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重庆市合川区土场中学2015-2016学年八年级数学12月上学期月考试题(含解析) 新人教版


重庆市合川区土场中学 2015-2016 学年八年级数学 12 月上学期月考 试题
一、选择题(每小题 4 分,共 48 分) 4 1.计算下列各式结果等于 x 的是( ) 2 2 2 2 3 4 A.x +x B.x ?x C.x +x D.x ?x 2.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是(



A.

B.

C.

D.

3.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的 玻璃,那么最省事的办法是( )

A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去 4.下面是某同学在一次检测中的计算摘录: 3 2 5 3 2 3 2 5 3 2 ①3x ?(﹣2x )=﹣6x ②4a b÷(﹣2a b)=﹣2a ③(a ) =a ④(﹣a) ÷(﹣a)=﹣a 其中正确的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5.下列计算正确的是( ) 2 2 2 2 2 2 A. (a+b) =a +b B. (a﹣b) =a ﹣2ab﹣b 2 2 2 2 2 C. (a+2b) (a﹣2b)=a ﹣2b D. (b﹣a) =b ﹣2ab+a 6.如图,△ABC 中,AB+BC=10,AC 的垂直平分线分别交 AB、AC 于点 D 和 E,则△BCD 的周 长是( )

A.6 B.8 C.10 D.无法确定 7.如图,∠A=15°,AB=BC=CD=DE=EF,则∠DEF 等于(



A.90° B.75° C.70° D.60° 2 2 8.已知 x+y=﹣5,xy=3,则 x +y =( ) A.25 B.﹣25 C.19 D.﹣19 2 9.若 x +(m﹣3)x+16 是完全平方式,则 m 的值是( A.11 B.﹣5 C.±8 D.11 或﹣5



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10.如图,AB∥CD,点 P 到 AB、BC、CD 距离都相等,则∠P=(



A.120° B.90° C.75° D.60° 11.如图,△ABC 中,AB=AC,BD=CE,CD=BF,若∠A=50°,则∠EDF=(



A.80° B.65° C.50° D.20° 12.如图,△ABC 中,∠BAC=60°,∠BAC 的平分线 AD 与边 BC 的垂直平分线 MD 相交于 D, DE⊥AB 交 AB 的延长线于 E,DF⊥AC 于 F,现有下列结论: ①DE=DF;②DE+DF=AD;③DM 平分∠ADF;④AB+AC=2AE;其中正确的有( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 13.如图,在△ABC 中,若 AB=AC、AD⊥BC、BC=6、∠BAC=80°,则∠BAD= BD= .



14.分解因式:m ﹣4m= . 15.如图为 6 个边长等的正方形的组合图形,则∠1+∠2+∠3=

2

°.

2

16. 如图, 已知等边△ABC 中, BD=CE, AD 与 BE 相交于点 P, 则∠APE 的度数是

度.

17.已知 a+b=2,ab=﹣3,则 a +3ab+b 的值为 . 18.如图,在等腰△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC 于点 D,点 P 是 BA 延长线上一 点,点 O 是线段 AD 上一点,OP=OC,若 BC=2 ,AD=1,则 S 四边形 AOCP= .

2

2

三、解答题: (本大题 5 个小题,共 34 分)解答时每小题需给出必要的演算过程或推理步 骤. 19.计算: 3 2 2 (1) (x y) ?2xy (2) (3x+2y) (3x﹣2y)﹣(x﹣y) (3x+4y) 20.分解因式: 2 2 ①2ax ﹣2ay ②3x(a﹣b)﹣2y(b﹣a) m n 2m+3n 21.已知 a =2,a =3,求 a 的值. 22.化简、求值: (2x﹣y) (2x﹣y)﹣(3x+y) (3x﹣y)+5x(x﹣y) ,x=﹣ ,y=﹣2. 23.已知:如图,点 A,D,C 在同一直线上,AB∥EC,AC=CE,∠B=∠EDC. 求证:BC=DE.

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四、解答题: (本大题 2 个小题,每小题 10 分,共 20 分) 24.如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,E 为 CD 的中点,连接 AE、BE,BE⊥AE,延长 AE 交 BC 的延长线于点 F.求证: (1)FC=AD; (2)AB=BC+AD.

