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天津市大学生数学竞赛辅导资料(一元函数及极限,导数与微分)


辅导培训课
第一节:一元函数及极限,导数与微分

关于竞赛学习流程的建议: (1)课本例题、书后题完整做过 一遍;尤其是每章的综合练习. (2)加强练习,提高做题的速度 和准确率; (3)有一本辅导书,多做、多想、 多总结,忌讳只看不算.

考试日期:5月25日 考试时间:150分钟 共六大张,12小页,十二题 一、填空(5*3); 二、选择(5*3); 证明(4题 微分、积分) 计算(6题)

24% 考试内容: 极限、函数、连续; 一元函数微积分; 51% 多元函数微积分; 25%

24% 函数、极限、连续 16% 一元函数微分 一元函数积分 一元函数微积分 的证明

一元函数微积分

扎实基本概念、提高运算速度

一、典型题型、典型思路

一、函数、极限、连续

24%

典型题型1:求一元函数定义域,表达式, 2004年一(1) 函数值问题.



? x ?1 f ( x )的定义域要求 ? ? ?1 ? x ? 1 ?1 ? x ?1 ? x ? 0 ?

? ?1 ? x 1 ? ? f ( ) ? f ( )的定义域要求 ? ? 2 x ? ?1 ? ? ? 即x ? ( ?2, ?1) ? (1,2)

x ?1 2 1 ?1 x



2005年 四

?

x? f ( x ) x

g( t ? x )dt ?

u? t ? x

?

f ( x)

0

g( u)du

??

f ( x)

0

g( u)du ? x ln(1 ? x )
2

两边求导得: 2 x g[ f ( x )] ? f ?( x ) ? 2 x ln(1 ? x ) ? 1? x

x x ? f ?( x ) ? 2 x ln(1 ? x ) ? 1? x x f ?( x ) ? 2ln(1 ? x ) ? 1? x x f ( x ) ? ? [2ln(1 ? x ) ? ]dx 1? x x ? 2? ln(1 ? x )dx ? ? dx 1? x
x ? 2 x ln(1 ? x ) ? 2 ? xd ln(1 ? x ) ? ? dx 1? x x ? 2 x ln(1 ? x ) ? ? dx 1? x

2

f ( x ) ? 2 x ln(1 ? x ) ? x ? ln 1 ? x ? C

解 ?1 ? x ? 0时, 1 1 f ( x ) ? f ( x ? 1) ? ( x ? 1)(1 ? ( x ? 1)2 ) a a 1 ? ? x( x ? 1)( x ? 2) a 2 f ( x ) ? f (0) x(1 ? x ) f ?? (0) ? lim ? lim ?1 ? ? x ?0 x ?0 x x

2007年 六

1 ? x( x ? 1)( x ? 2) f ( x ) ? f (0) f ??(0) ? lim? ? lim? a x ?0 x ?0 x x
2 ?? a ? a ? ?2时,f ( x )在x ? 0可导,导数值为1.

典型题型2:判别函数的奇偶性. 2007年 二、6

(C )? f ( t )dt ( D )? f ( t )dt 0 0 偶函数 u?? t x 解 ( A) ? x t[ f (t ) ? f ( ? t )]dt ? u[ f ( ? u) ? f ( u)]du ? ?
2 x 2
0
0

6.设函数f ( x )连续,则下列函数中,必为偶 函数的是( A ) x x ( A)? t[ f ( t ) ? f ( ? t )]dt ( B ) ? [ f ( t ) ? f ( ? t )]dt
0x 0

( B )? [ f ( t ) ? f ( ? t )]dt ? ? 0
(C )?
?x 2

?x

u?? t

0

f (t )dt ? ? ? f ( u2 )du
x

u?? t

?

x

0

[ f ( ? u) ? f ( u)]du
奇函数

奇函数

( D)?

