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三次函数的图像和性质


I数理化研究l-【关注】

三次函数的图像和性质
●薛青松 摘要:本文利用数学软件Mathcad,以导数为工具,对三 次函数的单调性、极值、最值、对称性、根的性质等问题进行探 索研究.经过实验验证,深刻挖掘三次函数的性质,为进一步探 索高次函数的性质提供了方法依据,为高考有关问题找到了有
效的解决方法。

值,图像为上图

中(5)、(6)。由上易知以下结论:三次函数f(x)
=ax3+bx2+cx+d(a-≠0), (1)若b2_3ac_<0,则f(x)在R上无极值;

(2)若b2_3ac>0,则f(x)在R上有两个极值。
(3)若在x=xo处取得极值,则必有f'(x)=3ax+2bx+c=0 4.单调性 (1)若A≤0,且a>0,则f'(x)=3ax2+2bx+c>一0恒成立。所以函数f

关键词:三次函数;图像;性质 三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体, 是应用二次函数图像和性质的好素材。三次函数在近几年全 国各地高考及模拟试题中频繁出现。但教材和各种资料中往往 只从求导、求极值、求单调区间等角度进行一些零碎的、浅表的 探索,而很少对它作出比较系统地、实质性地阐述。本文将利 用导数和二次函数等知识讨论三次函数的单调性,发现三次 函数图像的对称性。进一步理解函数的单调性、对称性、极值、 最值.利用图像来讨论三次方程实根的个数等问题。 三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有什么性质?首先还 得对它有感性的认识,通过Mathcad输入不同的参数进行探 索,经 图2过多次
的 实
<X2,

(×)在R上是增函数,图像为上图中(1)、(5);若A 40。且a<0,则f。(×)
=3ax2+2bx+c。<0恒成立。所以函数f(x)在R上是减函数,图像为上图 中(2)、(6);

(2)若△>0,且a>O,令f|(x)=3ax2+2bx+c=O两根为x1,X2且X1,
当f。(x)>0芍x<x,或x>xz--,-*f(x)在(一一,X1).(x2,+一)上单调递增,

当f‘(x)<Ojx,<x<x2jf(x)在(x1×2)上单调递减。图像为上图中;
(3)若A>O.且a<0易得f(x)在(一一,X1),(×2,+一)上单调递减,f(x)在 (X,,X2)上单调递增。图像为上图中(4);

由上易得函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠O)在某个区间上增函数铮
fI(x)=3ax2+2bx+cI>0在该区间恒成立;函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠

0)在某个区间上是单调递减函数铮r(x)=3ax2+2bx+c40在该区间恒 成立。 5.对称性 观察上面六种图像。发现都存在对称中心,由此猜想三次函数的图 像都是中心对称图形,三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的图像关于

验、猜
测、归

纳发现
它的图

像有六 种.如
图:

点(一鲁,f(一旨))对称。

证法一:f(x)=ax3+bx2+cx+d=a(X+鲁)3+(c一暑)(x+鲁)+
f(一是)-易知g(x)=ax3+(c一普)是奇函数,图像关于原点对称,又
f(x)=ax

3+bx2+cx+d(a≠0)的图像可以认为由g(x)=ax3+(c一告)

X按向量(一鲁.f(一鲁))平移得到的,所以f(x)图像关于点(一鲁,
a为正时。原函数的图像应为上图中的(1)(3)(5)---种情况;而当
a为负时,原函数的图像则为(2)(4)(6)三种情况。对函数f(×)

f(一岂-))对称。
证法二:设y=f(×)的图像关于点(m,n)对称,任取y=“x)图像上点A (x,y).则A关于(m,n)的对称点A‘(2m—X,2n—y)也在y=f(x)图像上
2n—y=a(2m—x)3+b(2m—X)+d..‘.y=ax3-(6ma+b)X2+ (1 2m2a+4mb+c)X一(8m3a+4m2b+2mc+d一2m)

=ax3+bx2+cx+d(a#0)进行求导:f'(x)=3ax3+2bx2+c是二次函 数.令A=4b2-12ac=4(b2-3ac),下面我们系统研究三次函数 的性质 1.函数的定义域与值域均为R 2.奇偶性:函数当且仅当b=d=0时是奇函数 3.极值 (1)若A=O.此时f_(x)=3ax2+2bx+c=0有两个相等实根。 在实根两侧导函数值同号,所以原函数单调性相同。故函数f (x)=ax3+bx+cx+d(a#-0)无极值;图像为上图中(1)(2); (2)若A>O,令f'(x)=3ax2+2bx+c=0两根为×1×2,其中X1-

...{c:12m2a+4mb+c

fb=-6ma—b

fm:一昙 号{ 所以f(x)图像关于点 d:一(8m3 a+4m2 b+2mb+d一2n)I n=7(一萎’
3a.