25.如图,已知△ABC 中,CD 为∠ACB 的平分线,AE∥CD 交 BC 的延长线于 E,EF⊥AE 交 AC 的延长线于 F. (1)求证:AC=CE; (2)若 AC=5,求 AF.

五、解答题: (本大题 2 个小题,每小题 12 分,共 24 分) 26.观察下列式子的因式分解做法: ① ②x ﹣1 3 =x ﹣x+x﹣1 2 =x(x ﹣1)+x﹣1 =x(x﹣1) (x+1)+(x﹣1) =(x﹣1)[x(x+1)+1] 2 =(x﹣1) (x +x+1) 4 ③x ﹣1 4 =x ﹣x+x﹣1 3 =x(x ﹣1)+x﹣1 2 =x(x﹣1) (x +x+1)+(x﹣1) 2 =(x﹣1)[x(x +x+1)+1] 3 2 =(x﹣1) (x +x +x+1) ?
3

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(1)模仿以上做法,尝试对 x ﹣1 进行因式分解; n (2)观察以上结果,猜想 x ﹣1= ; (n 为正整数,直接写结果,不用验证) 5 4 3 2 (3)根据以上结论,试求 4 +4 +4 +4 +4+1 的值. 27.如图 1,△ABC 是等边三角形,点 E 在 AC 边上,点 D 是 BC 边上的一个动点,以 DE 为边 作等边△DEF,连接 CF. (1)当点 D 与点 B 重合时,如图 2,求证:CE+CF=CD; (2)当点 D 运动到如图 3 的位置时,猜想 CE、CF、CD 之间的等量关系,并说明理由; (3)只将条件“点 D 是 BC 边上的一个动点”改为“点 D 是 BC 延长线上的一个动点”,如 图 4,猜想 CE、CF、CD 之间的等量关系为 (不必证明) .

5

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2015-2016 学年重庆市合川区土场中学八年级(上)月考数学试卷(12 月份) 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题 4 分,共 48 分) 4 1.计算下列各式结果等于 x 的是( ) 2 2 2 2 3 4 A.x +x B.x ?x C.x +x D.x ?x 【考点】同底数幂的乘法;合并同类项. 【分析】根据同底数幂的乘法的性质,合并同类项的法则,对各选项分析判断后利用排除法 求解. 【解答】解:A、合并同类项系数相加字母及指数不变,故 A 错误; B、同底数幂的乘法底数不变指数相加,故 B 正确; C、不同同类项不能合并,故 C 错误; D、同底数幂的乘法底数不变指数相加,故 D 错误; 故选:B. 2.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合, 这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴. 【解答】解:A、是轴对称图形,故 A 符合题意; B、不是轴对称图形,故 B 不符合题意; C、不是轴对称图形,故 C 不符合题意; D、不是轴对称图形,故 D 不符合题意. 故选:A. 3.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的 玻璃,那么最省事的办法是( )

A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去 【考点】全等三角形的应用. 【分析】此题可以采用全等三角形的判定方法以及排除法进行分析,从而确定最后的答案. 【解答】解:A、带①去,仅保留了原三角形的一个角和部分边,不能得到与原来一样的三 角形,故 A 选项错误; B、带②去,仅保留了原三角形的一部分边,也是不能得到与原来一样的三角形,故 B 选项 错误; C、带③去,不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边,符合 ASA 判定,故 C 选项

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正确; D、带①和②去,仅保留了原三角形的一个角和部分边,同样不能得到与原来一样的三角形, 故 D 选项错误. 故选:C. 4.下面是某同学在一次检测中的计算摘录: 3 2 5 3 2 3 2 5 3 2 ①3x ?(﹣2x )=﹣6x ②4a b÷(﹣2a b)=﹣2a ③(a ) =a ④(﹣a) ÷(﹣a)=﹣a 其中正确的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】单项式乘单项式;幂的乘方与积的乘方;同底数幂的除法;整式的除法. 【分析】根据单项式乘单项式的法则,单项式除单项式的法则,幂的乘方的性质,同底数幂 的除法的性质,对各选项计算后利用排除法求解. 3 2 5 【解答】解:①3x ?(﹣2x )=﹣6x ,正确; 3 2 ②4a b÷(﹣2a b)=﹣2a,正确; 3 2 6 ③应为(a ) =a ,故本选项错误; 3 2 2 ④应为(﹣a) ÷(﹣a)=(﹣a) =a ,故本选项错误. 所以①②两项正确. 故选 B. 5.下列计算正确的是( ) 2 2 2 2 2 2 A. (a+b) =a +b B. (a﹣b) =a ﹣2ab﹣b 2 2 2 2 2 C. (a+2b) (a﹣2b)=a ﹣2b D. (b﹣a) =b ﹣2ab+a 【考点】完全平方公式;平方差公式. 【分析】各项利用完全平方公式判断即可. 2 2 2 【解答】解:A、 (a+b) =a +b +2ab,错误; 2 2 2 B、 (a﹣b) =a +b ﹣2ab,错误; 2 2 C、 (a+2b) (a﹣2b)=a ﹣4b ,错误, 2 2 2 D、 (b﹣a) =b ﹣2ab+a ,正确, 故选 D 6.如图,△ABC 中,AB+BC=10,AC 的垂直平分线分别交 AB、AC 于点 D 和 E,则△BCD 的周 长是( )

