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2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识):2.14定积分与微积分基本定理


课时跟踪检测(十七) 定积分与微积分基本定理

1.设函数 f(x)=xm+ax 的导函数 f′(x)=2x+1,则? f(-x)dx 的值等于( ?
1

2

)

5 A. 6 2 C. 3

1 B. 2 1 D. 6

2.从空中自由下落的一

物体,在第一秒时恰经过电视塔顶,在第二秒时物体落地,已 知自由落体的运动速度为 v=gt(g 为常数),则电视塔高为( 1 A. g 2 3 C. g 2 B.g D.2g )

3.(2012· 湖北高考)已知二次函数 y=f(x)的图像如图所示,则它与 x 轴所围图形的面积为( 2π A. 5 3 C. 2 ) 4 B. 3 π D. 2

?x+1,-1≤x<0, ? 4.函数 f(x)=? 的图像与 x 轴所围成的封闭图形的面积为( π ?cos x,0≤x≤2 ?
3 A. 2 C.2 B.1 1 D. 2

)

5. (2011· 新课标全国卷)由曲线 y= x, 直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为( 10 A. 3 16 C. 3 B.4 D.6 )

)

1 6.(2012· 威海模拟)曲线 y=sin x(0≤x≤π)与直线 y= 围成的封闭图形的面积是( 2 A. 3 π C.2- 3 B.2- 3 D. 3- π 3

7. (2012· 吉林实验中学高三模拟)设函数 f(x)=ax2+c(a≠0), ∫1f(x)dx=f(x0), 0≤1, 若 0 0≤x 则 x0 的值为______.

1 8.(2012· 江西高考)计算定积分∫-1(x2+sin x)dx=________.

9.由曲线 y= 3-3x2与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 ________. 10.求下列定积分. 1 2 (1)∫2?x-x +x?dx;(2)∫0 π(cos x+ex)dx. - 1 ? ?

11.求函数 y=∫x (sin t+cos tsin t)dt 的最大值. 0

1 12.已知 f(x)为二次函数,且 f(-1)=2,f′(0)=0,∫0f(x)dx=-2.

(1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.

1.(2012· 唐山统考)由曲线 y=x2+2x 与直线 y=x 所围成的封闭图形的面积为( 1 A. 6 5 C. 6 1 B. 3 2 D. 3

)

3 2.(2012· 威海模拟)定积分∫-2 16+6x-x2dx=________.

3.(2012· 石家庄模拟)如图,过点 A(6,4)作曲线 f(x)= 4x-8 的切线 l. (1)求切线 l 的方程; (2)求切线 l、x 轴及曲线 f(x)= 4x-8所围成的封闭图形的 面积 S.





课时跟踪检测(十七) A级 1. A 由于 f(x)=xm+ax 的导函数为 f′(x)=2x+1, 选 所以 f(x)=x2+x, 于是? f(-x)dx ?
1 2

1 3 1 2 5 =? (x2-x)dx= ?3x -2x ??2= . ?1 ? ??1 6
2

2.选 C 由题意知电视塔高为 1 1 3 ∫2gtdt= gt22=2g- g= g. 1 2 1 2 2 3.选 B 由题中图像易知 f(x)=-x2+1, x3 4 ∫1(-x2+1)dx=2?- +x?|1= . 则所求面积为 2 0 ? 3 ?0 3 π 4.选 A S=∫0 1(x+1)dx+∫ 0cos xdx - 2 1 2 π 3 = ?2x +x??0 1+sin x 0= . ? ??- 2 2 5.选 C 由 y= x及 y=x-2 可得,x=4,所以由 y= x及 y=x-2 及 y 轴所围成的封

?2 3 1 2 ? 16 闭图形面积为∫4( x-x+2)dx= x - 2x +2x? 4= . 0 ??0 3 3 2 ?
1 π 5π 6.选 D 由 sin x= 及 0≤x≤π 得 x= 或 , 2 6 6 1 5ππ 1 所以曲线 y=sin x(0≤x≤π)与直线 y= 围成的封闭图形的面积是 S=∫ sin xdx- 2 66 2 5π π 5ππ π ×? 6 -6?=-cos x - ? ? 66 3 =-cos π π 5π ? - -cos 6?- ? 3 6 ?