?x

0

f (t )dt ? ?
2

u?? t

0

?

x

0

f ( ? u)du
2

非奇非 偶函数

典型题型3:函数的连续性问题. 注意:分段函数连续的定义和间断点的分类

f ( x )在x ? x0连续 ? lim f ( x ) ? f ( x0 )
f ?( x )在x ? x0连续 ? lim f ?( x ) ? f ?( x0 ) x ? x0 lim? f ( x ) ? lim? f ( x ) 跳跃 x? x0 x ? x0 第一类 间断点 可去 lim f ( x ) ? f ( x0 ) x? x 无穷 lim f ( x ) ? ? x? x 第二类 振荡极限振荡不存在
0

x ? x0

? 0

2004年一(2)

解 a ? lim f ( x ) ? lim(cos x ) x 2
x ?0

1

x ?0

? lim[(1 ? (cos x ? 1))
x ?0

cos x ?1 1 cos x ?1 x2

]

?e

1 2 ? x lim 2 2 x ?0 x

?e

1 ? 2

2006年一、1

1 2 ? x 2 解 1? 1? x 2 ? lim x a ? lim x x ?0 ( e ? 1) ? (1 ? cos x ) x ?0 e ? cos x 1 ? x 2 ? lim x ?0 x ?0 e ? 1 1 ? cos x ? x x

C
2009年二、6

x x ? lim ? ?1 解 lim f ( x ) ? lim x ?0 x ? 0 ln 1 ? x x ?0 ln(1 ? x ) x lim f ( x ) ? lim ?0 x ?1 x ?1 ln 1 ? x

2008年 三

1 ? ax 解 b ? lim 1 ? ax ? 1 ? lim 2 ? ? 1 a x ? 0? x ? 0? x x 2 1 ? ? a ? b ? lim arctan ? ? a ? ? ,b ? ? ? x ?1 x ?1 2 2

2008年 六

解 ? ( x) ? ?

sin x

0

f ( tx )dt ?
2

u? tx 2

?

x 2 sin x

0

u f ( u)d 2 x
x 2 sin x 0

1 x 2 sin x ? 2? f ( u)du x 0
2

? ?( x ) ?

f ( x sin x ) ? (2 x sin x ? x cos x ) ? ?
2

f ( u)du ? 2 x

?

f ( x sin x ) ? (2sin x ? x cos x ) ? 2 ?
2

x

4

x 2 sin x 0

f ( u)du

x

3

1 x 2 sin x f ( u)du 2 ?0 ? ( x ) ? ? (0) x ? ?(0) ? lim ? lim x ?0 x x ?0 x

f ( x sin x ) ? (2 x sin x ? x cos x ) ? lim 2 3 x ?0 x ?0 3x x 2sin x 1 2 ? lim f ( x sin x ) ? ( ? cos x ) ? f (0) ? 2 x ?0 3x 3
0

? ? lim

x 2 sin x

f ( u)du

2

2

2009年 三

ax 解 lim f ( x ) ? lim ln(1 ? ax ) ? lim x ?0? x ? arcsin x x ? 0? x ?0? x ? arcsin x 2 2 2 2 3ax 3ax 3ax 1 ? x ? lim? ? lim? ? lim? ? ?6a 1 x ?0 2 x ?0 1 ? x ? 1 x ?0 ? 1 x 2 1? 2 2 1? x
3

3

e ? x ? ax ? 1 e ? x ? ax ? 1 lim? f ( x ) ? lim? ? lim? 2 x x ?0 x ?0 x ?0 x x sin 4
ax 2

ax

2

2 ax ae ? 2 x ? a a e ?2 2 ? lim? ? lim? ? 2a ? 4 x x ?0 1 x ?0 2 2 2 ? 2a ? 4 ? ?6a时,即a ? ?1或a ? ?2时, f ( x )存在 lim ax
x ?0

4

a ? ?1时, f ( x ) ? 6 ? f (0),函数f ( x )在x ? 0连续 lim
x ?0

a ? ?2时, f ( x ) ? 12 ? f (0), x ? 0是函数f ( x ) lim
x ?0

为第一类可去间断点。

2009年 七



? F ( x) ? f ( x) ? F ( x)
x ?0

? F ( x )在x ? 0连续,则lim F ( x ) ? F (0) ? 0

? lim F ( x ) ? 0 ? lim f ( x ) ? 0
x ?0
x ?0

而 f (0) ? F (0) =0, 则f (0) ? 0,

? lim f ( x ) ? 0 ? f (0)
x ?0

典型题型3:无穷小量阶的比较. 熟练运用等价无穷小代换

x ? 0时,
x ? sin x ? tan x ? e ? 1 ? ln(1 ? x ) ? arcsin x ? arctan x
x

1 2 x 1 1 ? cos x ? x , a ? 1 ? x ln a,(1 ? x ) ? 1 ? x 2 n
1 2 如: ln(cos x ) ? ln(1 ? cos x ? 1) ? cos x ? 1 ? ? x 2