A.6 B.8 C.10 D.无法确定 【考点】等腰三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质. 【分析】垂直平分线可确定两条边相等,然后再利用线段之间的转化进行求解. 【解答】解:∵DE 是 AC 的垂直平分线,∴AD=DC, △BCD 的周长=BC+BD+DC=BC+BD+AD=10 故选 C.

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7.如图,∠A=15°,AB=BC=CD=DE=EF,则∠DEF 等于(



A.90° B.75° C.70° D.60° 【考点】等腰三角形的性质;三角形内角和定理;三角形的外角性质. 【分析】 根据已知条件, 利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算. 【解答】解:∵AB=BC=CD=DE=EF,∠A=15°, ∴∠BCA=∠A=15°, ∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°, ∴∠BCD=180°﹣(∠CBD+∠BDC)=180°﹣60°=120°, ∴∠ECD=∠CED=180°﹣∠BCD﹣∠BCA=180°﹣120°﹣15°=45°, ∴∠CDE=180°﹣(∠ECD+∠CED)=180°﹣90°=90°, ∴∠EDF=∠EFD=180°﹣∠CDE﹣∠BDC=180°﹣90°﹣30°=60°, ∴∠DEF=180°﹣(∠EDF+∠EFC)=180°﹣120°=60°. 故选 D. 8.已知 x+y=﹣5,xy=3,则 x +y =( ) A.25 B.﹣25 C.19 D.﹣19 【考点】完全平方公式. 2 2 【分析】把 x +y 利用完全平方公式变形后,代入 x+y=﹣5,xy=3 求值. 【解答】解:∵x+y=﹣5,xy=3, 2 2 2 ∴x +y =(x+y) ﹣2xy=25﹣6=19. 故选:C. 9.若 x +(m﹣3)x+16 是完全平方式,则 m 的值是( ) A.11 B.﹣5 C.±8 D.11 或﹣5 【考点】完全平方式. 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出 m 的值. 2 【解答】解:∵x +(m﹣3)x+16 是完全平方式, ∴m﹣3=±8, 解得:m=11 或﹣5, 故选 D 10.如图,AB∥CD,点 P 到 AB、BC、CD 距离都相等,则∠P=( )
2 2 2

A.120° B.90° C.75° D.60° 【考点】角平分线的性质;平行线的性质. 【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得 BP、CP 分别是∠ABC 和∠BCD

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的平分线,再根据两直线平行,同旁内角互补和角平分线的定义解答即可. 【解答】解:∵点 P 到 AB、BC、CD 距离都相等, ∴BP、CP 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线, ∴∠CBP= ∠ABC,∠BCP= ∠BCD, ∴∠CBP+∠BCP= (∠ABC+∠BCD) , ∵AB∥CD, ∴∠ABC+∠BCD=180°, ∴∠CBP+∠BCP= ×180°=90°, ∴∠P=180°﹣(∠CBP+∠BCP)=180°﹣90°=90°. 故选 B. 11.如图,△ABC 中,AB=AC,BD=CE,CD=BF,若∠A=50°,则∠EDF=( )

A.80° B.65° C.50° D.20° 【考点】等腰三角形的性质. 【分析】根据题意得出∠B=∠C=65°,再证明△BDF≌△CED,从而得出∠BFD=∠CDE,则 ∠EDF=∠B. 【解答】解:∵AB=AC,∠A=50°, ∴∠B=∠C=65°. 在△BDF 与△CED 中,

