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导数的乘除法法则


复习回顾
* 求导的加减法法则: 两个函数和(差)的导数,等于这两个函数导 数的和(差),即

? f ( x ) ? g ( x )? ? f ( x) ? g ( x )?

?

? f ?( x ) ? g ?( x ) ? f ?( x ) ? g ?( x )

?


前面学习了导数的加法减法运算法则,下面来研
究两个函数积、商的导数求法: 引例:
2 处的导数为 , ,求 ? f ( x ) g ( x ) ? x x0 y ? f ( x ) g ( x ) ? x 2 f ( x ) 在 x0处的导数。

设 y ? f ( x) 在

g ?( x ) 之间的联系, 我们观察 ? f ( x ) g ( x )? 与 f ?( x ) 、
从定义式中,能否变换出 f ?( x ) 和 g ?( x ) ??

?

解析 对于 x0 的改变量 ?x ,有

?y ? ( x0 ? ?x ) f ( x0 ? ?x ) ? x f ( x0 )
2 2 0

平均变化率:
2 ?y ( x0 ? ?x )2 f ( x0 ? ?x ) ? x0 f ( x0 ) ? ?x ?x

如何得 到 f ?( x ) 、g ?( x )?

?f ( x ) f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) 即出现: ? ?x ?x 2 ?g ( x ) ( x0 ? ?x ) 2 ? x0 ? ?x ?x

2 ?y ( x0 ? ?x )2 f ( x0 ? ?x ) ? x0 f ( x0 ) ? ?x ?x

2 ( x0 ? ?x )2 ? f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 )? ? ( x0 ? ?x )2 ? x0 f ( x0 ) ? ?x 2 2 f ( x ? ? x ) ? f ( x ) ( x ? ? x ) ? x 2 0 0 0 ? ( x0 ? ?x ) ? 0 f ( x0 ) ?x ?x

?

?

由于
?x ?0

lim ( x0 ? ?x ) ? x
2

2 0

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) lim ? f ?( x0 ) ?x ?0 ?x 2 ( x0 ? ?x ) 2 ? x0 lim ? 2 x0 ? g ?( x0 ) ?x ?0 ?x

2 所以 f ( x ) g ( x ) ? x f ( x ) 在 x0 处的导数值是:

2 x0 f ?( x0 ) ? 2 x0 f ( x0 ) ? g ( x0 ) f ?( x0 ) ? g ?( x0 ) f ( x0 )

2 2 2 x f ( x ) ? 因此, 的导数是: x f ( x) ? ( x )? f ( x )

由此可以得到:

? f ( x ) g ( x )?

?

? f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x )

特别地,若 g ( x ) ? k ,则有

?kf ( x)? ? kf ?( x)

?

概括
一般地,若两个函数 f ( x ) 和 g ( x ) 的导数分别是

f ?( x ) 和 g ?( x ) ,则:

? f ( x ) g ( x )?
?
?

?

? f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x )

?kf ( x)? ? kf ?( x)
? f ( x) ? f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x ) ? g ( x) ? ? 2 g ( x) ? ?

思考:下列式子是否成立??试举例说明。

? f ( x) g ( x)? ? f ?( x ) g ?( x) ×
3 2

?

? f ( x) ? f ?( x ) ? g ( x ) ? ? g ?( x ) ? ?

×
?

?

例如,f ( x ) ? x , g ( x) ? x ,通过计算可知

? f ( x ) g ( x )?

?

? f ?( x ) g ?( x )

? f ( x) ? f ?( x ) ? g ( x ) ? ? g ?( x ) ? ?

例1 求下列函数的导数:

(1) y ? x e ;
2 x

( 2) y ? x sin x ; ( 3) y ? x ln x
解析

例2 求下列函数的导数:

sin x x2 (1) y ? ; ( 2) y ? x ln x
解析

例3 求下列函数的导数:

cos x ? x (1) y ? x (ln x ? sin x ) ; ( 2) y ? x2
2

解析 例4 求曲线 f ( x ) ? 1? 切线方程。

1? x x

? 2 ln x 过点 (1,0) 的
x

解析

1. 计算下列函数的导数:

(1) y ? ( 2 x ? 3)( 3 x ? 1)
2

y? ? 18 x 2 ? 4 x ? 9

( 2) y ? ( x ? 2) 2 x x ( 3) y ? x ? sin cos 2 2

2 y? ? 1 ? x

1 y? ? 1 ? cos x 2 本题也可以用公式变形再用导数的加减法法则计算。
2. 求曲线 y ? x( 2 ? x 3 ) 2 在 (1,9) 处的切线方程。
k ? y? ? 27
y ? 27 x ? 18

例3

1. 计算下列函数的导数:

x (1) y ? 1 ? cos x

1 ? cos x ? x sin x y? ? (1 ? cos x )2

? 3x2 ? 4x x ? 1 x ?1 y? ? ( 2) y ? 2 2 2 2 x ( x ? 1 ) x ?1 x x e ?1 ? 2 e ( 3) y ? x y? ? x e ?1 (e ? 1) 2 x ? 2. 求曲线 y ? 在 x ? 处的切线方程。 sin x 3
2 3 ? k ? y? ? ? 3 6
2 3 ? ?2 y?( ? )x ? 3 6 18

小结
* 导数的乘除法法则:

? f ( x ) g ( x )?
?
?

?

? f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x )

?kf ( x)? ? kf ?( x)
? f ( x) ? f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x ) ? g ( x) ? ? 2 g ( x) ? ?

结束

解:
(1)设

f ( x) ? x , g ( x) ? e
2

x

,可知

x ? ? f ( x ) ? 2 x, g ( x ) ? e

由导数的乘法法则:

? f ( x ) g ( x )?
可得:
2 x

?

? f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x )
x 2 x 2 x

( x e )? ? 2 xe ? x e ? ( 2 x ? x )e

(2)由导数的乘法法则

? f ( x ) g ( x )?
可得:

?

? f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x )

sin x ( x sin x )? ? ( x )? sin x ? x (sin x )? ? ? x cos x 2 x
(3)由导数的乘法法则可得:

1 ( x ln x)? ? ( x)? ln x ? x(ln x)? ? 1 ? ln x ? x ? ? ln x ? 1 x
例2

解: (1)设 f ( x ) ? sin x, g ( x ) ? x ,则可知

f ?( x ) ? cos x, g ?( x ) ? 1
由导数的除法运算法则

? f ( x) ? f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x ) ? g ( x) ? ? 2 g ( x) ? ?
可得

?

? ? sin x ? cos x ? x ? sin x ? 1 x cos x ? sin x ? ? ? ? 2 2 x x x ? ?

(2)由导数的除法运算法则可得:
2 1 ? 2 x ? ln x ? x ? 2 ? x ? x( 2 ln x ? 1) x ? ? 2 2 ? ln x ? ? ? (ln x ) ln x ? ?

练习

分析:

无论题目中所给的式子多么复杂,但是求导的实
质不会改变,求函数积(商)的导数时,都满足运算

法则:

? f ( x ) g ( x )?
?

?

? f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x )

? f ( x) ? f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x ) ? g ( x) ? ? 2 g ( x) ? ?

解: (1)可设

f ( x) ? x , g ( x) ? ln x ? sin x
2

1 则有:f ?( x ) ? 2 x, g ?( x ) ? ? cos x x
根据导数的乘法法则,得:

?x (ln x ? sin x)?
2

?

1 ? 2 x(ln x ? sin x) ? x ( ? cos x ) x ? x ? 2 x ln x ? 2 x sin x ? x 2 cos x
2

本题也可以展开括号再用导数的加减和乘法法则计算。

(2)由导数的除法法则,可得:

? cos x ? x ? ? x2 ? ? ? (cos x ? x )? x 2 ? (cos x ? x ) ? 2 x ? 2 2 (x ) ( ? sin x ? 1) x 2 ? 2 x cos x ? 2 x 2 ? 4 x x sin x ? 2 cos x ? x ?? 例4 x3

?

分析: 要求切线方程,先求斜率,即导数。 解: 由求导运算法则可知:

f ?( x ) ? ? 1 2 x (1 ? x ) ? (1 ? x ) (1 ? x ) 2 1 1 2 x ? ( 2 x ln 2) ln x ? 2 x
x

x 2 x ?? ? 2 ln 2 ln x ? 2 x x (1 ? x )

7 可求得 f ?(1) ? , 4

则曲线 f ( x ) ? 方程为:

1? x 1? x

? 2 ln x 过点 (1,0) 的切线
x

7 y ? ( x ? 1) 4
即: 7 x ? 4 y ? 7 ? 0 练习


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