1 n

2007年一、1

解 f ( x) ? ?

sin x

0

sin(at )dt
sin x

2

g( x ) ? x ? x ? x
3 4
2

3

f ( x) ?0 sin(at )dt 1 ? lim 3 ? lim 3 x ?0 x x ?0 x 2 2 ax ? a sin(a sin x ) ? cos x ? lim 2 ? lim 2 x ?0 3 x x ?0 3 3x

?a ? 3


2 2

2008年二、6

1 2 2 1 4 ( 1 ? x ? 1) ? ln(1 ? x ) ? ? x ? x ? ? x 2 2 n n ln(1 ? x ) ? x 1 2 lncos x ? ln(1 ? cos x ? 1) ? cos x ? 1 ? ? x 2

?n ? 3

典型题型4:求数列、函数的极限. 熟练运用极限的存在准则、洛必达法则、 泰勒展示求极限(活用等价无穷小代换) 常用的极限 lim n a ? 1,(lim n n ? 1)
n?? n??

当x ? ??时,趋于 ? ?的速度 ? x x ln x, x (? ? 0), a (a ? 1), x 由慢到快

2004年二、1

1 f ( x )tan x 1 ? f ( x )tan x ? 1 解 3 ? lim 2 ? lim 2x x ?0 e ?1 x ?0 2x

1 ? lim f ( x ) 4 x ?0

1、 lim

4x ? x ? 1 ? x ? 1
2

x ???

x ? sin x
2

? ___

2005年一、1

1 1 1 4? ? 2 ?1? x x x ? 4 ?1 ? 3 解 原式 ? lim x ??? 1 sin x 1? 2 x

2010年 一、1

1 1 1 解 xn ? 1 ? ? ? ? ? 2 3 1? 2 ??? n 1 1 2 ? ? [1 ? ? ? ? ] 2 3 (1 ? n)n 1 1 1 1 1 1 ? ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 2 2 3 n n?1
1 1 1 5 ? ? 2(1 ? ) ? ?2? 2 n?1 2 2

2009年一、1

解 原式 ? lim e
n??

1 i ln(1? ) n i ?1 n

?

n

?0 ln(1? x )dx ? e 2ln2 ? 4 ?e
?

1

?0 ln(1? x )dx ? x ln(1 ? x )
1

1

1 0

?0 xd ln(1? x )

1

x 1 ? ln 2 ? ? dx ? ln 2 ? ln 1 ? x 0 ? 2ln 2 0 1? x

A
2008年 二、9

1 i? 解 原式 ? lim ? 1 ? cos n?? n n i ?1
n

1 ? n i? ? lim ? 1 ? cos ? n?? n i ?1 n

1 ? ? ? 1 ? cos xdx ? 0

2010年二、3 3. 下列命题: (1)设 lim un ? a ,lim vn ? b, 且a ? b, 则必有 n ?? n?? n 1 un ? , vn ? un ? vn (n ? 1,2,?). 1? n 2 (2)设un ? vn ( n ? 1, 2,?),且 lim un ? a ,lim vn ? b, n ?? n?? 1 1 则必有a ? b. un ? , vn ? n 2n (3)设un ? xn ? vn ( n ? 1, 2,?),且 lim ? un ? vn ? ? 0, n?? 1 则 lim xn 必存在. n? n? n? n ?? n 正确的个数为( A)

( A)0个; ( B)1个; (C )2个; ( D)3个.

f ( x) 解 原式 ? lim[ ] x ? 0 f (0)

x?

1 n

1 x

2008年一、1

f ( x ) ? f (0) ? lim[(1 ? ) x ?0 f (0)

f (0) f ( x )? f (0) f ( x )? f (0) xf (0)

]

?e

f ( x )? f (0) lim x?0 xf (0)

?e

f ? (0) f (0)

?1


1 t? n

2009年 四

e
1 t

?1

(1 ? t ) lim xn ? lim n ?? t ?0 t

? lim
t ?0

e ? (1 ? t ) t ? (1 ? t )

1 t

1 t

e 1? e ? ? lim e t ?0 t

ln(1? t ) ? t t

ln(1 ? t ) ? t ? e t ? ? lim e t ?0 t

1 1? t ? ln(1 ? t ) ? lim ? lim 1 ? t t ?0 t2 t ?0 2t 1 t ? ? lim t ?0 2t (1 ? t ) 2

2010年 三



1 1 1 t 1 原式 ? lim[( 3 ? 2 ? )e ? 1 ? 6 ] t ?0 t t 2t t
2 t 6

t?