π = 3- . 3

1 3 1 7.解析:∫1f(x)dx=∫0(ax2+c)dx=?3ax +cx? 0 ? ?

? ? ? ?

1 0

1 = a+c=f(x0)=ax2+c, 0 3 1 3 2 ∴x0= ,x0=± . 3 3 又∵0≤x0≤1,∴x0= 答案: 3 3 3 . 3

1 3 2 8.解析:∫1 1(x2+sin x)dx=?3x -cos x?|1 1= . - ? ?- 3 2 答案: 3

9.解析:所求体积 V=∫1 1 -

? ? π(3-3x )dx=π(3x-x ) ? ?
2 3

1

-1

=4π.

答案:4π 1 2 10.解:(1)∫2?x-x +x?dx 1 ? ?
21 =∫2xdx-∫2x2dx+∫1 dx 1 1 x



x22 x32 3 7 5 - +ln x2= - +ln 2=ln 2- . 1 21 31 2 3 6

0 (2)∫0 π(cos x+ex)dx=∫0 πcos xdx+∫-πexdx - -

1 =sin x0 π+ex0 π=1- π. - - e 11.解:y=∫x (sin t+cos tsin t)dt 0 1 =∫x ?sin t+2sin 2t?dt 0 ? ? 1 =?-cos t-4cos 2t?x ? ?0 1 5 =-cos x- cos 2x+ 4 4 1 5 2 =-cos x- (2cos x-1)+ 4 4 1 3 =- cos2x-cos x+ 2 2 1 =- (cos x+1)2+2≤2, 2 当 cos x=-1 时取等号. 所以函数 y=∫x (sin t+cos tsin t)dt 的最大值为 2. 0 12.解:(1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则 f′(x)=2ax+b. 由 f(-1)=2,f′(0)=0,
? ? ?a-b+c=2, ?c=2-a, 得? 即? ? ? ?b=0, ?b=0,

故 f(x)=ax2+(2-a). 又∫1f(x)dx=∫1[ax2+(2-a)]dx 0 0 1 3 2 1 =?3ax +?2-a?x?0=2- a=-2, ? ? 3 得 a=6,故 c=-4. 从而 f(x)=6x2-4. (2)因为 f(x)=6x2-4,x∈[-1,1], 所以当 x=0 时,f(x)min=-4; 当 x=± 时,f(x)max=2. 1 即 f(x)在[-1,1]上的最大值为 2,最小值为-4. B级 1.选 A 在直角坐标系内,画出曲线 y=x2+2x 和直线 y=x 围成
2 ? ?y=x +2x, 的封闭图形, 如图所示, ? 由 得曲线与直线的两个交点坐标 ?y=x, ?

1 3 1 2 1 1 为(-1,-1)和(0,0),故封闭图形的面积为 S=∫0 1[x-(x2+2x)]dx=?-3x -2x ?0 1=- - - ? ?- 3 2 1 = . 6 2.解析:设 y= 16+6x-x2,即(x-3)2+y2=25(y≥0), ∵∫3 2 16+6x-x2dx 表示以(3,0)为圆心,5 为半径的圆的面积的四分之一, - 25π ∴∫3 2 16+6x-x2dx= . - 4 25π 答案: 4 3.解:(1)∵f′(x)= 1 1 ,∴f′(6)= , 2 x-2

1 ∴切线 l 的方程为 y-4= (x-6), 2 即 x-2y+2=0. (2)令 f(x)=0,则 x=2, 1 令 y= x+1=0,则 x=-2. 2 1 故 S=∫6 2?2x+1?dx-∫6 4x-8dx - 2 ? ?

1 2 =?4x +x? ? ?

? ? ? ?

-2

6

1 3 - (4x-8) 6 2

? 16 ? =3. ?
6 2


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