(一是,“一鲁)对称。
6.根的性质:三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)

—-b—-%/百bz-—3a—c.x2=—丛≥#。若a>o,当x<x,时,导
值.图像为上图中(4);

函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠O)的图像与X轴有几个交点。则方程 f(x)=O便有几个实数根。 (1)若b2_3ac_<0.则f(x)=0.则恰有一个实根; (2)若b23ac>0.且f(x,)?f(x2)>0。则f(x)=O恰有一个实根; (3)若b2-3ac>0,且舣,)?f(x 2)=0,则Kx)=o有两个不相等的实根;
(4)若bZ-3ac>0。且f(x1)?f(x 2)<O.则f(x)=O有三个不相等的实根.

函数值大于零,当Xl<×<x:导函数值小于零.所以函数f(x)在 X=X,处取极大值f(x,);当x,<×<×2时导函数值小于零,当X>X2 时导函数值大于零。所以函数f(×)在X---X2处取极小值f(x2),有 两个极值,图像为上图中(3);同理若a<0,此时函数f(x)在 X---X,处取极小值f(x,).在X=X。处取极大值f(x。)。仍有两个极 (3)若A<0。此时f'(x)=3ax2+2bx+c=0无实根.函数无极

证明(1)因为b2-3ac-0,所以f(×)在R上为单调函数,即曲线y=f (X)与X轴只相交一次,故f(x)=O恰有一个实根。
(2)若b2_3ac>0。且f(x,)?f(x 2)>O,即函数y=f(x)极大值点和极

万方数据 46●-2009.8

【关tt]◆I数理化研究l

三角函数问题常用方法浅探
●王丽薇 三角函数在高考中占有重要位置.从近几年全国高考试题看, 高考重视对三角函数部分基本知识的考查,总的说来。这一章主要 有四类问题:求值、化简、证明和性质讨论。一般试题难度不大.学习 这一章时。要求在熟练掌握概念公式的基础上.不断总结解题规律、 变形方法与技巧,并认真体会、理解、灵活运用化归思想、数形结合
思想等常用数学思想方法。 例1如图1,有一长方形纸片ABCD.AB=a,BC=b(b>2a)。设

(1)A=I.‘p={},f(×)=COSX。

(甜(a—B):塑。

例4(2008湖北卷16)已知函数f(t)2、/器-g(x)=COSX。f
(sinx)+sinx?f(cosx),X∈(Tr。萼})
(1)将函数g(×)化简成Asin(wx+ko)+B(A>,e>O,‘P∈)[O,21r)的 形式。 (2)求函数g(×)的值域。 这也是解答题的第一道,难度比刚才那道题耍大一些,属于中 档题,对计算的要求较高,特别是第二问。是我们见得非常多的问 题,但是效果还是不理想。总讲总错。很多同学还是不注意函数单 调性。导致丢分。所以在求三角函数的值域问题时,大家一定要注 意函数在所给区间上是否单调的问题。本题主要考查函数的定义 域、值域和三角函数的性质等基本知识,考查三角恒等变换、代数 式的化简变形和运算能力。求解三角函数的周期、最值、单调区间、 值域、图像变换、对称中心、对称轴等问题一般都需要把所给三角 函数化成y=Asin(wx+e)+B型,这是核心问题,一个三角函数一旦 化成此形式.围绕这一三角函数的一切问题都可以解决。变形中经 常使用的方法有:切化弦、统一角、统一三角函数、配角、拆角、遇到 平方降幂、和差与积的互化等等。

点M为边AB上中点.点N为BC上任意一点。£MND=e当
MN+DN值最小时,sine大小为:

A.!拿堂=

9f+4b2

B..ab_
9a+4b2

C.塑坠D.一2ab—

h—9a2+—4b2

。嚣+孑

这是一道与解析几何结合的问题,和最小是我们练得很多的一 类题,利用找对称点就可以解决。找M点关于BC的对称点M‘。连 接DM‘,交BC于点N,点N即为所求。选A。

例2]1+-ItaanneH一=3+2、/虿.贝ll(cs。int。e一+cs№ose。)2s_。1

=?