1 n

(2 ? 2t ? t )e ? 2 1 ? t ? lim 3 t ?0 2t
2 t

(2 ? 2t ? t )e ? ( ?2 ? 2t )e ?
t

6t 5 1? t
6

? lim
t ?0

6t

2

t 2e t ? ? lim
t ?0

6t 5 1 ? t 6 ? lim 2
t ?0

et ?

6t 3 1? t6 ? 1 6 6

6t

2006年 三

f ( x) f ( x) 解 lim[1 ? ] ? lim[(1 ? ) x ?0 x ?0 x x
?e
lim f ( x) x2
x ?0

1 x

x f ( x) f ( x ) x2

]

?e

f ?( x ) lim x ?0 2 x

?e

f ?? ( x ) lim x ?0 2

?e

f ?? (0) 2

?e

2

2004年三

f ( x) f ( x) 解 e ? lim(1 ? x ? ?0 ) ? lim x?0 x ?0 x x
3

1 x

? f (0) ? f ?(0) ? 0

f ( x) e ? lim(1 ? x ? ) x ?0 x
3
2

1 x

x ? f ( x ) x2 ? f ( x ) ? lim[(1 ? ) ] x ?0 x

x

x2 ? f ( x ) x2

f ( x) f ?( x ) f ??(0) ? ? 2 ? lim ? lim 2 x ?0 x?0 2 x 2x ? f ??(0) ? 4

?e

lim

x2 ? f ( x ) x
2

x?0

?e

lim (1?
x ?0

f ( x) x
2

)

f ( x) f ( x) ? lim(1 ? ) ? lim[(1 ? ) x ?0 x ?0 x x
?e
lim f ( x) x2
x ?0

1 x

x f ( x) f ( x ) x2

]

?e

2

2 ? 2 xn?1 xn?1 证 xn ? ? 1? ?1 ? xn ? 2 2 ? xn?1 2 ? xn?1 xn xn?1 ? 2( xn ? xn?1 ) xn?1 ? xn ? ? 2 ? xn 2 ? xn?1 (2 ? xn )(2 ? xn?1 ) xn ? 1 ? xn xn ? 1 ? x n 2 ? ?0 = xn ? xn ?1 xn ? xn?1 (2 ? xn )(2 ? xn?1 )

2004年 十一

? { xn }为单调有界数列,极限存在.设 lim xn ? A.
n ??

2 ? 2A 代入递推式得:A ? 2? A

? A ? 2 (? 2舍去)
即lim xn = 2.
n ??

2009年 五

解 f ?( x) ? n(1 ? x)n ? nx ? n(1 ? x)n?1 ? (?1)
? n(1 ? x)n?1 (1 ? x ? nx) ? 0 1 f (0) ? 0, f (1) ? 0 x1 ? 1, x2 ? n?1 1 n n?1 f( )?( ) ? M ( n) n?1 n?1

n n?1 ?1 lim M ( n) ? lim( ) ? lim[(1 ? ) n?? n?? n ? 1 n?? n?1

n?1 ?1 ?1

] ?1 e

证 n ? 2时, an?1 = an ? 12 ? 12 2 2 an?1 ? an ? an ? 12 ? (an?1 ? 12) ? an ? an?1
an ? 1 ? an 1 ? ?0 an ? an ? 1 a n ? 1 ? a n

2010年 七

?{an }为单调有界数列.

a2 ? a1 ? a1 ? 12 ? a1 ? ?
a a1 ? 0时,2 ? a1

(a1 ? 3)(a1 ? 4) a1 ? 12 ? a1

(1)如果a1 ? 4, 则 a2 ? a1 ? 0 ? an?1 ? an ? 0, {an }为单调减的数列. 又an ? 12(n ? 2时),
此时极限存在.