, ∴△BDF≌△CED, ∴∠BFD=∠CDE, ∵∠BDF+∠BFD=115°, ∴∠BDF+∠CDE=115°, ∴∠EDF=∠B=65°. 故选 B. 12.如图,△ABC 中,∠BAC=60°,∠BAC 的平分线 AD 与边 BC 的垂直平分线 MD 相交于 D, DE⊥AB 交 AB 的延长线于 E,DF⊥AC 于 F,现有下列结论: ①DE=DF;②DE+DF=AD;③DM 平分∠ADF;④AB+AC=2AE;其中正确的有( )

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A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;线段垂直平分线的性质. 【分析】①由角平分线的性质可知①正确;②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°,故此可知 ED= ,DF= ,从而可证明②正确;③若 DM 平分∠ADF,则∠EDM=90°,从而得到∠ABC 为直角三角形,条件不足,不能确定,故③错误;④连接 BD、DC,然后证明△EBD≌△DFC, 从而得到 BE=FC,从而可证明④. 【解答】解:如图所示:连接 BD、DC.

①∵AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴ED=DF. ∴①正确. ②∵∠EAC=60°,AD 平分∠BAC, ∴∠EAD=∠FAD=30°. ∵DE⊥AB, ∴∠AED=90°. ∵∠AED=90°,∠EAD=30°, ∴ED= AD. 同理:DF= . ∴DE+DF=AD. ∴②正确. ③由题意可知:∠EDA=∠ADF=60°. 假设 MD 平分∠ADF,则∠ADM=30°.则∠EDM=90°,

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又∵∠E=∠BMD=90°, ∴∠EBM=90°. ∴∠ABC=90°. ∵∠ABC 是否等于 90°不知道, ∴不能判定 MD 平分∠ADF. 故③错误. ④∵DM 是 BC 的垂直平分线, ∴DB=DC.

在 Rt△BED 和 Rt△CFD 中 ∴Rt△BED≌Rt△CFD. ∴BE=FC. ∴AB+AC=AE﹣BE+AF+FC 又∵AE=AF,BE=FC, ∴AB+AC=2AE. 故④正确. 故选:C.



二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 13.如图,在△ABC 中,若 AB=AC、AD⊥BC、BC=6、∠BAC=80°,则∠BAD= 40° ,BD= 3 .

【考点】等腰三角形的性质. 【分析】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合,依此即可求解. 【解答】解:∵在△ABC 中,AB=AC、AD⊥BC、 ∴AD 是△ABC 的角平分线和中线, ∵BC=6、∠BAC=80°, ∴∠BAD=40°,BD=3. 故答案为:40°,3. 14.分解因式:m ﹣4m= m(m﹣4) . 【考点】提公因式法与公式法的综合运用. 【分析】提取公因式 m,即可求得答案. 2 【解答】解:m ﹣4m=m(m﹣4) . 故答案为:m(m﹣4) . 15.如图为 6 个边长等的正方形的组合图形,则∠1+∠2+∠3= 135 °.
2

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【考点】全等三角形的判定与性质. 【分析】观察图形可知∠1 与∠3 互余,∠2 是直角的一半,利用这些关系可解此题. 【解答】解:观察图形可知:△ABC≌△BDE, ∴∠1=∠DBE, 又∵∠DBE+∠3=90°, ∴∠1+∠3=90°. ∵∠2=45°, ∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠3+∠2=90°+45°=135°. 故填 135.

16.如图,已知等边△ABC 中,BD=CE,AD 与 BE 相交于点 P,则∠APE 的度数是

60 度.

【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质. 【分析】 根据题目已知条件可证△ABD≌△BCE, 再利用全等三角形的性质及三角形外角和定 理求解. 【解答】解:∵等边△ABC, ∴∠ABD=∠C,AB=BC,

在△ABD 与△BCE 中, ∴△ABD≌△BCE(SAS) , ∴∠BAD=∠CBE, ∵∠ABE+∠EBC=60°, ∴∠ABE+∠BAD=60°, ∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°, ∴∠APE=60°.



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故答案为:60.