此题是一道化简求值题,首先应该把式子进行化简,可以运用 。切化弦”的方法,化简结果为2tanZ0,再由已知条件求出tane的
值。求tane的值时,可以有一点小的技15,I_1-itaann百O=
1+tane

』_‘ane)碴:一1+熹:3+2讵,1+tane:—L=: 。。1+tane……。。‘ 2+讵
—2-下x/一#一-,tane:一:¥;,这样能让计算速度更快一些。
例3(2008广东卷16)已知函数f(x)=Asin(×+‘P)(A>0.

(1)g(x)=oosx、/鬟:慧一+s.n×、/:+--∞COsSXf :cos×、/止驾正+sinxl/止罢虻
V COS X V sin X

?.?x∈(1r。jj三巳一],.?.ICOSX
-COSX --Sinx

I=一COSX,Isinx I=一snx,._.g(x)

0<‘p<IT),XE

R的最大值是1,其图像经过点M(导,三一)

=COSX-1=曼塑兰+sinxj=90s墨=sinx+cosx一2=V"2-sin(x+—耳一)一2。 4

(1)求f(x)的解析式。 (2)已知a,p∈(o.iIT一).El
的值。

f(a)=},f(p)=罟,求f(a-p)

(2)15t…s訾,碍手<×呼曼孚。‘.。sintE(孕。
三}】上为减函数。在(岛L。号L】上为增函数,又sin导}<sin
Z Z ‘)



作为解答题的第一道,这道题应该说是简单题。计算量也不大. 得分率很高,考查了三角函数的性质及两角差的三角函数这些最基
本的内容。

孚,.。.sIn警一≤sin(X+})<sin譬(当xE[tr.訾】),即
(x),f(n)}.

小值点在×轴同侧,图像均与X轴只有一个交点,所以原方程有且
只有一个实根。

③m≤x1<×2曼n时,函数有最大值max{f(m)。f(x,),f(x2),f(n)},最 小值minff(m),f(x,).f(x2),f(n)}, (彩msx,<ns x2时,函数有最大值maxlf(m),f(x1),f(n)}。最小值
min{f(m),f(x,),f(n)}。

(3)f(x)=O有两个相异实根的充要条件是曲线y=(x)与X轴有 两个公共点且其中之一为切点,所以b2_3ac>0,且f(×,)?f(x 2)=0。 (4)f(x)=O有三个不相等的实根的充要条件是曲线y=f(×)与X 轴有三个公共点,即f(x)有一个极大值.一个极小值,且两极值异 号.即分别在X轴两侧.所以b2_3ac>0,且f(×1)?f(x 2)<O。 7.三次函数f(x)=ax%bx%cx+d(a≠0)在区间[m,n]上有最大
值和最小值 (1)若△=(2b)212ac<0,函数有最大值maxlf(m),f(n)J,最 小值m.n{f(m),f(n)};

⑤x1<m<×2兰n时。函数有最大值max{f(m).f(x2),f(n)}。最小值
min{f(m),f(×2),f(n)}

函数是高中数学的核心内容。在新教材高三数学选修本中虽 然利用了导数方法重新研究了函数的若干性质,但是在离开导数 背景的函数问题的学习与研究中,大多数学生仍然未能自觉地想 到用导数方法来解决高中数学教学中遇到的用初等方法较难解决 的问题,为克服这一思维定式.在与二次函数比较的基础上,对三 次函数的性质进行系统的梳理,旨在使学生真正学会用导数作为 工具研究函数的性质。并能将该思想方法旱日纳入到原有的知识 结构之中。形成自觉的应用意识。 (卢龙县城关中学)

(2)若A={2b)2—12ac>0,令f'(x)=3ax 2+2bx+c=0两根为x1×2
且Xl<×2。

①n<x1或m>x2时.函数有最大值max{f(m).f(n)},最小值min
{f(m),f(n)}

②x1<m<n兰×2时,函数有最大值max{(fx),f(n)},最小值min{f

万方数据

2009.8一◆47

三次函数的图像和性质
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 薛青松 卢龙县城关中学 成才之路 THE ROAD TO SUCCESS 2009,""(23) 0次

相似文献(10条) 1.期刊论文 徐守军 三次函数的图像与性质在高考中的应用 -中学数学研究2008,""(2)
我们借助几何画板软件,较为深入地研究三次函数的图象与性质,并利用图象与性质解决07年高考数学卷中出现的一部分试题. 一、三次函数的图象与性质 利用求导的方法,可以求得三次函数的导数f'(x)=3ax2+2bx+c是二次函数,由于原函数的极值点与单调性与导函数的正负有关,所以容易发现导函数中的参 数a与△的符号起决定性作用.下面我们就来研究三次函数与x轴的交点问题.

