据这 15 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况, 则一年 (按 365 天计算) 中平均有多少天的空气质量达到一级或二级. 【解析】 (1)从茎叶图可知,空气质量为一级的有 4 天,为二级的有 6 天,超标的有 5 天,记“ 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天数据,求恰有一天空气质量达到一 级”为事件 A ,则 P( A) ?
2 C1 ? C11 44 4 ? . 3 C15 91

4分

第 7 页 共 10 页

(2) ? 的可能值为 0,1,2,3.

P (? ? 0) ?

0 3 C1 C2 45 C5 C10 24 , P(? ? 1) ? 5 3 10 ? , ? 3 C15 91 C15 91

P (? ? 2) ?

1 C52C10 20 C 3C 0 2 , P (? ? 3) ? 5 3 10 ? . ······································································· 8 分 ? 3 C15 91 C15 91

所以 ? 的分布列为

?

0
24 91 45 91

2
20 91

3

P

2 91

····························································································································································· 10 分

24 45 20 3 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? 1 . ··················································································· 12 分 91 91 91 91 10 2 2 1 (3)15 天的空气质量达到一级或二级的频率为 ? 365? ? 243 , 15 3 3 3 E? ?
所以估计一年中有 243 天空气质量达到一级或二级. ······························································· 14 分 (说明:答 243 天,244 天不扣分) 20.(本题满分 14 分)如图,已知椭圆 E1 方程为
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,圆 E2 方程 a 2 b2

C 为x ? y ? a , 过椭圆的左顶点 A 作斜率为 k1 直线 l1 与椭圆 E1 和圆 E2 分别相交于 B , .
y
C

D A B
O

l1

x

l2

E1

E2

(1)若 k1 ? 1 时, B 恰好为线段 AC 的中点,试求椭圆 E1 的离心率 e ; (2)若椭圆 E1 的离心率 e =

1 , F2 为椭圆的右焦点,当 | BA | ? | BF2 |? 2a 时,求 k1 2

第 8 页 共 10 页

的值; (3)设 D 为圆 E2 上不同于 A 的一点,直线 AD 的斜率为 k2 ,当

k1 b 2 时,试问 ? k2 a 2

直线 BD 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由. 【解析】 (1)当 k1 ? 1 时,点 C 在 y 轴上,且 C 点的坐标为 C (0, a ) ,则 B 点的坐标为

a a (? ) 2 ( ) 2 ? a a? B ? ? , ? ,由点 B 在椭圆上得 2 ? 22 ? 1 , 2 分 a2 b ? 2 2?
所以

b2 1 ? , ··································································································································· 3 分 a2 3 c2 b2 2 6 ? 1 ? 2 ? ,所以 e ? . 2 a a 3 3
4分

e2 ?

(2)设椭圆的左焦点为 F ,由椭圆的定义知 | BF | ? | BF2 |? 2a , 1 1 所以 | BF |?| BA | ,即 B 在线段 AF1 的中垂线上,所以 xB ? 1 又因为 e ?

a?c ,·································· 6 分 2

c 1 1 3 ? ,所以 c ? a, b ? a, a 2 2 2 3 7 21 a ,代入椭圆方程得 yB ? ? b ? ? a , ··················································· 7 分 4 4 8

所以 xB ? ?

所以 k1 ?

yB 21 . ············································································································· 8 分 ?? xB ? a 2

? y ? k1 ( x ? a ), x 2 ? a 2 k12 ( x ? a ) 2 ? 2 2 ? ? 0, (3 法一:由 ? x 得 y a2 b2 ? 2 ? 2 ? 1, b ?a
所以 x ? ? a ,或 x ?

a (b 2 ? k12 a 2 ) , ························································································· 10 分 b 2 ? a 2 k12 a (b 2 ? k12 a 2 ) 2ab 2 k1 ,则 yB ? k1 ( xB ? a ) ? 2 . ················· 11 分 b 2 ? a 2 k12 b ? a 2 k12

所以 xB ? ? a ,所以 xB ?

第 9 页 共 10 页

2 ? y ? k2 ( x ? a ) a(1 ? k2 ) 2 2 2 2 由? 2 ,得 x ? a ? k2 ( x ? a) ? 0 得 x ? ?a ,或 x ? , 2 2 2 1 ? k2 ?x ? y ? a 2 a(1 ? k2 ) 2ak2 ·································································································· 12 分 , yD ? 2 2 1 ? k2 1 ? k2

易得 xD ?



k1 b2 ? 时, xB ? k2 a 2

a(b2 ?

b4 2 k2 )2 a(a 2 ? b 2 k 2 ) 2abk a2 ? 2 2 22 , yB ? 2 22 2 , 4 b 2 a ? b k2 a ? b k2 b 2 ? 2 k2 a

k BD

2abk2 2ak2 ? 2 2 2 a ? b k2 1 ? k2 1 ? ? ? , ·················································································· 13 分 2 2 2 2 a(a ? b k2 ) a(1 ? k2 ) k2 ? 2 2 2 2 a ? b k2 1 ? k2
2

因为 E2 为圆,所以 ? ADB 所对圆 E2 的弦为直径,从而 BD 经过定点 ( a, 0) . 所以 BD ? AD ································································································································· 14 分 法二:直线 BD 过定点 (a, 0) ,证明如下: ················································································ 6 分 设 P (a, 0) , B ( xB , yB ) ,则

xB 2 y B 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ···························································· 8 分 a2 b

k AD k PB ?

y y y2 a2 a2 a2 a 2 b2 k1k PB ? 2 ? B ? B ? 2 ? 2 B 2 ? 2 (? 2 ) ? ?1 , ····················· 10 分 b2 b xB ? a xB ? a b x B ? a b a

所以 PB ? AD ,又 PD ? AD ····································································································· 12分 所以三点 P, B, D 共线,即直线 BD 过定点 P (a, 0) . ····························································· 14 分

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