17.已知 a+b=2,ab=﹣3,则 a +3ab+b 的值为 1 . 【考点】完全平方公式. 【分析】原式利用完全平方公式变形,把已知等式代入计算即可求出值. 【解答】解:∵a+b=2,ab=﹣3, 2 ∴原式=(a+b) +ab=4﹣3=1, 故答案为:1 18.如图,在等腰△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC 于点 D,点 P 是 BA 延长线上一 点,点 O 是线段 AD 上一点,OP=OC,若 BC=2 ,AD=1,则 S 四边形 AOCP= .

2

2

【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质. 【分析】首先在 AC 上截取 AE=PA,易得△APE 是等边三角形,继而利用证得△OPA≌△CPE, 即 可 得 AC=AO+AP ; 过 点 C 作 CH⊥AB 于 H , 易 得 S△ABC=
AOCP

AB?CH , S

四 边 形

=S△ACP+S△AOC= AP?CH+ OA?CD= AP?CH+ OA?CH= CH?(AP+OA)= CH?AC,即可得 S△ABC=S 四边 形 AOCP. 【解答】解:如图 1,在 AC 上截取 AE=PA, ∵∠PAE=180°﹣∠BAC=60°, ∴△APE 是等边三角形, ∴∠PEA=∠APE=60°,PE=PA, ∴∠APO+∠OPE=60°, ∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°, ∴∠APO=∠CPE, ∵OP=CP, 在△OPA 和△CPE 中,

, ∴△OPA≌△CPE(SAS) ,

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∴AO=CE, ∴AC=AE+CE=AO+AP; 如图 2,过点 C 作 CH⊥AB 于 H, ∵在等腰△ABC 中 AB=AC,∠BAC=120°, ∴∠DAC= ∠ABC=60°,∠PAC=180°﹣∠BAC=60°, ∵∠PAC=∠DAC=60°,AD⊥BC, ∴CH=CD, ∴S△ABC= AB?CH, S = CH?AC, ∵AB=AC, ∴S 四边形 AOCP=S△ABC= BC?AD= ×2 故答案为: . ×1= .
四 边 形 AOCP

=S△ACP+S△AOC= AP?CH+ OA?CD= AP?CH+ OA?CH= CH?( AP+OA )

三、解答题: (本大题 5 个小题,共 34 分)解答时每小题需给出必要的演算过程或推理步 骤. 19.计算: 3 2 2 (1) (x y) ?2xy (2) (3x+2y) (3x﹣2y)﹣(x﹣y) (3x+4y) 【考点】整式的混合运算. 【分析】 (1)原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算,再利用单项式乘以单项式法则计 算即可得到结果; (2)原式利用平方差公式,以及多项式乘以多项式法则计算,去括号合并即可得到结果. 6 2 2 7 4 【解答】解: (1)原式=x y ?2xy =2x y ; 2 2 2 2 2 (2)原式=9x ﹣4y ﹣3x ﹣4xy+3xy+4y =6x ﹣xy. 20.分解因式: 2 2 ①2ax ﹣2ay

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②3x(a﹣b)﹣2y(b﹣a) 【考点】提公因式法与公式法的综合运用. 【分析】①原式提取 2a,再利用平方差公式分解即可; ②原式变形后,提取公因式即可得到结果. 2 2 【解答】解:①原式=2a(x ﹣y )=2a(x+y) (x﹣y) ; ②原式=3x(a﹣b)+2y(a﹣b)=(a﹣b) (3x+2y) . 21.已知 a =2,a =3,求 a 的值. 【考点】幂的乘方与积的乘方;同底数幂的乘法. 【分析】原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则变形,把已知等式代入计算即可求出值. m n 【解答】解:∵a =2,a =3, m 2 n 3 ∴原式=(a ) ?(a ) =4×27=108.
m n 2m+3n

22.化简、求值: (2x﹣y) (2x﹣y)﹣(3x+y) (3x﹣y)+5x(x﹣y) ,x=﹣ ,y=﹣2. 【考点】整式的混合运算—化简求值. 【分析】先利用乘法公式展开,再合并同类项得到原式=﹣9xy+2y ,然后把 x=﹣ ,y=﹣2 代入计算即可. 2 2 2 2 2 【解答】解:原式=4x ﹣4xy+y ﹣(9x ﹣y )+5x ﹣5xy 2 2 2 2 2 =4x ﹣4xy+y ﹣9x +y +5x ﹣5xy 2 =﹣9xy+2y , 当 x=﹣ ,y=﹣2 时,原式=﹣9×(﹣ )×(﹣2)+2×(﹣2) =﹣1. 23.已知:如图,点 A,D,C 在同一直线上,AB∥EC,AC=CE,∠B=∠EDC. 求证:BC=DE.
2 2