(2)如果a1 ? 4,则 a2 ? a1 ? 0 ? an?1 ? an ? 0, {an }为单调增的数列.a2 = a1 ? 12 ? 4,

a3 = a2 ? 12 ? 4, an?1 = an ? 12 ? 4,此时极限存在. (3)如果a1 ? 4,则 an ? 4, 此时极限存在. 综上,极限存在.设 lim an ? A.
n ??

代入递推式得:A ? A ? 12
? A ? 4 (?3舍去), 即lim an =4.
n ??

二、一元函数微分

16%

典型题型1:导数、微分的定义

A
2004年二(2)

A
2006年 二、1

A

2006年 二、2

A
2005年二(6)

C
2008年 二、8
x t ? ?1 e dt , x ? 0 x ? F ( x ) ? ? f ( t )dt ? ? 0 x 1 t ? ? e dt ? ? tdt , x ? 0 0 ?1 x ? e ? e, x ? 0 ? lim F ( x ) ? 1 ? e 2 x ?0 ?? x ?1 ? e ? , x ? 0 2 ?

e ? e ?1? e F ( x ) ? F (0) ? lim? F?? (0) ? lim? ?1 x ?0 x ?0 x x 2 x 1? e ? ?1? e F ( x ) ? F (0) 2 F??(0) ? lim? ? lim? x ?0 x x ?0 x 2 x 2 ?0 ? lim? x ?0 x
x

C
f (0) ? 0

2010年 二、1

x ?0

x 1 ? cos x 2 ?0 lim? f ( x ) ? lim? ? lim? x ?0 x ?0 x ?0 x x lim? f ( x ) ? lim? xg( x ) ? 0 ? lim f ( x ) ? 0 ? f (0)
x ?0
x ?0

2

x f ( x ) ? f (0) 1 ? cos x 2 ?1 f ?? (0) ? lim? ? lim? ? lim? 2 2 x ?0 x ?0 x ?0 x x x 2 f ( x ) ? f (0) xg( x ) g( x ) f ??(0) ? lim? ? lim? 2 ? lim? x ?0 x ?0 x ?0 x x x

2

2007年 十一



f ( x ? 1) ? f ( x ) ? f (1) ? f (1) ? 0

?x f ( x ? (1 ? )) ? f ( x ) f ( x ? ?x ) ? f ( x ) x f ?( x ) ? lim ? lim ?x ? 0 ?x ?0 ?x ?x ?x f ( x ) ? f (1 ? ) ? f ( x ) x ? lim ?x ?0 ?x

?x f (1 ? ) ? f (1) x ? lim ? x ? f ?(1) ? x ? a ? x ?x ? 0 ?x x

典型题型2:求切线、法线

2004年一(2)

1 y 2 2 解 ln( x ? y ) ? arctan 2 x 1 2 x ? 2 y ? y? 1 y? ? x ? y ? 2 2 ? ? 2 y 2 2 x ?y x 1? ( ) x 1 ? 2 ? y? (1,0) y ? ?( x ? 1) 2

2004年一(3)



dy dx

t ?0

dy ? dt dx dt

t ?0

?(e 3t ? 1) ? 3e 3t f ? f ?(t )

t ?0

?3

2010年 一、2

解 f ?( x) ? 6 x5 ? 4bx 3 ? 2cx

f ??( x) ? 30 x ? 12bx ? 2c
4 2

f ?(1) ? 6 ? 4b ? 2c ? 0 ? ? b ? ?3 ? ? ? f ??(1) ? 30 ? 12b ? 2c ? 0 ? c ? 3 ?

f (1) ? 1

D
2012年 二、4

解 f (4) ? f (1) ? 1
f ? ? 1 ? x ? f ?(1) ?1 ? lim ? x ?0 2 2

? f ?(1) ? ?2

f (1 ? x ) ? f (1) f (4 ? x ) ? f (4) ? lim f ?(4) ? lim x?0 x ?0 x x
? f ?(1) ? ?2

y ? 1 ? ?2( x ? 4)
?2x ? y ? 9 ? 0

2007年 一、4



x ? y ?e
2 2

y arctan x

1 y 2 2 ln( x ? y ) ? arctan 2 x

y? ? x ? y ? 2 y 2 x 1? ( ) ? x ? x ? y ? y? y? ? x ? y e 2 ? y? ? ? 2 2 ?e 2 (0,e 2 ) 2 2 x ?y x ?y ? ? ? e e 1

1 2 x ? 2 y ? y? ? 2 2 ? 2 x ?y

y?