2.期刊论文 袁拥军 话说三次函数的图像和性质 -数学教学研究2005,""(4)
随着导数和极限进入新教材,函数研究的范围随之扩大,以一元三次函数为截体的试题,具有内容新、背景新、方法新等特点,已成为高考热点问题.但 一元三次函数的有关性质还未被大家所熟悉,因此我们有必要对一元三次函数进行研究.

3.期刊论文 陈荣 含参三次函数图像、性质与函数单调性探讨 -中学数学杂志(高中版)2009,""(2)
三次函数的一般形式为f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0,a,b,c,d是常数),其导函数为f′(x)=3ax2+2bx+c,判别式为Δ=4b2-12ac,则函数f(x)的图像为如下 几种情形:

4.期刊论文 徐大土 充分认识三次函数图像提高导数题的解题效率 -中学数学教学2008,""(6)
高考中涉及三次函数的问题近几年频繁出现,它与其它知识的综合也逐渐推向深入,但百变不离其宗,在导数方面的考查主要还是围绕导函数与原函数 的极值、单调性关系展开的.下面就如何运用结合图像解决相关问题进行分析.

5.期刊论文 叶秋平 过定点的三次函数图像切线条数问题 -中学数学研究2007,""(7)
二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图像是抛物线,我们有如下共识:点P(x0,y0)在抛物线上时满足y0=ax02+bx0+c,过点 P 的切线有且只有一条;当点 P 在抛 物线内时满足y0>ax02+bx0+c,过点 P 的切线不存在;当点P 在抛物线外时满足y0<ax02+bx0+c,过点P的切线有两条.对于三次函数 y=ax3+bx2+cx+d(a≠0),平面内点 P 与曲线的位置关系有类似的结论.

6.期刊论文 李晶.张国坤 一元三次函数图像的中心切线及切线问题 -高等数学研究2008,11(5)
受2007年高考全国数学卷Ⅱ第22题启发,提出并探索一般一元三次函数图像切线问题,定义了中心切线概念,得出了切线条数及其条件的完备结论

7.期刊论文 管宏斌 三次函数性质探述 -教学月刊(中学版)2007,""(13)
中学数学已对二次函数性质作出了系统、严格而"近乎完美"的研究,但是关于三次函数性质的讨论则几乎没有涉及.三次函数是中学数学研究导数的 一个重要载体.通过它可以考察学生的探究能力和创新能力.但是,对于它的图像性质,比如它是否具有对称性等,广大师生往往不甚了解.翻阅各种资料、 杂志,我们发现不少的研究者仅从怎样求导、求极值、求单调区间等角度进行一些浅表的探索,而少有对它作出实质性的评述.为此,笔者对它作了多角度 的研究,发现了一些有趣而优美的结论,三次函数的理论较之二次函数更为丰富而深刻.

8.期刊论文 张邦宁 例说三次函数图象性质的应用 -课程教材教学研究(中教研究)2006,""(11)
设三次函数为f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其导函数f'(x)=3ax2+2bx+c的判别式为△=4b2-12ac则有以下性质: 1.当△≤0时,三次函数f(x)在R上是单调函数; (1)当△≤0且a>0时;函数f(x)在R上单调递增, (2)当△≤0且a<0时;函数f(x)在R上单调递减. 它们的图像形如下图:

9.期刊论文 杜兰英 "上不去,下不来"函数的求解误区 -中学数学研究2009,""(11)
导数的引入,给我们求解函数问题带来了极大的方便.由于对三次函数的图像相对比较熟悉,所以在求解时,学生往往会以三次函数的图像作参考,进行 类比.但有时,如果函数不具有三次函数图像类似的特征,这样的类比就会出现差错.

10.期刊论文 胡谋法.陈曾平.Hu Mou-fa.Chen Zeng-ping 基于Zernike-Facet模型和总体最小二乘的弱小目标检测 -电子与信息学报2008,30(1)
弱小目标一般是图像局部区域的极值点.针对这个特点,依据二元三次函数的极值理论,该文提出了一种新的弱小目标候选点的检测方法.发展了一种 新的图像局部灰度拟合模型,即Zernike-facet模型,模型参数的求解采用比最小二乘(LS)抗噪能力更强的总体最小二乘(TLS)算法.新检测方法通过 Zernike-facet模型和TLS对原始图像中每一个像素的局部区域进行曲面拟合,然后在拟合曲面上提取极值点作为目标候选点.仿真表明,新方法在抑制噪声 上优于其他常用方法.可见光/红外图像小目标检测实验也证实了新方法的有效性.

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