【考点】全等三角形的判定与性质. 【分析】 根据由两个角和其中一角的对边相等的两个三角形全等证明△ABC≌△CDE, 由全等 三角形的性质即可得到 BC=DE. 【解答】证明:∵AB∥EC, ∴∠A=∠DCE,

在△ABC 和△CDE 中,



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∴△ABC≌△CDE, ∴BC=DE. 四、解答题: (本大题 2 个小题,每小题 10 分,共 20 分) 24.如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,E 为 CD 的中点,连接 AE、BE,BE⊥AE,延长 AE 交 BC 的延长线于点 F.求证: (1)FC=AD; (2)AB=BC+AD.

【考点】线段垂直平分线的性质;全等三角形的判定与性质. 【分析】 (1)根据 AD∥BC 可知∠ADC=∠ECF,再根据 E 是 CD 的中点可求出△ADE≌△FCE, 根据全等三角形的性质即可解答. (2)根据线段垂直平分线的性质判断出 AB=BF 即可. 【解答】证明: (1)∵AD∥BC(已知) , ∴∠ADC=∠ECF(两直线平行,内错角相等) , ∵E 是 CD 的中点(已知) , ∴DE=EC(中点的定义) . ∵在△ADE 与△FCE 中,

, ∴△ADE≌△FCE(ASA) , ∴FC=AD(全等三角形的性质) . (2)∵△ADE≌△FCE, ∴AE=EF,AD=CF(全等三角形的对应边相等) , ∴BE 是线段 AF 的垂直平分线, ∴AB=BF=BC+CF, ∵AD=CF(已证) , ∴AB=BC+AD(等量代换) . 25.如图,已知△ABC 中,CD 为∠ACB 的平分线,AE∥CD 交 BC 的延长线于 E,EF⊥AE 交 AC 的延长线于 F. (1)求证:AC=CE; (2)若 AC=5,求 AF.

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【考点】全等三角形的判定与性质. 【分析】 (1)根据 CD 为∠ACB 的平分线,得到∠BCD=∠ACD,又 AE∥CD,所以∠ACD=∠EAC, ∠BCD=∠AEC,从而∠EAC=∠AEC,即可解答; (2)利用 EF⊥AE,得到∠FEC=∠F,进而得到 EC=CF,根据 AC=CE,从而得到 AC=CE=CF,即 可解答. 【解答】解: (1)∵CD 为∠ACB 的平分线, ∴∠BCD=∠ACD, ∵AE∥CD, ∴∠ACD=∠EAC,∠BCD=∠AEC, ∴∠EAC=∠AEC, ∴AC=CE. (2)∵EF⊥AE, ∴∠AEC+∠FEC=90°,∠EAC+∠F=90°, ∵∠AEC=∠EAC, ∴∠FEC=∠F, ∴EC=CF, ∵AC=CE, ∴AC=CE=CF, ∴AF=2AC=10. 五、解答题: (本大题 2 个小题,每小题 12 分,共 24 分) 26.观察下列式子的因式分解做法: ① ②x ﹣1 3 =x ﹣x+x﹣1 2 =x(x ﹣1)+x﹣1 =x(x﹣1) (x+1)+(x﹣1) =(x﹣1)[x(x+1)+1] 2 =(x﹣1) (x +x+1) 4 ③x ﹣1 4 =x ﹣x+x﹣1 3 =x(x ﹣1)+x﹣1 2 =x(x﹣1) (x +x+1)+(x﹣1) 2 =(x﹣1)[x(x +x+1)+1] 3 2 =(x﹣1) (x +x +x+1)
3

