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直线的方程课件


直线的方程
制作人:韩艳

问题一
1.在平面内,需要知道哪几个条件,才能确定直线的位置。 2.画出经过点A(-1,3),斜率为-2的直线。
y

A(-1,3)

. .
O x

3.在直角坐标系内, 点的代数形式是 坐标 直线方向的代数形式是

。 斜率



问题二 若直线l经过点A(-1,3),斜率为-2,点P(x,y)在直线l上运动,那么 点P的坐标x和y之间满足什么关系?
y

A(-1,3)

.

点P与定点A(-1,3)所确定的直线的斜率恒等于-2, y ?3 ? ?2 故有: x ? (?1) 即:
y ? 3 ? ?2[ x ? (?1)]

O

. P(x,y)

x

问: 1.直线l上的点的坐标是否都满足方程? 2.以此方程的解为坐标的点是否在直线l上? 即 2x ? y ? 1 ? 0 .
由此,我们得到经过点A(-1,3),斜率为-2的直线方程是 2 x ? y ? 1 ? 0 .

问题三

直线l经过点P1(x1,y1),斜率为k,点P在直线l上运动,那么点 P的坐标(x,y)满足什么条件?
y

当点P(x,y)在直线l上运动时,PP1的斜率恒等于k,
P(x,y)

P1(x1,y1)

.

.

o

y ? y1 ?k , 即 x ? x1 故 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) .
x

可以验证:直线l上的每个点(包括点P1 )的坐标都是这个方程的解;

反过来,以这个方程的解为坐标的点都在直线l上。
由此,这个方程 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 就是过点P1 ,斜率为k的直线l的方程。

方程

y ? y1 ? k ( x ? x1 )
叫做直线的点斜式方程。

问 点斜式方程能不能表示平面内所有的直线?
y

答 不能,当斜率不存在时,不能使用点斜式。 问 那这个时候直线的方程是什么? 答 当直线的斜率不存在时, 直线的方程是 x= x1 . o

.

P(x,y)

. P (x ,y )
1 1 1

x

例1 : 已知一直线经过点P(-2,3),斜率为2,求这条直线的方程。 解:由直线的点斜式方程,得

y ? 3 ? 2( x ? 2)
即 2x ? y ? 7 ? 0 .
练习1:

1.已知一直线经过点P(4,-2),斜率为3,求这条直线的方程。 2.已知一直线经过点P(-1,2),斜率为0,求这条直线的方程。

例2 : 已知直线l 斜率为k,与y轴的交点是P(0,b),求直线l的方程。 解:由直线的点斜式方程,得 y ? b ? k ( x ? 0) 即为 y ? kx ? b . 其中,b为直线与y轴交点的纵坐标。 我们称b为直线l 在y轴上的截距。 方程 y ? kx ? b 由直线l的斜率和它在y轴上的截距确定 。 所以,这个方程 y ? kx ? b 就也叫做直线的斜截式方程。

填空
1.直线y=2x-4的斜率是 2
? 3 2

,在y轴上的截距是 - 4

。 。

2.直线2x+y-4=0的斜率是 - 2 ,在y轴上的截距是 4

3.直线3x+2y=0的斜率是
判断

,在y轴上的截距是 0



1.直线的点斜式方程 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 可以表示直角坐标系 中的任何一条直线。
2.方程y=kx+2表示通过点(0,2)的所有直线。

( X ) ( X )

3.若直线y=kx+b与y轴交点为A,则线段AO的长度为b。

( X )

练习2: 1. 求斜率为-3,在y轴上的截距为-1的直线的方程。 2.已知一条直线经过点P(1,2),且斜率与直线2x+y-3=0相等, 则该直线的方程是 。

练习3: 3.求经过点(0,3)且斜率为2的直线的方程。 y=2x+3

问题一

我们知道给出直线的两个因素,直线就能够确定, 即将直线放在直角坐标系中就能够确定其方程。 在直角坐标系中如果给出直线上一点和斜率,我 们已经研究了其方程表示。如果给出两点 点 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ,那么直线 PP 1 2 也就 确定了,那么如何表示其方程呢?

问题一 若直线l经过两点 P1 ( x1, y1 ), P2 ( x2 , y2 )( x1 ? x2 ) ,点P(x,y)在直线l 上运动,那么点P的坐标x和y之间满足什么关系?
若直线l经过两点

P1 ( x1, y1 ), P2 ( x2 , y2 )( x1 ? x2 ),则直线l的斜率为
由直线点斜式方程得:

y2 ? y1 k? x2 ? x1


y1 ? y2 时,方程可以写成

y2 ? y1 y ? y1 ? ( x ? x1 ) x2 ? x1
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

这个方程是由直线上两点确定的。

方程

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

叫做直线的两点式方程。

问 点斜式方程能不能表示平面内所有的直线? 答 不能。从代数式的表达意义上讲“两点式” x1 ? x2 y且 方程使用的前提是“ ”。 1 ? y2 它不能表示倾斜角为 和 的直线,即 90 ? 0? 当直线与x轴,y轴不平行时,可以用两点式 表示。

例1: 已知一直线经过两点 A(a,0), B(0, b). 其中 求这条直线的方程。 解:由直线的两点式方程,得 y?0 x?a ? b?0 0?a x y ? ?1 即 a b

a ?b ? 0

.

其中b为直线在y轴上的截距,a为直线在x轴上的截距。 这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定,所以这 个方程也叫做直线的截距式方程。

例2 : 已知三角形的顶点是 A(?5,0), B(3, ?3), C (0, 2) 试求这个三角形三边所在直线的方程。

C (0, 2)

A(?5,0)

B(3, ?3)

例3 : 求过点 (3, ?4) 且在坐标轴上的截距相等的直线的方程。

问题二
以上我们介绍了直线方程的几种特殊形式,它们都是关于 x和y的二元一次方程,那么,关于x和y的二元一次方程 Ax+By+C=0(A,B不全为0)都表示直线吗? (1 ) 当

B?0

时,方程Ax+By+C=0可以写成

A C ,在轴上截距为 的直线;特别地, ? B 当A=0时,它表示垂直于轴的直线。 B

A C y ?? x? B B

它表示斜率为 ?

(2)当

C x?? A 它表示垂直于轴的直线。

B?0

时,由

A ? 0 ,方程Ax+By+C=0可以写成

因此,在平面直角坐标系中,任何一个关于x,y的二 元一次方程 Ax+By+C=0(A,B不全为0)都表示一条直 线。

方程

Ax+By+C=0(A,B不全为0)
叫做直线的一般式方程。

例4:
求直线3X+5Y-15=0的斜率以及它在坐标轴上的截距,并作图。

例5: 设直线l的方程为:

(m ? 2m ? 3) x ? (2m ? m ?1) y ? 2m ? 6 ? 0(m ? ?1)
2 2

根据下列条件分别确定m的值: (1)直线l在x轴上的截距是-3; (2 ) 直线l的斜率是1。

例6:
4 已知直线经过A(6,4),斜率为 ? ,求直线方程 3 的点斜式,一般式,截距式。

回顾反思: (1)在熟记的基础上灵活运用所有直线方程的表达 形式。 (2)注意点斜式,斜截式,两点式,截距式方程的适用范 围。

(3)直角坐标系是把直线和方程联系起来的桥梁,一个 二元一次方程就是直角坐标系上的一条确定的直线。

作业:

P79-80 习题2.1(1) 3,6,7,8。


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