? (0,e 2

? ?1
)

切线方程为y ? e ? ? x

? 2

即y ? e ? x

? 2

解 y? ? e

? (arctan x )

2

?切线方程为y ? x 2 f ( ) ? f (0) 2 lim nf ( ) ? lim n ? 2 ? 2 f ?(0) ? 2 n?? 2 n n?? n

1 ? 2 1? x

2007年 三

y?

(0,0)

?1

典型题型3:求各类一阶导数

2005年一(3)



?

x

0

tf ( x ? t )dt
2 2
x2

u? x 2 ? t 2

1 ? ? f ( u)du 2 0 d x 1 x2 2 2 tf ( x ? t )dt ? [ ? f ( u)du]? ?0 dx 2 0 1 2 2 ? f ( x ) ? 2 x ? xf ( x ) 2

1 0 ? ? ? 2 f ( u)du 2 x

D
2010年 二、2



?

x

0

1 0 2 t f ( x ? t )dt ? ? ? 2 ( x ? u) f (u)du 2 x
3 2 2

u? x 2 ? t 2

x2 1 2 x2 ? [ x ? f ( u)du ? ? uf ( u)du] 0 0 2

d x 2 2 ?0 tf ( x ? t )dt dx

1 2 2 2 2 ? [2 x ? f ( u)du ? x ? f ( x ) ? 2 x ? x ? f ( x ) ? 2 x ] 0 2
x2

? x ? f ( u)du
0

x2

典型题型4:求高阶导数

2005年 三

dy cos t a cos t dy dt 解 ? ? ? dx dx a( 1 ? sec2 t ? 1 ? sin t ) csc t ? sin t t 2 2 dt tan 2 cos t ? sin t ? tan t ? 2 cos t

d dy 2 2 ( ) 2 sec t sec t ? sin t sin t d y dt dx ? ? ? ? 4 2 2 dx csc t ? sin t 1 ? sin t cos t dx dt

2006年 四



dy e 2 ? e dy dt t ? ? ? t 2t dx dx 4t dt

1? 2ln t

d dy e ( ) ? 2 2 d y dt dx 2t ? ? e ? ? 2 3 dx dx 8t 4t dt

2007年 五

(0) ? ( x sin2 x) 2 ( n) 1 2 ( n?1) 2 2 ( n? 2) ? x (sin2 x) ? Cn ( x )?(sin2 x) ? Cn ( x )??(sin2 x) n n?1 2 n n ?1 ? x ? sin(2 x ? ? ) ? 2 ? n ? 2 x ? sin(2 x ? ? )? 2 2 2 n( n ? 1) n?2 n? 2 ? ? 2 ? sin(2 x ? ? )? 2 2 2 n? ( n) n? 2 f (0) ? ? n( n ? 1) ? 2 sin 2
解 f
( n) 2 ( n)

2004年 五

解 f
2

(100)

(0) ? ( x ln(1 ? x))
2
(100) 1 100 (98)

(100)
2

?(ln(1 ? x ))(99) ? x (ln(1 ? x )) ? C ( x ) 2 2 ?C100 ( x )??(ln(1 ? x ))
(?1) ? 99! (?1) ? 98! 100 ? 99 ( ?1) ? 97! ?x ? ? 100 ? 2 x ? ? ? 2? 100 99 (1 ? x ) (1 ? x ) 2 (1 ? x )98
99 98 97 2

100! f (0) ? ? 98
( n)

2009年 一、2



? x ,x?0 f ( x) ? ? 5 ?? x , x ? 0
5

n?4

1 ?(1 ? x ) ? (1 ? x ) 解 f ?( x ) ? ? 2 1? x 2 (1 ? x ) 1? ( ) 1? x 2 1 ?? ?? 2 2 2 (1 ? x ) ? (1 ? x ) 1? x

2010年 四

2x f ??( x ) ? , 2 2 (1 ? x )

2(1 ? 3 x ) f ???( x ) ? 2 3 (1 ? x )
2

典型题型5:判断、证明根的存在性问题.
结合函数的单调性、极值;确定函数的根

2004年 七

D

2007年 二、2


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