17

? 5 (1)模仿以上做法,尝试对 x ﹣1 进行因式分解; n n﹣1 n﹣2 2 (2)观察以上结果,猜想 x ﹣1= (x﹣1) (x +x +?+x +x+1) ; (n 为正整数,直接 写结果,不用验证) 5 4 3 2 (3)根据以上结论,试求 4 +4 +4 +4 +4+1 的值. 【考点】因式分解的应用. 【分析】 (1)类比上面的作法,逐步提取公因式分解因式即可; (2)由分解的规律直接得出答案即可; (3)把式子乘 4﹣1,再把计算结果乘 即可. 5 【解答】解: (1)x ﹣1 5 =x ﹣x+x﹣1 4 =x(x ﹣1)+x﹣1 3 2 =x(x﹣1) (x +x +x+1)+(x﹣1) 3 2 =(x﹣1)[x(x +x +x+1)+1] 4 3 2 =(x﹣1) (x +x +x +x+1) ; n n﹣1 n﹣2 2 (2)x ﹣1=(x﹣1) (x +x +?+x +x+1) ; 5 4 3 2 (3)4 +4 +4 +4 +4+1 =(4﹣1) (4 +4 +4 +4 +4+1)× =(4 ﹣1)×
6 5 4 3 2

=



27.如图 1,△ABC 是等边三角形,点 E 在 AC 边上,点 D 是 BC 边上的一个动点,以 DE 为边 作等边△DEF,连接 CF. (1)当点 D 与点 B 重合时,如图 2,求证:CE+CF=CD; (2)当点 D 运动到如图 3 的位置时,猜想 CE、CF、CD 之间的等量关系,并说明理由; (3)只将条件“点 D 是 BC 边上的一个动点”改为“点 D 是 BC 延长线上的一个动点”,如 图 4,猜想 CE、CF、CD 之间的等量关系为 CF=CE+CD (不必证明) .

【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质. 【分析】 (1)由三角形 ABC 与三角形 EBF 都为等边三角形,利用等边三角形的性质得到一对 角相等,两对边相等,利用等式的性质得到夹角相等,利用 SAS 得到三角形 ABE 与三角形 CBF 全等,利用全等三角形对应边相等得到 AE=CF,由 AC=AE+EC,等量代换即可得证; (2)CE=CF+CD,理由为:过 D 作 DG∥AB,交 AC 于点 G,连接 CF,如图所示,由 DG 与 AB

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平行,利用两直线平行同位角相等,确定出三角形 GDC 为等边三角形,再由三角形 EDF 为等 边三角形,利用等边三角形的性质得到两对边相等,再利用等式的性质得到夹角相等,利用 SAS 得到三角形 EGD 与三角形 FCD 全等, 利用全等三角形对应边相等得到 EG=FC, 由 EC=EG+GC, 等量代换即可得证; (3)CF=CE+CD,理由为:过 D 作 DG∥AC,交 FC 于点 G,同(2)即可得证. 【解答】 (1)证明:如图 2: ∵△ABC 与△BEF 都为等边三角形, ∴∠ABC=∠EBF=60°,AB=BC=CD,EB=BF, ∴∠ABC﹣∠EBC=∠EBF﹣∠EBC,即∠ABE=∠CBF, 在△ABE 和△CBF 中,

, ∴△ABE≌△CBF(SAS) , ∴AE=CF, 则 CD=AC=AE+EC=FC+EC; (2)CE=CF+CD,理由为: 证明:过 D 作 DG∥AB,交 AC 于点 G,连接 CF,

∵DG∥AB, ∴∠CGD=∠CDG=60°,△CDG 为等边三角形, ∵△DEF 为等边三角形, ∴∠EDF=∠GDC=60°,ED=FD,GD=CD, ∴∠EDF﹣∠GDF=∠GDC﹣∠GDF,即∠EDG=∠FDC, 在△EDG 和△FDC 中,

, ∴△EDG≌△FDC(SAS) , ∴EG=FC, 则 CE=CG+EG=CG+CF=CF+CD; (3)CF=CE+CD,理由为: 证明:过 D 作 DG∥AC,交 FC 于点 G,

19

∵GD∥AC, ∴∠GCD=∠DGC=60°,即△GCD 为等边三角形, ∵△EDF 为等边三角形, ∴∠EDF=∠GDC=60°, ∴∠EDF﹣∠DEG=∠GDC﹣∠EDG,即∠FDG=∠EDC, 在△ECD 和△FGD 中,

, ∴△ECD≌△FGD(SAS) , ∴EC=FG, 则 FC=FG+GC=EC+CD. 故答案为: (3)CF=CE+CD.

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